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甘南藏族自治州合作第一中学 2026届高三上学期 10月阶段性测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { |log2 > 1}， = { | = √ 1}，则 ∩ ( ) =
A. B. (0,1] C. (0,1) D. [1, +∞)
2+ i
2.复数 = (i为虚数单位， ∈ R)对应的点在虚轴上，那么| | =( )
1+3i
3 4 2 5
A. B. C. D.
2 3 3 3
1
3.不等式 > 0成立的一个充分条件是( )

A. < 1 B. > 1 C. 1 < < 0 D. 0 < < 1
+1 4 +1
4.若正数 ， 满足 + = 1，则 + 的最小值是( )

A. 5 B. 6 C. 9 D. 11
5.设 = log63, = log
10
5 , = log
14
7 ，则
A. > > B. > > C. > > D. > >
1 5 +2 +1 4
6.已知 > 0， ≥ 0，且 + 2 = 1，若 2 ≤ 恒成立，则满足条件的整数 的个数是
2 2 +
( )．
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.若定义在 的奇函数 ( )在( ∞, 0)单调递减，且 (2) = 0，则满足 ( 1) ≥ 0的 的取值范围是( )
A. [ 1,1] ∪ [3, +∞) B. [ 3, 1] ∪ [0,1] C. [ 1,0] ∪ [1, +∞) D. [ 1,0] ∪ [1,3]
8.设 ， ， 都是正数，且3 = 4 = 6 ，那么( )
1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 2
A. = + B. = + C. = + D. = +

二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
6i
9.已知复数 = i( ∈ )，且 的虚部为3，则( )

3
A. = 1 B. | | = 2√ 2

2+i
C. ( + 2) (1 3i)为纯虚数 D. 在复平面内对应的点在第二象限
+2
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2 2 , < 0
10.已知函数 ( ) = { ，以下结论正确的是( )
( 2), ≥ 0
A. ( 3) + (2019) = 3
B. ( )在区间[4,5]上是增函数
1 1
C. 若方程 ( ) = + 1恰有3个实根，则 ∈ ( , )
2 4
D. 若函数 = ( ) 在( ∞, 4)上有6个零点 ( = 1,2,3,4,5,6)，则∑
6
=1 ( )的取值范围是(0,6)
11.若 > 0， > 0， + = 2，则( )
1 1
A. ≤ 1 B. √ + √ ≤ √ 2 C. 2 + 2 ≥ 2 D. + ≥ 2

三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。

12.已知函数 ( ) = ln 是奇函数，则 的值为 ．
1+
13.幂函数 ( ) = ( 2 3 + 3) 的图象关于 轴对称，则实数 = ．
14.若命题“ ∈ , 2 + 2 + 3 ≤ 0”为假命题，则实数 的取值范围是 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
2 7 +6
已知复数 = 22 + ( 5 6)i( ∈ R)，试求实数 分别取什么值时， 分别为： 1
(1)实数；
(2)虚数；
(3)纯虚数．
16.(本小题15分)
3
已知函数 ( ) = 2 4 + 9ln 在 = 3处取得极值．
2
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )在区间[e, e2]上的最小值．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = ln + 3．
(1)求曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 ( ) ≥ 1对任意的 ≥ 恒成立，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
已知关于 的不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1或 > }( > 1)．
(1)求 ， 的值；
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(2)当 > 0， > 0，且满足 + = 1时，有2 + ≥ 2 + + 2恒成立，求 的取值范围．

19.(本小题17分)
1
已知正实数0 < ≤ ≤ < 1，函数 ( ) = + 1 ， ∈ [0,1]， ( )为 ( )的导函数．
2
(1)若 + = 1，求证： ( ) ≤ 0；
(2)求证；对任意正实数 ， ， + = 1，有 + ≤ √ + √ ≤ + ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.±1
13.2
14.[0,3)
2
15.【详解】(1) 为实数时，有{ 5 6 = 0,
2 1 ≠ 0
由 2 5 6 = 0得 = 1或6，由 2 1 ≠ 0得 ≠ ±1，
综上，当 = 6时， 为实数；
2 7 +6
(2) 为虚数时，则有 2 5 6 ≠ 0且 2 有意义，解得 ≠ 1且 ≠ 6且 ≠ 1， 1
所以当 ∈ ( ∞, 1) ∪ ( 1,1) ∪ (1,6) ∪ (6, +∞)时， 为虚数；
2 5 6 ≠ 0
(3) 为纯虚数时，则有{ 2 7 +6 ,
2
= 0
1
22 7 +6由 5 6 ≠ 0得 ≠ 1且 ≠ 6，由
2
= 0得 = 6，
1
故不存在实数 使 为纯虚数．
9
16.【详解】(1)由题意得 ( )的定义域(0, +∞)，且 ′( ) = 3 4 +

