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专题3.1 认识不等式+专题3.2 不等式的基本性质
1、根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并会根据给定条件列不等式；
2、了解不等号的意义，会用数轴表示简单不等式；
3、理解不等式的三个基本性质；
4、会运用不等式的基本性质进行不等式的变形.。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 不等式的概念 2
考点2. 不等式的辨别 3
考点3. 根据题意列不等式 4
考点4. 在数轴上表示不等式 5
考点5. 不等式的基本性质 6
考点6. 不等式的基本性质的实际应用 7
考点7. 利用不等式的基本性质解简单不等式 8
考点8. 不等式的基本性质的确定参数或范围 10
考点9. 不等式的基本性质的相关证明 10
模块3：培优训练 15
1、用符合“＜”、（或“≤”）、“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。
这些用来连接的符号统称为不等号。
注意：（1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大。
（2）五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作：不等于 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作：小于 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作：大于 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作：小于或等于 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作：大于或等于 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
（2）不等式与数轴
若表示小于a的全体实数，在数轴上对应a左边的所有点，不包括a在内（如图1-1）；
若表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应a右边的所有点，包括a在内（如图1-2）；
若表示大于b而小于a的全体实数，在数轴上对应如图1-3；
图1-1 图1-2 图1-3
2、不等式的性质
性质1（传递性）：若，，则。
性质2：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
即：若，则；若，则；
性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即：若，，则或；若，，则或
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
考点1. 不等式的概念
例1．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　）
A． B．+ C． D．×
变式1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，，则 （填“”、“”或“”填空）．
变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ．
变式3．（2022 无为市月考）下列不等式中，不包括﹣4的是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
考点2. 不等式的辨别
例1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
变式2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
考点3. 根据题意列不等式
例1．（24-25七年级下·陕西·阶段练习）用不等式表示下列不等关系：
(1)a的5倍加上b小于2；(2)m的与n的的和是非负数；(3)x的2倍减去x的不大于11．
变式1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
日期：2024年6月1日 星期六
天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级
A． B． C． D．
变式2．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点4.在数轴上表示不等式
例1.（24-25八年级下·广东深圳·期中）下面把不等式在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（24-25浙江西湖·八年级期中）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25·重庆八年级期中）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
变式3．（24-25八年级上·广东·专题练习）若关于的取值范围如下图所示，用不等式表示为 ．
考点5.不等式的基本性质
例1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（25-26八年级上·广西·阶段练习）已知，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024九年级下·广东·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级下·重庆·开学考试）根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
变式4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，试比较和的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤的数学依据．
解：______．
理由如下：，
_____________（____________），
_____________（____________），
_____________（____________）．
考点6.不等式的基本性质的实际应用
例1．（24-25·浙江·八年级校考期中）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了2只，平均每只羊元，后来他以每只 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（　　）
A． B． C． D．与大小无关
变式1．（24-25九年级下·安徽宣城·培优）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）从甲图到乙图体现的不等关系是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则 7．（填“”或“”）
考点7. 利用不等式的基本性质解简单不等式
例1．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式．
(1)；(2)．
变式1．（24-25八年级下·陕西·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
