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专题3.3 一元一次不等式及其解法
1、理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念；
2、掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式；
3、会在数轴上表示一元一次不等式的解；
4、会用一元一次不等式解决简单的实际问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 一元一次不等式的辨别 2
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数 4
考点3. 一元一次不等式的解和解集 4
考点4. 解一元一次不等式 5
考点5. 在数轴上表示一元一次不等式的解集 8
考点6. 一元一次不等式的整数解 9
考点7. 根据不等式的解或解集求参数（范围） 10
考点8. 含参数的一元一次不等式 11
考点9. 含绝对值的不等式 12
考点10. 用一元一次不等式解决实际问题 15
考点11. 一元一次不等式的其他含参问题 17
模块3：培优训练 19
1、不等式的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的的不等式叫作一元一次不等式。（linear inequality in one unknown）
2、把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集（solution set）。求不等式解的过程叫做解不等式。
3、解一元一次不等式的一般步骤和根据：
步骤 根据
1 去分母 不等式的基本性质3
2 去括号 单项式乘多项式发则
3 移项 不等式的基本性质2
4 合并同类项，得（或）（） 合并同类项法则
5 系数化1，即两边同除以a 不等式的基本性质3
4、不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示。如：不等式x-2≤6的解集为x≤8。
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解。
如图所示：
注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．
(1)确定“边界点：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画。
考点1. 一元一次不等式的辨别
例1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A．原式是一元一次不等式，故本选项符合题意；
B．原式不是一元一次不等式，故本选项不符合题意；
C．原式是二元一次不等式，故本选项不符合题意；
D．原式是一元二次不等式，故本选项不符合题意．故选：A．
变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A．是代数式，不含不等号，不符合定义，故A不符合题意；
B．是等式，不是不等式，排除，故B不符合题意；
C．含有一个未知数x，次数为1，且两边为整式，符合一元一次不等式定义，故C符合题意；
D．中不是整式，不符合条件，故D不符合题意．故选：C．
变式2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】A、，因为是分式，所以该不等式不是整式不等式，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意；
B、是等式，不是不等式，不符合题意；
C、，含有一个未知数，未知数的次数是1，并且是用大于号连接的整式不等式，符合一元一次不等式的定义，符合题意；
D、，可得，未知数的最高次数是2，不是1，不满足一元一次不等式的定义，不符合题意，故选：C．
变式3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、 不含不等号，是等式，本选项不符合题意；
B、 是代数式，本选项不符合题意；C、 不含未知数，本选项不符合题意；
D、 含未知数x，次数为1，用“”连接，且为整式，是一元一次不等式，本选项符合题意．
故选：D．
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数
例1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
【答案】A
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，∴．故选：A
变式1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式，
∴，解得．故答案为：．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【详解】解：根据题意得，解得：，故答案为：．
变式3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ．
【答案】
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，解得，∴的值为，故答案为：．
考点3. 一元一次不等式的解和解集
例1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　）
A．是的解 B．是的解集
C．是的解集 D．是的解集
【答案】D
【详解】解：A、是的解集，所以不是此不等式的解，选项A错误；
B、是的解集，选项B错误；
C、是的解集， 选项C错误；
D、是的解集，选项D正确，符合题意；故选：D；
变式1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、中包含，符合题意；
B、中不包含，不符合题意；
C、中不包含，不符合题意；
D、中不包含，不符合题意；故选：A．
变式2.（24-25广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
【答案】B
【详解】A、小于5的整数有无数个，正确；B、不等式﹣2x＜8的解集是x＞﹣4，错误；
C、不等式x＞﹣5的负整数解集有﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，正确；
