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安徽省六安市裕安区新安中学 2026届高三上学期第二次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 2 3 < 0 }, = { | > 0 }，则 ∩ =( )
A. { | > 1} B. { |0 < < 3} C. { | > 3} D. { |0 < < 1}
2.函数 ( ) = √ + 4的零点所在区间是( )
A. (4,5) B. (3,4) C. (2,3) D. (1,2)
3.已知函数 ( ) = 3 ，则 ′(1) =( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
4.遗忘曲线是由德国心理学家艾宾浩斯研究发现的，它描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.某同学根据自
己记100个英语新单词的经历，用画图软件拟合了自己的遗忘曲线，得到其记忆率(记住的单词个数占总单
词数的百分比) 与初次记忆经过的时间 (h)的函数关系式为 = 1 0.5 0.06，当其记住的单词仅剩25个
时， ≈ ( )参考数据：lg2 ≈ 0.30, lg3 ≈ 0.48．
A. 100h B. 300h C. 1000h D. 2000h
1
5.若函数 ( ) = 3 2 + 1在 = 2处取得极小值，则实数 =( )
3
A. 1 B. 2 C. 2 D. 1
6.设函数 ( ) = e e + 3，则使得 (3 2 ) + ( ) > 0成立的 的取值范围是( )
A. (3, +∞) B. ( ∞, 3) C. (1, +∞) D. ( ∞, 1)
7.已知 ( ) = 3 + 2 2 1在R上单调递减，则 的取值范围为( )
4 3 4 3
A. [ , 0] B. ( ∞, ] C. ( ∞, ] D. [ , 0]
3 4 3 4
8.已知可导函数 ( )的导函数为 ′( )，若对任意的 ∈ R，都有 ( ) > ′( ) + 1，且 = ( ) 2025为奇
函数，则不等式 ( ) 2024e > 1的解集为( )
A. ( ∞, 0) B. ( ∞, e) C. (e, +∞) D. (0, +∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.幂函数 ( ) = ( 2 + 1) 1， ∈ ，则下列结论正确的是( )
A. = 1 B. ( 2) < (3)
C. 函数 ( )是偶函数 D. 函数 ( )的值域为(0, +∞)
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10.下列说法正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2
B. 命题“ ∈ , 1 < ( ) ≤ 2”的否定是“ ∈ , ( ) ≤ 1或 ( ) > 2”
1 1
C. 如果 > 0，那么“ < ”是“ > ”的充要条件

D. ∈ ，不等式 2 + 1 > 0恒成立，则 的取值范围是(0,4)
11.已知定义域为 的函数 ( )，对任意实数 , 都有 ( + ) + ( ) = 2 ( ) ( )，且 (2) = 1，则
以下结论一定正确的有( )
A. (0) = 1 B. ( )是奇函数
C. ( )关于(1,0)中心对称 D. (1) + (2) + + (2025) = 0
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知函数 = log ( 2) 1的图象过定点( , )，则 + 的值为 ．
2
13.若函数 ( ) = 2
2
( ∈ )为奇函数，则实数 = ．
+1
14.已知函数 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≤ 0时， ( )单调递减，则不等式 (log3(2 3)) >
(log38)的解集为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
6
已知集合 = { | < 0}， = { | 2 4 < 0}．
2
(1)求 R( ∩ )；
(2)已知集合 = { | + 1 < < 2 }，若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 ln 在点(1, (1))处的切线与 轴平行．
(1)求 的值；
(2)求 ( )的单调区间和极值．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = e + ( ∈ )．
(1)当 = 2时，求 ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)讨论 ( )的单调性，并求最值．
18.(本小题17分)
已知函数 ( ) = log 22( + 2)．
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(1)若 = 3，求 ( )的定义域；
(2)若 ( )在[2, +∞)上单调递增，求 的取值范围；
(3)设 ( ) = 4 2 +1，若对任意 1 ∈ (0,1)，存在 2 ∈ [ 1,1]，使得不等式 ( 1) ≥ ( 2)成立，求 的取
值范围．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = ln + ，若 ( )有两个不同的零点 1, 2．
(1)求实数 的取值范围；
(2)求证：ln 1 + ln 2 > 2．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2
1
13. /0.5
2
3 25 11
14.{ | < < 或 > }
2 16 2
6
15.【详解】(1)不等式 < 0 ( 6)( 2) < 0，解得2 < < 6，则 = { |2 < < 6}，
2
由不等式 2 4 < 0，解得0 < < 4，则 = { |0 < < 4}，
因此 ∩ = { |2 < < 4}，所以 ( ∩ ) = { | ≤ 2或 ≥ 4}．
(2)由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分条件，得 ，而 = { | + 1 < < 2 }，
当 = 时， + 1 ≥ 2 ，即 ≤ 1，满足 ，因此 ≤ 1；
当 ≠ 时，0 ≤ + 1 < 2 ≤ 4，解得1 < ≤ 2，
所以实数 的取值范围是 ≤ 2．
16.【详解】(1)因为在点(1, (1))处的切线与 轴平行，可得 ′(1) = 0，
1
由 ( ) = 2 ln 得 ′( ) = 2 1 ，则2 1 1 = 0，解得 = 1；