(1) (2)
变式2．（2025八年级上·广东·专题练习）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式．；
考点8. 不等式的基本性质的确定参数或范围
例1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若不等式两边同除以，得，则的取值范围为 ．
变式1.（24-25八年级下·江西吉安·期末）若，且，则a的值不可能是（　　）
A．0 B． C． D．2
变式2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　）
A． B． C．0 D．1
变式3．（25-26八年级上·重庆长寿·开学考试）已知a，b，c是实数，若，且，则c可能是（　　）
A．1 B．0 C． D．
考点9. 不等式的基本性质的相关证明
例1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得**，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填______；
(2)请尝试证明：若，则．
变式1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：．
变式2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得 ** ，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填_______；
(2)请尝试证明：若，则．
变式3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考
下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务．
初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程：我利用不等式的基本性质推理如下：例（1）已知，试比较与的大小．解：，，．（依据1）．（依据2）（2）已知，，试比较与的大小．解：，．又，．．
任务：(1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________；
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26九年级·贵州·专题练习）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若□是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25七年级下·北京·期中）已知，下列不等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·山西运城·期中）小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24七年级下·浙江台州·期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话．
根据以上对话，用不等式描述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）学完《三角形》这一章后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于．”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为，且．”关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．小桐和小颖都是对的 B．小桐和小颖都是错的
C．小桐是错的，小颖是对的 D．小桐是对的，小颖是错的
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）x减去y不大于，用不等式表示为 ．
12．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．
13．（24-25七年级下·北京·期中）已知，且，则y的取值范围是 ．
14．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ．
15．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么 ．
16．（2023七年级·山东·竞赛）已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）根据下列数量关系写出不等式．
(1)x与5的和的不大于；(2)m除以4的商加上3至多为5；(3)a与b两数和的平方不小于3．
18．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，①
∴．②
∴．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）；
(2)请写出正确的解题过程．
19．（24-25·山东·八年级期中）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
20．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！
(1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据．
(2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来．
21．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程．例（1）已知，试比较与的大小．解：∵，，．（依据1）∴．（依据2）例（2）已知，，试比较与的大小．解：∵，∴．①∵，∴．②由不等式①②，得．
任务：(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
22．（24-25七年级下·新疆·期末）【阅读与思考】用求差法比较大小
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．
如果两个数a，b比较大小，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【探究与实践】(1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果，，那么（或）．
(2)制作某产品有两种用料方案．
方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．
已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？
23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知．
(1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）；
(2)若，，，求与的大小关系．
24．（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数、满足，求证：．
证明：且，均为正 （已知）
，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