D、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，因而﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解，正确．故选B．
变式3．（24-25·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；故选：C．
考点4. 解一元一次不等式
例11．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）解下列不等式：
(1)； (2)．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）解不等式
(1) (2)
【答案】(1)(2)
【详解】（1）移项合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：．
变式2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）解不等式．
(1)；(2)；(3)；(4)．
【答案】(1)，(2)，(3)，(4)，
【详解】（1）解：，
移项得，
合并同类项得，，
x的系数化为1得，；
（2）解：，
移项得，
合并同类项得，，
x的系数化为1得，；
（3）解：，
移项得，，
合并同类项得，，
x的系数化为1得，；
（4）解：，
去分母得，，
移项得，，
合并同类项得，；
变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得……第四步
系数化为1，得……第五步
所以不等式的解集为：
任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请把正确的解答过程完整的写出来．
【答案】任务一：一，去分母时把1漏乘以12；任务二：见解析
【详解】解：任务一：以上解题过程中，从第一步开始出现错误，错误的原因是：去分母时把1漏乘以12；
任务二：解不等式
解：去分母，得
去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
所以不等式的解集为．
考点5. 在数轴上表示一元一次不等式的解集
例1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：
移项得，
合并同类项得，
数轴表示如下所示：
故选：B．
变式1．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∴，
∴在数轴上表示解集为：
故选：．
变式2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：解不等式可得，
将解集表示在数轴上如图所示：
故选：A．
变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
移项得，
故此不等式的解集为．
在数轴上表示为：
．
故选：D．
考点6. 一元一次不等式的整数解
例1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】解：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
则正整数解有3，2，1，一共3个．故选：C．
变式1．（24-25七年级下·江苏·期中）不等式的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【详解】解：；
所以不等式的负整数解为，，，共个．故选：C．
变式2．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ．
【答案】
【详解】解：
，
∴不等式的最大整数解是，故答案为：．
变式3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）不等式的最大整数解为 ．
【答案】
【详解】解：，
，
，
，
∴不等式的最大整数解为．故答案为：．
考点7. 根据不等式的解或解集求参数（范围）
例1．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）若不等式的解集是，则必满足（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵不等式的解集是，∴，∴，故选：C．
变式1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如果关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
【答案】C
【详解】解：∵由题意可知，不等式的解集为，
解不等式得，，∴，解得．故选：C．
变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）当 时，不等式的解集是．
【答案】
【详解】解：∵不等式的解集是，
∴，解得，故答案为：．
变式3．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】D
【详解】解：解不等式得，
∵是关于x的不等式的一个解，
∴，解得，∴a可取的最大整数为7，故选：D．
考点8. 含参数的一元一次不等式
例1．（24-25·河南八年级校考期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
【答案】或或无解．
【详解】解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，
当即时，此不等式为无解．
变式1．（24-25·陕西商洛·七年级校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集．
【答案】
【详解】∵关于的不等式的解集为
∴a+3b＜0， ∴a＜-3b，8a＝-12b，即2a+3b＝0
∵a+3b＜0， ，∴a＞0，b＜0
∴的解集为： 故答案为：．
变式2．（24-25·广东江门·八年级校考开学考试）已知、为有理数，不等式的解集是，求不等式的解集．
【答案】
【详解】解：∵∴，
，且．，
将代入得，，即，故．
关于的不等式可化为．
，，．
考点9. 含绝对值的不等式
例1．（24-25七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
(1)的解集为______；(2)解不等式；(3)解不等式．
【答案】(1)(2)(3)或
【详解】（1）解：由题意知，的解集为，故答案为：；
（2）解：由题意得不等式可化为，解得；
（3）解：不等式可化为或，解得或．