因为函数 ( )在 = 3处取值得极值，所以 ′(3) = 9 4 + 3 = 0
解得 = 3
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′ 9 3( 1)( 3)此时， ( ) = 3 12 + = ，

令 ′( ) > 0得0 < < 1或 > 3，令 ′( ) < 0得1 < < 3，
故函数 ( )在(0,1)，(3, +∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
所以函数 ( )在 = 1处取极大值，在 = 3处取极小值，符合题意
所以 = 3．
3 3( 1)( 3)
(2)由(1)得 ( ) = 2 12 + 9ln ， ′( ) = ， ∈ [e, e2]
2
令 ′( ) > 0，得3 < < e2，所以函数 ( )在[3, e2]单调递增，
令 ′( ) < 0，得e < < 3，所以函数 ( )在[e, 3]单调递减，
所以函数 ( )在 = 3处取极小值，
所以当 ∈ [e, e2
45
]时， ( )的最小值为 (3) = 9ln3
2
17.【详解】(1) ′( ) = ln + 3 2 + 1, ′(1) = 4, (1) = 1．
则曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 1 = 4( 1)，
即4 3 = 0．
1
(2) ( ) ≥ 1，即ln + 2 ≥ 0．

1
令 ( ) = ln + 2 ，由条件可知， ( ) ≥ 0对任意的 ≥ 恒成立．

因为 ′
1 1
( ) = + 2 + 2 ≥ 0，所以 ( )在(0, +∞)上单调递增．
因为 (1) = 0，所以当 ≥ 1时， ( ) ≥ 0，所以 ≥ 1．
故实数 的取值范围为[1, +∞)．
18.【详解】(1) ∵不等式 2 3 + 2 > 0的解集为{ | < 1 或 > }
∴ 1和 是方程 2 3 + 2 = 0的两个实数根且 > 0
3
1 + =
= 1∴ { ，解得{
2
1 = = 2

= 1 1 2
(2)由(1)知{ ，于是有 + = 1，
= 2
1 2 4
故2 + = (2 + ) ( + ) = 4 + + ≥ 4 + 2√ 4 = 8，

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= 2
当且仅当{ 时，等号成立，
= 4
依题意有(2 + )min ≥
2 + + 2，即8 ≥ 2 + + 2，
得 2 + 6 ≤ 0，解得 3 ≤ ≤ 2，
∴ 的取值范围为[ 3,2]
19.【详解】(1) ( ) = + 1 = e ln + e(1 )ln ，
′( ) = ( ) = e ln ln e(1 )ln ln
′( ) = e ln ln2 + e(1 )ln ln2 > 0
∴ ( )在[0,1]上单调递增，得 ( ) ≤ ( ) = ln 1 ln
要证： ( ) ≤ 0
只需证： ln ≤ 1 ln .即 1 ln ≤ 1 ln
ln

ln
即证： ≤
ln 1 ln
令 ( ) = ， ∈ (0,1)， ′( ) = > 0
2
∴ ( )在(0,1)上单调递增
故证 ≤ ，即 ln ≤ ln = (1 )ln(1 )
1
令 ( ) = ln (1 )ln(1 )， ∈ (0, )， ′( ) = ln[e2( 2)]
2
2 2
′
1 e 1 9e 1
( ) = ln > 0， ′ ( ) = ln < 0， ′( )在(0, )上单调递增
2 4 10 100 2
1
∴存在唯一 ′0 ∈ (0, )使， ( 2 0
) = 0
1
( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, )上单调递增 2
∴ ( ) ≤ max{ (0), (1)} = 0
∴ ≤ ，故原不等式成立，即 ( ) ≤ 0；
(2)由(1)知， ( )在[0,1]上单调递减
1
∴ ( ) ≤ ( ) ≤ ( )，即 + ≤ √ + √ ≤ +
2
1
由于 + = 1，且 ， 为正实数，不妨令0 < ≤ ≤ < 1
2
∴ + ≤ √ + √ ≤ + ．
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