（不等式的传递性）
即，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若，求证：；
(2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值．
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专题3.1 认识不等式+专题3.2 不等式的基本性质
1、根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义，并会根据给定条件列不等式；
2、了解不等号的意义，会用数轴表示简单不等式；
3、理解不等式的三个基本性质；
4、会运用不等式的基本性质进行不等式的变形.。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 不等式的概念 2
考点2. 不等式的辨别 3
考点3. 根据题意列不等式 4
考点4. 在数轴上表示不等式 5
考点5. 不等式的基本性质 6
考点6. 不等式的基本性质的实际应用 7
考点7. 利用不等式的基本性质解简单不等式 8
考点8. 不等式的基本性质的确定参数或范围 10
考点9. 不等式的基本性质的相关证明 10
模块3：培优训练 15
1、用符合“＜”、（或“≤”）、“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫作不等式。
这些用来连接的符号统称为不等号。
注意：（1）不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大。
（2）五种不等号的读法及其意义：
符号 读法 意义
“≠” 读作：不等于 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小
“＜” 读作：小于 表示左边的量比右边的量小
“＞” 读作：大于 表示左边的量比右边的量大
“≤” 读作：小于或等于 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量
“≥” 读作：大于或等于 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量
（2）不等式与数轴
若表示小于a的全体实数，在数轴上对应a左边的所有点，不包括a在内（如图1-1）；
若表示大于或等于a的全体实数，在数轴上对应a右边的所有点，包括a在内（如图1-2）；
若表示大于b而小于a的全体实数，在数轴上对应如图1-3；
图1-1 图1-2 图1-3
2、不等式的性质
性质1（传递性）：若，，则。
性质2：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。
即：若，则；若，则；
性质3：不等式两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
即：若，，则或；若，，则或
注意：不等式的性质是解不等式的重要依据，在解不等式时，应注意：在不等式的两边同时乘以（或除以）一个负数时，不等号的方向一定要改变。
考点1. 不等式的概念
例1．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）若是不等式，则“”代表的符号可以是（　　）
A． B．+ C． D．×
【答案】A
【详解】解：是不等式，则“”代表的符号可以是，故选：A．
变式1．（25-26七年级上·江苏·阶段练习）若，，则 （填“”、“”或“”填空）．
【答案】
【详解】解：∵，，∴，
∵两个负数比较，绝对值大的反而小，∴，
又∵，，∴，∴，故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·重庆·期中）若，则 ．
【答案】>
【详解】解：，，．故答案为：．
变式3．（2022 无为市月考）下列不等式中，不包括﹣4的是（　　）
A．x≤﹣3 B．x≥﹣4 C．x≤﹣5 D．x≥﹣6
【答案】C
【详解】解：A选项，﹣3以及比﹣3小包括﹣4，不合题意；
B选项，可以等于﹣4，不合题意；
C选项，﹣5以及比﹣5小的数不包括﹣4，符合题意；
D选项，﹣6以及比﹣6大的数包括﹣4，不合题意；故选：C．
考点2. 不等式的辨别
例1．（24-25八年级下·广东清远·期末）在下列数学式子：①，②，③，④，⑤中，是不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【详解】解：① 使用了“<”，是不等式；② 使用了“>”，是不等式；
③ 是等式，不是不等式；④ 是代数式，不含不等号，不是不等式；
⑤ 使用了“≥”，是不等式．故选：B．
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式的个数是（ ）
A．5 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【详解】解：①，是不等式；②，是不等式；③，不是不等式；
④，不是不等式；⑤，是不等式；⑥，是不等式．故选：D
变式2．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）下列式子中，①；②；③；④；⑤；⑥．是不等式的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
【答案】A
【详解】解：不等式有：①；③；④；⑤；⑥，共5个．故选：A．
考点3. 根据题意列不等式
例1．（24-25七年级下·陕西·阶段练习）用不等式表示下列不等关系：
(1)a的5倍加上b小于2；(2)m的与n的的和是非负数；(3)x的2倍减去x的不大于11．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：根据题意得：；
（2）解：根据题意得：；
（3）解：根据题意得：．
变式1．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）如下是南昌市2024年某一天的天气情况，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（ ）
日期：2024年6月1日 星期六
天气：雨~多云 最高气温： 最低气温： 风向：北风3级
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：最高气温是，即气温小于或等于，最低气温是，即气温大于或等于，当天某一时刻的气温为，则的变化范围是故选：D．
变式2．（24-25八年级下·山东·期末）“限高有度，安全无限”，这句宣传语提醒驾驶员在行驶过程中要注意限高标志，避免因超高而引发安全事故．某隧道入口处立有如图所示的限制车高的标志牌，则通过该隧道的车高的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：，故选：A．
变式3．（24-25七年级下·山东泰安·期末）如图是小明与爸爸乘坐私家小轿车在济泰高速路上看到的交通标志牌，如果他们小轿车速度为，那么小明提醒爸爸车速应控制的范围用不等式表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：根据题意，得．故选：C．
考点4.在数轴上表示不等式
例1.（24-25八年级下·广东深圳·期中）下面把不等式在数轴表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：不等式在数轴上表示为
