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江苏省泰州市兴化市 2026届高三上学期教学质量调研考试数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知全集 = { 2, 1,0,1,2}，集合 = { 2,1,2}， = { 1, 2,2}，则( ) ∩ =( )
A. { 1} B. { 1, 2} C. { 1,2} D. { 1, 2,2}
2.已知命题 : ∈ ， 2 + + 1 = 0，命题 : , ∈ ， 2 + 2 ≥ 2 ，则( )
A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题
C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题
√ 5
3.已知0 < < ，cos = ，则sin ( ) =( )
2 5 4
√ 2 √ 2 3√ 2 7√ 2
A. B. C. D.
10 5 10 10
4.在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需时间 = log2 (单位：小时)，其中
为常数.在此条件下，训练5.12 × 1029个单位的数据量所需时间是训练8 × 109个单位的数据量所需时间的
( )
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 8倍
π
5.把函数 ( )图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向左平移 个单位长
6
度，得到函数 = sin 的图象，则 ( ) =( )
π π π π
A. sin ( ) B. sin ( ) C. sin (2 ) D. sin (2 )
2 6 2 3 6 3
6.已知连续函数 ( )的导函数为 ′( )，如图是函数 = ′( )在[ 2,2]上的图象，则( )
A. ( )在[ 1,0]上单调递减 B. ( )在[0,1]上单调递减
C. ( )在[ 1,2]上单调递增 D. ( )在[ 2,0]上单调递增
|2 1|, ≤ 1, 1
7.已知函数 ( ) = { 则方程 ( ( )) = 的解的个数为( )
2 , > 1, 2
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
π
8.已知函数 ( ) = sin + 的图象关于点(π, )中心对称，且 ( )在(0, )上单调递减，则 =( )
3
3
A. 1 B. 2 C. D. 1
2
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二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
π
9.对于函数 ( ) = sin2 和 ( ) = sin(2 )，下列说法中正确的有( )
4
A. ( )与 ( )有相同的零点 B. ( )与 ( )有相同的最大值
C. ( )与 ( )有相同的最小正周期 D. ( )与 ( )的图象有相同的对称轴
10.已知函数 ( ) = ln| |，则( )
A. ( )的定义域为 B. ( )的值域为
C. ( )在( , +∞)上单调递增 D. ( )的图象关于直线 = 对称
3π 5π 3π 5π
11.在平面直角坐标系中，曲线 由函数 = cos ( ≤ ≤ )和 = sin ( ≤ ≤ )的图象构成，
4 4 4 4
则( )
π
A. 关于直线 = 对称
4
π
B. 关于点( , 0)对称
4
C. 直线 = 被 截得的线段长的最大值为√ 2
D. 围成的图形的面积大于2π
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若关于 的不等式 2 2 1 < 0的解集是( 1,1)，则 = ．
13.已知 为第一象限角， 为第三象限角，tan + tan = 4，tan tan = √ 2 + 1，则sin( +
) = ．
1, > 0,
14.已知函数 ( ) = { 若 ( ) ≤ ( + )恒成立，则 的最小值为 ．
+ 2, ≤ 0,
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
已知函数 ( ) = cos(2 + )(0 ≤ < π), (0) = ．
2
(1)求 ;
π
(2)设函数 ( ) = ( ) + ( )，求 ( )的值域和单调区间．
6
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)当 = 1时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性；
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17.(本小题15分)

sin( + ) cos( ) sin( ) cos( + )
(1)化简： 2 2 + 2 ；
cos( + ) sin( + )
1
(2)已知 < < 0, sin + cos = ，求sin cos 的值．
2 5
4 √ 5
(3)已知 , 为锐角，tan = ；cos( + ) = .求tan( )的值．
3 5
18.(本小题17分)
某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 的一段圆弧 ( 为此圆弧的中点)和线段 构成．已知
圆 的半径为40米，点 到 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚 内的地块形状
为矩形 ，大棚 内的地块形状为 ，要求 , 均在线段 上， , 均在圆弧上．设 与 所成
的角为 ．
(1)用 分别表示矩形 和 的面积，并确定sin 的取值范围；
(2)若大棚 内种植甲种蔬菜，大棚 内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4: 3.求当
为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
19.(本小题17分)
ln
已知函数 ( ) = ．
2
(1)求 ( )的极值．
1
(2)已知函数 ( ) = ( ) + ( ) ．

①若 ( )没有零点，求 的取值范围；
②若 ( )有两个不同的零点 1, 2，证明： 1 + 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
2√ 2
13.
3
14.2
1 π
15.解：(1)由题意 (0) = cos = , (0 ≤ < π)，所以 = ；
2 3
π
(2)由(1)可知 ( ) = cos (2 + )，
3
π π
所以 ( ) = ( ) + ( ) = cos (2 + ) + cos2
6 3
1 √ 3 3 √ 3 π
= cos2 sin2 + cos2 = cos2 sin2 = √ 3cos (2 + )，
2 2 2 2 6
所以函数 ( )的值域为[ √ 3, √ 3]，
π π 5π
令2 π ≤ 2 + ≤ π + 2 π, ∈ Z，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
6 12 12
π 5π 11π
令π + 2 π ≤ 2 + ≤ 2π + 2 π, ∈ Z，解得 + π ≤ ≤ + π, ∈ Z，
6 12 12
π 5π
所以函数 ( )的单调递减区间为[ + π, + π] , ∈ Z，
12 12
5π 11π
函数 ( )的单调递增区间为[ + π, + π] , ∈ Z．
12 12
16.(1)解：当 = 1时， ( ) = + ，可得 ′( ) = + 1，
可得 ′(0) = 2且 (0) = 1，即切线的斜率为 = 2，切点为(0,1)，
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所以切线方程为 1 = 2( 0)，即 = 2 + 1．
(2)解：由函数 ( ) = + ，可得函数 ( )的定义域 ，且 ′( ) = + 1，
当 ≥ 0时， ′( ) = + 1 > 0，函数 ( )在 上单调递增；
当 < 0时，令 ′
1 1 1
( ) > 0，即 + 1 > 0，即 < ，解得 > ln( )；