变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)求含绝对值的不等式的解集；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值．
【答案】(1)或(2)
【详解】（1）解：对于含绝对值的不等式，
从如图的数轴上看：小于或大于2的数的绝对值大于2，
所以的解集为或．根据绝对值的定义得：或；
（2）解：由题意，
，，，
解集为，，．
变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或．
解答下面的问题：(1)解不等式．(2)解不等式．(3)直接写出不等式的解集： ．
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）解：∵，∴，∴．
（2）解：，∴或，∴或．
（3）解：在数轴上找出的解．由绝对值的几何意义知，该方程就是求在数轴上到1和对应的点的距离之和等于5的点对应的x的值．
∵在数轴上1和对应的点的距离为3，
∴满足方程的x对应的点在1的右边或的左边．
若x对应的点在1的右边，可得；若x对应的点在的左边，可得，
∴方程的解是或，
∴不等式的解集为．故答案为．
变式3．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）在江西南昌中学八年级数学社团活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式．求绝对值不等式和的解集．
小江同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求和的解集．
(1)请将小江的探究过程补充完整：
①确定的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于3的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图1，所以，的解集是或________．
②再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于3的所有点所表示的数，并在图2数轴上用笔画线标明范围，所以，的解集为：________．
③经过大量特殊实例的实验，小江得到绝对值不等式的解集为________，的解集为________．
(2)请你根据小江的探究过程及得出的结论，利用所学知识求绝对值不等式的解集．
【答案】(1)①②③或，(2)
【详解】（1）解：①根据数轴的几何意义得，
的解集是或，故答案为：；
②根据数轴的几何意义得，的解集为，故答案为：；
③的解集为或，的解集为；
故答案为：或，；
（2）解：整理得，，
根据数轴的几何意义得，，∴．
考点10. 用一元一次不等式解决实际问题
例1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）榆村御桃，口感香甜，甜而不腻，是咸阳的特色水果之一．每到鲜桃上市旺季，全国各地客商云集，车水马龙，浩浩荡荡，红红火火．某水果客商欲购进100千克榆村御桃，已知御桃的进价是每千克5元，在销售过程中，有的损耗，若销售完这批御桃利润不低于268元，求该水果客商这批御桃售价每千克至少多少元？
【答案】该水果客商这批御桃售价每千克至少8元
【详解】解：设该水果客商这批御桃售价每千克元，
由题意得：，解得，
答：该水果客商这批御桃售价每千克至少8元．
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）旬邑土蜂蜜是原生态蜂蜜，具有润燥解毒功效，味道浓郁且营养丰富，是滋补佳品．某超市购进旬邑土蜂蜜每瓶40元，出售时的标价是每瓶60元．为了减少库存，超市决定打折出售，但要保证每瓶的利润不低于，则每瓶最多打（ ）
A．六五折 B．七折 C．七五折 D．八折
【答案】D
【详解】解：设每瓶打x折，根据题意，得，解得，
答：每瓶最多打八折．故选：D
变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
【答案】D
【详解】解：设可以购进x只，则可以购进只，
根据题意得：，解得：，∴x的最大值为4，
∴最多可以购进4只．故选：D．
变式2．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间（单位：毫秒）与单帧视频数据量（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量的允许范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，解得：，
∵数据量不能为负数，∴，故单帧视频数据量的允许范围是，故选：B．
变式3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）有一片牧场，草每天都均匀地生长，15头牛8天可以将草吃完，12头牛12天可以将草吃完，设每头牛每天吃的草是相等，
问：(1)若有8头牛，几天可以将草吃完？(2)要使草永远也吃不完，最多可以放牧几头牛？
【答案】(1)若有8头牛，36天可以将草吃完(2)至多放牧6头牛
【详解】（1）解：设每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为，
则按题意有：，式，得，∴，
代入①得：，
∴每头牛每天吃草的量为，草每天生长的量为，牧场初始草量为，
设8头牛，a天可以将草吃完，根据题意得：，解得：，
∴若有8头牛，36天可以将草吃完；
（2）要使牧草永远吃不完，则牛每天吃掉的牧草量不能大于每天牧草的生长量，
设放牧的牛的头数为，则有，所以．
由可得，所以，故至多放牧6头牛．
考点11. 一元一次不等式的其他含参问题
例1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵正整数解恰有两个，而最小的正整数是，∴这两个正整数解为和，
要使正整数解是和，那么要大于（如果，则的正整数解只有 ）；
同时不能大于（如果，则的正整数解会有，可能还有，不满足恰有两个正整数解），
∴，∴的最大值为．故选：D．
变式1．（24-25·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
【详解】因为的最小值是a，a=-3；的最大值是b，则b=4；则a-b=-3-4=-7，
故答案为：-7．
变式2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：解，得：，
∵关于x的不等式的正整数解只有1和2，