故选：B ．
变式1．（24-25浙江西湖·八年级期中）如图，该数轴表示的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：该数轴表示的不等式的解集为1＜x＜2．故选：D．
变式2．（24-25·重庆八年级期中）某天，孟孟与欢欢在讨论攀攀的年龄，欢欢说：“攀攀至多3岁．”而孟孟说：“攀攀的年龄一定大于1岁．”则攀攀年龄的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】解：由题意得，攀攀的年龄大于1且小于等于3，故选：C．
变式3．（24-25八年级上·广东·专题练习）若关于的取值范围如下图所示，用不等式表示为 ．
【答案】
【详解】解：由数轴可知，不等式表示为，故答案为：．
考点5.不等式的基本性质
例1．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）若，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、由，可得，原式不成立，不符合题意；
B、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
C、由，不一定能得到，例如，但是，原式不一定成立，不符合题意；
D、由，可得，原式一定成立，符合题意；故选：D．
变式1．（25-26八年级上·广西·阶段练习）已知，则下列变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、不等式两边同乘以3，得，故本选项的变形正确；
B、不等式两边同乘以，得，故本选项的变形错误；
C、不等式两边同减去2，得，故本选项的变形错误；
D、不等式两边同乘以c，若，则；若，则；若，则．故本选项的变形错误．故选：A
变式2．（2024九年级下·广东·学业考试）若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意；
B、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意；
C、∵，∴，正确，故本选项符合题意；
D、∵，∴，本选项错误，故本选项不符合题意；故选：C．
变式3．（24-25八年级下·重庆·开学考试）根据不等式的基本性质，下列变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】B
【详解】解：A、由，得，故选项不符合题意；
B、由，可知，两边同时除以得，故选项符合题意；
C、由，得，故选项不符合题意；
D、由，得，故选项不符合题意；故选：B．
变式4．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知，试比较和的大小，并说明理由．请将下面的解题过程补充完整，括号内填写该步骤的数学依据．
解：______．
理由如下：，
_____________（____________），
_____________（____________），
_____________（____________）．
【答案】；；不等式的基本性质3；；不等式的基本性质1； ；不等式的基本性质2
【详解】解：．
理由如下：，（不等式的基本性质3），
（不等式的基本性质1），
（不等式的基本性质2）．
故答案为：；；不等式的基本性质3；；不等式的基本性质1； ；不等式的基本性质2．
考点6.不等式的基本性质的实际应用
例1．（24-25·浙江·八年级校考期中）甲在集市上先买了只羊，平均每只元，稍后又买了2只，平均每只羊元，后来他以每只 元的价格把羊全卖给了乙，结果甲发现赚了钱，赚钱的原因是（　　）
A． B． C． D．与大小无关
【答案】C
【详解】解：由题意，甲买羊共付出（）元，卖羊的共收入元，
∵甲赚了钱，∴＜，解得：，故选：C．
变式1．（24-25九年级下·安徽宣城·培优）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）
A． B． C． D．以上都不对
【答案】B
【详解】解：∵设前三名的平均身高为a米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，∵∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴，即，故选：B．
变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）从甲图到乙图体现的不等关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：甲图体现的不等关系为，
乙图体现的不等关系为，∴只有选项符合题意，故选：．
变式3．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则 7．（填“”或“”）
【答案】
【详解】解：由题意得，，∴，∴，故答案为：．
考点7. 利用不等式的基本性质解简单不等式
例1．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式．
(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵，
∴，
．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
变式1．（24-25八年级下·陕西·阶段练习）根据不等式的性质，将下列不等式化成“”或“”的形式．
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式2．（2025八年级上·广东·专题练习）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为“”或“”的形式．；
【答案】
【详解】解：，
，即，
，即．
考点8. 不等式的基本性质的确定参数或范围
例1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若不等式两边同除以，得，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】不等式两边同除以，得
根据题意可知，不等号的方向改变了
当且仅当除以一个负数时，不等号的方向会改变故
由于是除数，故故解得：故答案为：．
变式1.（24-25八年级下·江西吉安·期末）若，且，则a的值不可能是（　　）
A．0 B． C． D．2
【答案】D
【详解】∵，，∴，只有D不在范围内，故选：D．
变式2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【详解】解：由数轴可知，，
若，则，即取值可能为1，故选：D．
变式3．（25-26八年级上·重庆长寿·开学考试）已知a，b，c是实数，若，且，则c可能是（　　）
A．1 B．0 C． D．
【答案】C
【详解】解：，且，则c一定是负数，故选：C．
考点9. 不等式的基本性质的相关证明
例1．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得**，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填______；
(2)请尝试证明：若，则．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）解：依题意，**处应填， 故答案为：；