令 ′( ) < 0，即
1 1 1
+ 1 < 0，即 > ，解得 < ln( )，

1 1 1 1
所以函数 ( )在( ∞, ln( ))上单调递减，在( ln( ), +∞)单调递增．


sin( + ) cos( ) sin( ) cos( + )
17.解：(1) 2 2 + 2
cos( + ) sin( + )
cos sin sin ( sin )
= +
cos sin
= sin + sin
= 0；
1 2
(2)因为(sin + cos )2 = ( )
5
1
所以1 + 2sin cos =
25
24
解得2sin cos =
25

又因为 < < 0
2
所以sin < 0, cos > 0
24 7
所以sin cos = √ (sin cos )2 = √ 1 2sin cos = √ 1 ( ) = ；
25 5
4
2tan 2× 24
(3)tan2 = = 3 = ，
1 tan2 4 2 71 ( )
3
又因为 , 为锐角，
所以0 < + < ，
2
√ 5 2√ 5
所以sin( + ) = √ 1 cos2( + ) = √ 1 ( ) = ，
5 5
2√ 5
sin( + )
所以tan( + ) = = 5 = 2，
cos( + ) √ 5
5
24
tan2 tan( + ) ( 2) 2
所以tan( ) = tan[2 ( + )] = = 7 =
1+tan2 tan( + ) 241+( )×( 2) 11
7
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18.解：：
解：(1)连结 并延长交 于 ，则 ⊥ ，所以 = 10．
过 作 ⊥ 于 ，则 // ，所以∠ = ，
故 = 40 ， = 40 ，
则矩形 的面积为2 × 40 (40 + 10) = 800(4 cos + cos )，
1
△ 的面积为 × 2 × 40 (40– 40 ) = 1600(cos – sin cos ).
2
过 作 ⊥ ，分别交圆弧和 的延长线于 和 ，则 = = 10．
1 π
令∠ = 0，则sin 0 = ， 4 0 ∈ (0, ). 6
π
当 ∈ [ 0, )时，才能作出满足条件的矩形 ， 2
1
所以sin 的取值范围是[ , 1)．
4
答：矩形 的面积为800(4 cos + cos )平方米，△ 的面积为
1
1600(cos – sin cos )，sin 的取值范围是[ , 1)．
4
(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ∶ 3，
设甲的单位面积的年产值为4 ，乙的单位面积的年产值为3 ( > 0)，
则年总产值为4 × 800(4 cos + cos ) + 3 × 1600(cos – sin cos )
π
= 8000 (sin cos + cos )， ∈ [ 0, ). 2
π
设 ( ) = sin cos + cos ， ∈ [ 0, )， 2
则 ′( ) = cos2 sin2 sin = (2sin2 + sin 1) = (2sin 1)(sin + 1)．
π
令 ′( ) = 0，得 = ，
6
π
当 ∈ ( 0, )时， ′( ) > 0，所以 ( )为增函数； 6
π π
当 ∈ ( , )时， ′( ) < 0，所以 ( )为减函数，
6 2
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π
因此，当 = 时， ( )取到最大值．
6
π
答：当 = 时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．
6
ln 1 2ln
19.解：1)函数 ( ) = 2 定义域为(0, +∞)，求导得
′( ) = 3 ，
当 ∈ (0, √ e)时， ′( ) > 0；当 ∈ (√ e, +∞)时， ′( ) < 0，
则函数 ( )在(0, √ e)上单调递增，在(√ e, +∞)上单调递减，
1
所以函数 ( )在 = √ e取得极大值 (√ e) = ，无极小值．
2e
ln 1 2ln
(2)①函数 ( ) = 2
2ln ，求导得 ′( ) = 3 2 ln ，
1 2ln ′ 2(
4 3)ln +3 4+5
令函数 ( ) = 2 ln ，求导得 ( ) = ，
3 4
当 ∈ (0,1]时， 4 3 < 0，ln ≤ 0，2( 4 3)ln ≥ 0，2( 4 3)ln + 3 4 + 5 > 0，
1 1
当 ∈ (1, 34)时， 2 < 4 3 < 0,0 < ln < ln3，
4
1
则2( 4 3)ln > 2 ( 2) ( ln3) = ln3，
4
2( 4 3)ln + 3 4 + 5 > ln3 + 5 > 0，
1
当 ∈ (34, +∞)时， 4 3 > 0, ln > 0，
则2( 4 3)ln ≥ 0，2( 4 3)ln + 3 4 + 5 > 0，
因此当 ∈ (0, +∞)时，2( 4 3)ln + 3 4 + 5 > 0，
即 ′( ) < 0， ( )在(0, +∞)上单调递减，
由 (1) = 0，得当 ∈ (0,1)时， ( ) > 0；当 ∈ (1, +∞)时， ( ) < 0，
函数 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减， ( )max = (1) = ，
由 ( )没有零点，得 < 0，解得 > 0，所以 的取值范围为(0, +∞)．
②由①及 ( )有两个不同的零点 1, 2，得 < 0，
1 1
不妨设0 < 1 < 1 < 2，则 > 1， ( 1) = ( 2) = 0，而 ( ) = ( )， 1
1 1
则 ( ) = ( 1) = ( 2)，由函数 ( )在(1, +∞)上单调递减，得 = 2， 1 1
1
所以 1 + 2 = 1 + > 2． 1
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