∴，解得：，故选：B．
变式3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
【答案】
【详解】解：，∴，解得：，
∵关于的方程的解是非负数，∴，解得：．故答案为：．
变式4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足．
(1)当时，则的取值范围为 ；(2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：（1）已知实数，满足，
当时，，解得：，故答案为：；
（2）在（）的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，
，解得：，故答案为：．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、含有2个未知数，故A不符合题意；
B、未知数的次数不是1，故B不符合题意；
C、是一元一次方程，故C不符合题意；
D、是一元一次不等式，故D符合题意．故选D．
2．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）下列不等式的解集中，不包括的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、不包括，故该选项符合题意；
B、包括，故该选项不符合题意；
C、包括，故该选项不符合题意；
D、包括，故该选项不符合题意；故选：A．
3．（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】解：∵关于x的不等式为，∴解得，
由数轴可得解集为，∴，解得．故选：D ．
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解析：移项、合并同类项，得，
系数化为1，得．故选C．
5．（24-25七年级下·广西百色·期中）解不等式的过程中，错误之处是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，解得．
∴A，B，C不符合题意，D符合题意；故选：D．
6．（2024·湖北·模拟预测）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：
，
则解集在数轴上表示如下：故选C
7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．若，则
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是所有非零实数
【答案】C
【详解】、∵，∴，∴是不等式的解，选项原说法正确，不符合题意；
、∵，∴，∴，∴，选项原说法正确，不符合题意；
、不等式的解集是，选项原说法错误，符合题意；
、不等式的解集是所有非零实数，选项原说法正确，不符合题意；故选：．
8.（24-25浙江义乌·八年级校考期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【详解】解：∵ 是不等式的一个解，∴故选A
9．（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　）
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向
不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：A、，解得，故本选项符合题意；
B、，解得，故本选项不符合题意；
C、，解得，故本选项不符合题意；
D、，解得，故本选项不符合题意；故选：A．
10．（24-25八年级下·山西晋中·期末）为促进环保，山西省政府宣布新能源汽车补贴每年递减．年每辆补贴为元，之后每年减少元．小明家计划购车，希望获得补贴不少于元．小明家最晚应在（ ）年购买才能享受不低于元的补贴？
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：设2024年为第1年，第n年的年份为，
根据题意得： ，解得：，
因此，第6年对应的年份为，故选C．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
【答案】1
【详解】解：由题意，得且，解得．故答案为：1．
12．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ．
【答案】
【详解】解：∵满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，
∴，∴，故答案为：．
13．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ．
【答案】
【详解】解：当，即时，，∴；
当，即，，∴，
综上：的取值范围为．故答案为：．
14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）横山小米色泽金黄、营养丰富，富含粗蛋白和多种微量元素，被誉为“小人参”．某超市以35元/袋的进价购进一批横山小米，出售时标价为60元/袋，超市现准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打 折．
【答案】7
【详解】解：设打x折，根据题意得：
则解得：，则至多可打7折．故答案为：7
15．（24-25七年级下·全国·假期作业）张老师：不等式的解集是．这句话对吗？小南：不对，这个不等式的解集是 ．
张老师：小颖，你的观点呢？
小颖：不对，对于不等式来说，漏掉了 至 之间的无数个解．
张老师：同学们回答得很好，不等式的解集是由 组成的．
【答案】 2 5 大于2的所有数
【详解】解：∵，解得，∴不对，这个不等式的解集是，
从两个解集来看，漏掉了至之间的无数个解，
∴不等式的解集是由大于2的所有数组成的，
故答案为：①；②；③；④ 大于2的所有数．
16．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵不等式只有3个正整数解，∴，故答案为：．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式，并在数轴上表示解集．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴见解析(2)，数轴见解析
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
两边都乘以，得.