（2）证明：∵，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1，可得，
将不等式两边都除以2，由不等式的性质2，可得，．
变式1．（2025·福建漳州·模拟预测）已知，求证：．
【答案】证明见解析
【详解】证明：∵，∴，∴，
∵，∴，即．
变式2．（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）阅读材料：
小安论证结论“若，则”的正确性，证明过程如下：
因为，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得 ** ，②
由①②，可得．
(1)在阅读材料中，**处应填_______；
(2)请尝试证明：若，则．
【答案】(1)(2)证明见解析
【详解】（1）解：∵，将不等式的两边都乘以正数x，由不等式的性质2，可得，①
将不等式的两边都乘以正数y，由不等式的性质2，可得，②
由①②，可得，故答案为：；
（2）证明：因为，将不等式两边都加上c，由不等式的性质1，可得，①
因为，将不等式两边都加上b，由不等式的性质1，可得，， ②
由①②，得．
变式3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）阅读与思考
下面是小敏同学撰写的一则数学小论文，请你认真阅读并完成下列任务．
初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容．代数推理侧重于数与式、方程与不等式、函数等相关内容的运算、变形、证明，抽象程度较高，并且不同的代数推理中涵盖不同的推理思想．其中，方程与不等式的推理是初中代数推理的重要组成部分，我们运用代数推理技巧，对方程或不等式进行变形和化简，以便找到解或解集，也可用来比较代数式的大小．下面是我的推理过程：我利用不等式的基本性质推理如下：例（1）已知，试比较与的大小．解：，，．（依据1）．（依据2）（2）已知，，试比较与的大小．解：，．又，．．
任务：(1)上面小论文中的“依据1”是________，“依据2”是________；
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比材料中（2）的推理方法，比较与的大小．
【答案】(1)依据1：不等式的基本性质3；依据2：不等式的基本性质1(2)
【详解】（1）解：依据1：不等式的基本性质3［或如果，并且，那么，或不等式的两边都乘以（或都除以）同一个负数，不等号的方向改变］
依据2：不等式的基本性质1［或如果，那么，或不等式的两边都加上（或都减去）同一个数，不等号的方向不变］；
（2）解：，，．
，，．．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（25-26九年级·贵州·专题练习）不等式在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在数轴上表示不等式，步骤如下：
①先找到数字对应的点，∵是（不包含），∴在这个点画空心圆圈；
②再根据“小于向左”的原则，将空心圆圈左边的区域表示出来．
A、是的表示，不符合题意；
B、是的表示（实心圆点且向右），不符合题意；
C、在处画空心圆圈，且向左表示，符合的解集表示，符合题意；
D、是的表示（实心圆点且向左），不符合题意．故选：C．
2．（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）老师在黑板上写了下列式子：①；②；③；④；⑤，其中是不等式的有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【详解】解：个式子中，其中式子，，是不等式，有个．故选：C．
2．（24-25七年级下·福建泉州·期中）若□是不等式，则符号“□”不能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：∵□是不等式，∴□内不可能为，故选：A．
3．（24-25七年级下·北京·期中）已知，下列不等式中，成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．，，故本选项不符合题意；
B．，，故本选项不符合题意；
C．，，故本选项符合题意；
D．，，故本选项不符合题意．故选：C．
4．（2025·河北沧州·模拟预测）根据下图所示，可知x□20，则“□”内应填的符号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由图可知，，故选：B．
5．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）若不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：不等式“”可以表示“不小于3的数”，则被墨迹覆盖的不等号是：，故选：C．
6．（24-25八年级下·山西运城·期中）小华乘坐电梯时，留意到电梯内的限重标志（如图），上面标注着“限载”．若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则下列选项中对该标志解释准确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：“限载”表示物体总质量不超过，
若电梯内所有乘客与所携带物品的总质量为，则，故选：B．
7．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误；
B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误；
C：当时，，则，则错误，因此，C错误；
D：由得，，则，因此，D正确．故选D．
8．（23-24七年级下·浙江台州·期末）若，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：若，若，则，故选项A不一定成立，不符合题意，
若，则，故选项B不一定成立，不符合题意，
若，，故选项C不一定成立，不符合题意，
∵，∴，∴，选项D一定成立，符合题意，故选：D．
9．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话．
根据以上对话，用不等式描述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【详解】解：根据小星的描述可得，
根据小红的描述可得，即若，则，故选：B．
10．（24-25七年级下·福建泉州·期末）学完《三角形》这一章后，小桐说：“存在三角形三条边上的高之比等于．”小颖说：“存在锐角三角形三个内角之比为，且．”关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．小桐和小颖都是对的 B．小桐和小颖都是错的
C．小桐是错的，小颖是对的 D．小桐是对的，小颖是错的
【答案】D
【详解】解：设三角形三边上的高分别为，对应边长为，
由面积公式得：，
化简得边长之比为 ，通分后为 ，
验证三边关系：，满足三角形三边关系，故存在这样的三角形，小桐的说法正确；
由锐角三角形三个内角之比为，且满足 ，
设三个内角度数为，
由三角形内角和为，代入得：，即，
∵，∴，
∴，但锐角三角形的每个角均小于 ，矛盾，因此不存在满足条件的锐角三角形，小颖的说法错误．故选： D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）x减去y不大于，用不等式表示为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得，，故答案为：．