1 2 22 ′ 1 (2 +1)( 1)(2)由(1)得 ( ) = ln ( > 0)，则 ( ) = 2 1 = = ，

1
令 ′( ) = 0，即(2 + 1)( 1) = 0，解得 = (舍)或 = 1，
2
当0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )在(0,1)上单调递减；
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当 > 1时， ′( ) > 0， ( )在(1, +∞)上单调递增；
当 = 1时， ′( ) = 0， ( )在 = 1处取得极小值，极小值 (1) = 0；
综上说述， ( )在(0,1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递增，极小值为0；
17.【详解】(1)当 = 2时， ( ) = e 2 + 2，求导得 ′( ) = e 2，
∴ (0) = e0 2 × 0 + 2 = 3， ′(0) = e0 2 = 1 2 = 1，
∴ ( )在(0, (0))处的切线方程为： 3 = ( 0)，即 + 3 = 0．
(2) ∵ ( ) = e + ( ∈ )，求导得 ′( ) = e ，
当 ≤ 0时， ′( ) = e > 0， ( )在 上单调递增，无最值；
当 > 0时，令 ′( ) = 0，解得 = ln ，
当 < ln 时，e < ， ′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
当 > ln 时，e > ， ′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∴ ( )在( ∞, ln )上单调递减，在(ln , +∞)上单调递增，极小值(也是最小值)为 (ln ) = 2 ln ，无
最大值．
∴当 ≤ 0时， ( )在 上单调递增，无最值；当 > 0时， ( )在( ∞, ln )上单调递减，在(ln , +∞)上单
调递增，最小值为 (ln ) = 2 ln ，无最大值．
18.【详解】(1)由题意得 2 3 + 2 > 0，因式分解得( 1)( 2) > 0，解得 < 1或 > 2，
即函数定义域为( ∞, 1) ∪ (2, +∞)．
(2)因为 = log 在(0, +∞)上单调递增，所以当 ( ) = log ( 22 2 + 2)
在[2, +∞)上单调递增时，函数 = 2 + 2在[2, +∞)单调递增且 > 0，

因为 = 2 + 2是对称轴为直线 = ，开口向上的二次函数，
2

≤ 2
则{ 2 ，解得 < 3，
22 2 + 2 > 0
所以 的取值范围为( ∞, 3)．
(3)对任意 1 ∈ (0,1)，存在 2 ∈ [ 1,1]，使得不等式 ( 1) ≥ ( 2)成立，即任意 1 ∈ (0,1)， ( 2)min ≤
( 1)恒成立，
由 ( ) = 4 2 +1 = (2 )2 2 2 = (2 1)2 1，
1
当 ∈ [ 1,1]时，2 ∈ [ , 2]，则 ( ) ∈ [ 1,0]，所以 (
2 2
)min = 1，
可得任意 1 ∈ (0,1)， ( 1) ≥ 1恒成立，即log (
2
2 1 1 + 2) ≥ 1恒成立，
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1
等价于log 22( 1 1 + 2) ≥ log2 恒成立； 2
1
因为 = log2 在(0, +∞)上单调递增，即
2 + 2 ≥ 在(0,1)恒成立即可，
2
3
即 ≤ + 在(0,1)恒成立，
2
3 3 3 5
由对勾函数可知 = + 在(0,1)上单调递减，所以 + > 1 + = ；
2 2 2 2
5 3
可得 ≤ 时 ≤ + 在(0,1)恒成立；
2 2
5
所以 的取值范围为( ∞, ]．
2
1
19.【详解】(1) ∵ ( ) = ln + 的定义域为(0, +∞)，求导得 ′( ) = + ，

1
当 ≥ 0时， ′( ) = + > 0恒成立，函数 ( )单调递增，最多有1个零点，不符合题意；

1 1
当 < 0时，令 ′( ) = 0，解得 = ，则 = > 0，

1
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，

1
当 ∈ ( , +∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减；

1
∴ ( )在 = 处取得极大值(最大值)，

∵ ( )有两个不同的零点 1, 2，
1 1 1 1 1 1 1
∴极大值 ( ) > 0，即 ( ) = ln ( ) + ( ) = ln ( ) 1 > 0，解得ln ( ) 1 > 0，即 >

1
e，∵ < 0，∴ > ，
e
1
∴实数 的取值范围为( , 0)．
e
(2) ∵ 1, 2是 ( )的零点，
∴ ln 1 + 1 = 0，ln 2 + 2 = 0，即ln 1 = 1，ln 2 = 2，
1
ln
∴ ln 1 + ln 2 = ( 1 +
1 2
2)①，ln = ( 1 2
) = ②，
2 1 2

ln 1

把②代入①得ln 1 + ln
2
2 = ( + )． 1 1 22

不妨设 1 > 2 > 0，令 =
1，则 > 1，
1
= 2，
2
+ +1
∴ ln 1 + ln 2 = ln
2 2 = ln ，
2 2 1
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要证明ln 1 + ln 2 > 2，即证明( + 1)ln > 2( 1)(其中 > 1)，
+1 1
令 ( ) = ( + 1)ln 2( 1)，求导得 ′( ) = ln + 2 = ln + 1 = ( )，

′ 1 1 1再求导得： ( ) = 2 = 2 > 0在 > 1时恒成立，∴当 > 1时，
′( )在(1, +∞)上单调递增，

∵ ′(1) = ln1 + 1 1 = 0，
∴当 > 1时， ′( ) > 0恒成立，∴ ( )在(1, +∞)上单调递增，
∵ (1) = 2ln1 2(1 1) = 0，
∴当 > 1时， ( ) = ( + 1)ln 2( 1) > 0，即( + 1)ln > 2( 1)成立，
∴ ln 1 + ln 2 > 2得证．
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