在数轴上表示为：
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
两边都除以，得.
在数轴上表示为：
18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①去括号得：②移项得：③合并同类项得：④两边都除以得：⑤
(1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程．
【答案】(1)① (2)，过程见解析
【详解】（1）解：由题意得，小明的解答过程从第①步开始出现错误，错误原因是去分母时不等号右边的2没有乘以6；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
19．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）已知关于x的两个不等式：与．
(1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值；
(2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：解不等式，得，
解不等式，得，
两个不等式的解集完全相同，，．
（2）解：不等式的所有解都能使不等式成立，
，解得．
20．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值．
【答案】
【详解】解：，
移项得，
解得．
∵方程的解不大于0，即，
∴，解得．
∴正整数m的取值为．
21．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）本月我校八年级全体学生积极参加贵安社会实践活动，其间开展丰富多彩的研学实践活动．某班教官布置一项团队任务；已知 A 组单独制作完成需要 小时，B组单独制作完成需要5小时，严教官要求4个小时之内制作完成这项任务．现A、B两组共同制作若干小时后，A组去执行新的任务，B组继续制作并在严教官规定的时间内制作完成，问 A 、B两组需共同制作至少多少小时？
【答案】A 、B两组需共同制作至少小时.
【详解】解：设、两组需共同制作小时．
∵组单独制作完成需要小时，
∴组的工作效率为．
∵组单独制作完成需要小时，
∴组的工作效率为．
、共同制作小时的工作量为．
组单独完成的工作量为．
∵总工作量为，且要在个小时之内完成，
∴．
．
．
．
．
．
∴A 、B两组需共同制作至少小时.
22．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）已知关于的不等式．
(1)若是该不等式的解，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵是关于的不等式的解，
∴，∴，∴，∴；
（2）解：∵不是关于的不等式的解，
∴，∴，∴，∴，∴．
23．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．(2)求不等式的解集．(3)求不等式的解集．
【答案】(1)(2)或(3)
【详解】（1）解：∵，∴，故答案为：；
（2）解：法①：在数轴上到2的距离大于或等于3的点对应的数小于或等于或者大于或等于5，
不等式的解集为或；
法②：不等式可化为或，解得：或；
不等式的解集为或；
（3）解：不等式可化为，，
所以原不等式的解集为：．
24．（24-25七年级下·吉林长春·期末）
问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务．
调研 调研：某次篮球联赛积分队名比赛场次胜场负场积分前进东方光明雄鹰卫星钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同．
问题解决
任务 根据调研中的数据回答问题：（1）某次篮球联赛积分中，胜一场积____分，负一场积____分，卫星队的积分为______分；（2）求雄鹰队的胜场数和负场数．
任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场．（3）火炬队已经获得积分为______分；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？
【答案】（1），，；（2）雄鹰队胜了场，负了场；（3）；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场．
【详解】解：由题意，钢铁队比赛场，负场，积分为分，负一场积分，
前进队比赛场，胜场，负场，积分为分，胜一场积分，
卫星队胜了场，负了场，积分分，故答案为：，，；
由题意，设雄鹰队胜了场，则负了场，
．解得：，，∴雄鹰队胜了场，负了场；
由题意，火炬队的积分为：分，故答案为：；
由题意，设火炬队在后面的比赛中要胜场，
，解得：，
又为正整数，可取的最小值为，
火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜场．
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专题3.3 一元一次不等式及其解法
1、理解一元一次不等式、一元一次不等式的解的概念；
2、掌握解一元一次不等式的一般步骤，会解一元一次不等式；
3、会在数轴上表示一元一次不等式的解；
4、会用一元一次不等式解决简单的实际问题。
模块1：知识梳理 2
模块2：核心考点 3
TOC \o "1-4" \h \z \u 考点1. 一元一次不等式的辨别 2
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数 4
考点3. 一元一次不等式的解和解集 4
考点4. 解一元一次不等式 5
考点5. 在数轴上表示一元一次不等式的解集 8
考点6. 一元一次不等式的整数解 9
考点7. 根据不等式的解或解集求参数（范围） 10
考点8. 含参数的一元一次不等式 11