12．（22-23七年级下·河南驻马店·期中）假期里全家去旅游，路边的限速标志牌如图所示，爸爸开小型客车走中间车道，你给爸爸建议车速为 ．
【答案】80（答案不唯一）
【详解】解：由图可知：该车道上车辆行驶速度的取值范围，
建议车速为. 故答案为：（答案不唯一）．
13．（24-25七年级下·北京·期中）已知，且，则y的取值范围是 ．
【答案】/
【详解】解：，，，.故答案为：
14．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ．
【答案】（答案不唯一，只需即可）
【详解】解：由，一定有，∴，∴的整数值可以为，
故答案为：．（答案不唯一，只需即可）
15．（24-25七年级下·上海普陀·期末）用适当的不等号填空：如果，那么 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，故答案为：．
16．（2023七年级·山东·竞赛）已知一个三角形的两边长分别为和，这个三角形的周长C取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：设三角形第三边为，则三角形的周长，
∵，∴，
即：，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）根据下列数量关系写出不等式．
(1)x与5的和的不大于；
(2)m除以4的商加上3至多为5；
(3)a与b两数和的平方不小于3．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：
（3）解：由题意得：．
18．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）先阅读下面的解题过程，再解题．
已知，试比较与的大小．
解：∵，①
∴．②
∴．③
(1)上述解题过程中，从步骤________开始出现错误（填写序号）；
(2)请写出正确的解题过程．
【答案】(1)②(2)见解析
【详解】（1）解：根据不等式两边同乘以一个负数，不等号要改变方向，可得上述解题过程中，从步骤②开始出现错误，故答案为：②；
（2）∵，∴．
∴．
19．（24-25·山东·八年级期中）根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．
(1)； (2)； (3)； (4)．
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)解：，
两边加上得：，
解得：；
(2)解：，
两边加上得：，即，
两边除以得：；
(3)解：，
两边减去得：，即，
两边除以得：；
(4)解：，
两边除以得：．
20．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）同学们，你们喜欢玩跷跷板吗？下面这个问题就和跷跷板有关，请你来挑战一下吧！
(1)三个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为a，b，c，示意图如图1，试比较b和c的大小关系，并说明依据．
(2)四个小朋友在公园玩跷跷板，他们的体重分别为p，q，r，s，示意图如图2，试分析这四个小朋友体重的大小关系，并用“”连接起来．
【答案】(1)，理由见解析(2)
【详解】（1）解：∵，，∴，∴．
（2）解：∵① ② ③
由①，②可知，由②－③，得，
∴，∴，由③得④，
②－④，得，∴，∴，∴．
21．（24-25七年级下·山西阳泉·期末）阅读与思考
下面是小敏同学的数学日记，请你认真阅读并完成下列任务．
×年×月×日 星期五 晴我们运用代数推理，对方程与不等式进行变形和化简，可以找到解和解集．下列是我利用不等式的基本性质比较代数式大小的代数推理过程．例（1）已知，试比较与的大小．解：∵，，．（依据1）∴．（依据2）例（2）已知，，试比较与的大小．解：∵，∴．①∵，∴．②由不等式①②，得．
任务：(1)小敏日记中的“依据1”是________，“依据2”是________．
(2)已知a，b，c，d都是正数，且，，请类比小敏日记中例（2）的推理过程，比较与的大小关系．
【答案】(1)不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）；不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
(2)
【详解】（1）解：依题意，依据1：不等式的基本性质3（或者不等式的两边都乘以或都除以同一个负数，不等号的方向改变）．
依据2：不等式的基本性质1（或者不等式的两边都加上或都减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变）．
（2）解：依题意，∵，，∴①，
又∵，，∴②，由①②可得：
22．（24-25七年级下·新疆·期末）【阅读与思考】用求差法比较大小
两个数量的大小可以通过它们的差来判断．
如果两个数a，b比较大小，那么当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有． 反过来也对，即当时，一定有；当时，一定有；当时，一定有．
因此，我们经常把两个要比较的对象先数量化，再求它们的差，根据差的正负判断对象的大小．
【探究与实践】(1)请用作差法证明不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．如果，，那么（或）．
(2)制作某产品有两种用料方案．
方案一：用4块A型钢板，8块B型钢板；方案二：用3块A型钢板，9块B型钢板．
已知A型钢板的面积比B型钢板大，从省料角度考虑，应选哪种方案？
【答案】(1)证明见解析(2)从省料角度考虑，应选方案二
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，∴，∴；
∵，，，∴，，
∴，∴．
（2）解：设一块型钢板的面积为，一块型钢板的面积为，
方案一所用钢板的面积为，方案二所用钢板的面积为，
，
，∴，
，从省料角度考虑，应选方案二．
23．（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知．
(1)比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）；
(2)若，，，求与的大小关系．
【答案】(1)；(2)
【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴；
②∵， ∴， 即， 故答案为：，；
（2）解：由（1）得，， ∴，
∵，，，
∴
，∴．
24．（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题．
材料：已知实数、满足，求证：．
证明：且，均为正 （已知）
，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变）
（不等式的传递性）
即，
解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据）
(1)若，求证：；
(2)已知有理数，，满足：，，．试求的最小值．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：，，，；
（2）解：，，
，即，
又，，
，，，的最小值是．
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