考点9. 含绝对值的不等式 12
考点10. 用一元一次不等式解决实际问题 15
考点11. 一元一次不等式的其他含参问题 17
模块3：培优训练 19
1、不等式的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的的不等式叫作一元一次不等式。（linear inequality in one unknown）
2、把使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集（solution set）。求不等式解的过程叫做解不等式。
3、解一元一次不等式的一般步骤和根据：
步骤 根据
1 去分母 不等式的基本性质3
2 去括号 单项式乘多项式发则
3 移项 不等式的基本性质2
4 合并同类项，得（或）（） 合并同类项法则
5 系数化1，即两边同除以a 不等式的基本性质3
4、不等式的解集的表示方法
（1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示。如：不等式x-2≤6的解集为x≤8。
（2）用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解。
如图所示：
注意：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定“方向”．
(1)确定“边界点：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画。
考点1. 一元一次不等式的辨别
例1．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）下列不等式中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·上海嘉定·期中）下列各式中，是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）下列式子中是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25八年级下·陕西西安·期中）下列各式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
考点2. 根据一元一次不等式得概念求参数
例1．（24-25七年级下·辽宁营口·期末）若是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
变式1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ．
变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若是关于的一元一次不等式，则 ．
变式3．（24-25七年级下·辽宁沈阳·期末）若是关于的一元一次不等式，则 ．
考点3. 一元一次不等式的解和解集
例1．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）关于不等式的解和解集，下列说法正确的是（　　）
A．是的解 B．是的解集
C．是的解集 D．是的解集
变式1．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（ ）
A． B． C． D．
变式2.（24-25广东·八年级课时练习）下列说法中，错误的是（　　）
A．不等式x＜5的整数解有无数多个 B．不等式﹣2x＜8的解集是x＜﹣4
C．不等式x＞﹣5的负整数解是有限个 D．﹣40是不等式2x＜﹣8的一个解
变式3．（24-25·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
考点4. 解一元一次不等式
例11．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）解下列不等式：
(1)； (2)．
变式1．（25-26八年级上·浙江杭州·开学考试）解不等式
(1) (2)
变式2．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）解不等式．
(1)；(2)；(3)；(4)．
变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）请根据小明同学解不等式的过程，完成下面各项任务：解不等式
解：去分母，得……第一步
去括号，得……第二步
移项，得……第三步
合并同类项，得……第四步
系数化为1，得……第五步
所以不等式的解集为：
任务一：以上解题过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：请把正确的解答过程完整的写出来．
考点5. 在数轴上表示一元一次不等式的解集
例1．（24-25七年级下·广东江门·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．（25-26八年级上·浙江温州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点6. 一元一次不等式的整数解
例1．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）不等式的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式1．（24-25七年级下·江苏·期中）不等式的负整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式2．（2025·上海·二模）不等式的最大整数解是 ．
变式3．（25-26八年级上·吉林长春·开学考试）不等式的最大整数解为 ．
考点7. 根据不等式的解或解集求参数（范围）
例1．（24-25七年级下·黑龙江·阶段练习）若不等式的解集是，则必满足（ ）．
A． B． C． D．
变式1．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如果关于x的不等式的解集在数轴上表示如图，那么a的值为（ ）
A． B．2 C． D．6
变式2．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）当 时，不等式的解集是．
变式3．（23-24七年级下·陕西商洛·期末）若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
考点8. 含参数的一元一次不等式
例1．（24-25·河南八年级校考期中）先阅读，再解答:写出关于的不等式的解集，
解:利用不等式的性质，不等式两边都除以，
因不知的符号，所以应分情况讨论:
当即时，
当即时，；
当，即时，此不等式为无解．
请根据以上解不等式的思想方法，解关于的不等式．
变式1．（24-25·陕西商洛·七年级校考阶段练习）已知关于的不等式的解集为 ，求关于的一元一次不等式的解集．
变式2．（24-25·广东江门·八年级校考开学考试）已知、为有理数，不等式的解集是，求不等式的解集．
考点9. 含绝对值的不等式
例1．（24-25七年级下·江西赣州·期末）先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题．①因为，从数轴上（如图1）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或．②因为，从数轴上（如图2）可以看出只有大于且小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为．
(1)的解集为______；(2)解不等式；(3)解不等式．
变式1．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）请阅读下面求含绝对值的不等式和的解集过程．
对于含绝对值的不等式，从图1的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值小于3，所以的解集为；对于含绝对值的不等式，从图2的数轴上看：小于或大于3的数的绝对值大于3，所以的解集为或．
(1)求含绝对值的不等式的解集；
(2)已知含绝对值的不等式的解集为，求a，b的值．
变式2．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）先阅读，再完成练习．
一个数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
，x表示到原点的距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数，它们到原点的距离小于3，所以的解集是；
，x表示到原点的距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数，它们到原点的距离大于3，所以的解集是或．
解答下面的问题：(1)解不等式．(2)解不等式．(3)直接写出不等式的解集： ．
变式3．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）在江西南昌中学八年级数学社团活动中，老师提出了如下问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式．求绝对值不等式和的解集．
小江同学的探究过程如下：
先从特殊情况入手，求和的解集．
(1)请将小江的探究过程补充完整：
①确定的解集过程如下：先根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离大于3的所有点所表示的数，在数轴上确定范围如图1，所以，的解集是或________．
②再来确定的解集：同样根据绝对值的几何定义，在数轴上找到到原点的距离小于3的所有点所表示的数，并在图2数轴上用笔画线标明范围，所以，的解集为：________．
③经过大量特殊实例的实验，小江得到绝对值不等式的解集为________，的解集为________．
(2)请你根据小江的探究过程及得出的结论，利用所学知识求绝对值不等式的解集．
考点10. 用一元一次不等式解决实际问题
例1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）榆村御桃，口感香甜，甜而不腻，是咸阳的特色水果之一．每到鲜桃上市旺季，全国各地客商云集，车水马龙，浩浩荡荡，红红火火．某水果客商欲购进100千克榆村御桃，已知御桃的进价是每千克5元，在销售过程中，有的损耗，若销售完这批御桃利润不低于268元，求该水果客商这批御桃售价每千克至少多少元？
变式1．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）旬邑土蜂蜜是原生态蜂蜜，具有润燥解毒功效，味道浓郁且营养丰富，是滋补佳品．某超市购进旬邑土蜂蜜每瓶40元，出售时的标价是每瓶60元．为了减少库存，超市决定打折出售，但要保证每瓶的利润不低于，则每瓶最多打（ ）
A．六五折 B．七折 C．七五折 D．八折
变式1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）某企业要购进两款机器狗共 5 只．如图所示，已知单价是 1.3 万元/只， 单价是 1 万元/只，且该企业购进两款机器狗的总费用不超过 6.2 万元，则最多可以购进（ ）
A．1 只 B．2 只 C．3 只 D．4 只
变式2．（24-25七年级下·云南玉溪·期末）某自动驾驶企业研发了基于的实时路况分析模型，用于处理车载摄像头采集的高清视频流．模型推理时间（单位：毫秒）与单帧视频数据量（单位：）的关系表达式实测拟合为：，为满足自动驾驶的安全冗余要求，决策延迟时间需不超过40毫秒，则单帧视频数据量的允许范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（24-25七年级上·湖南怀化·阶段练习）有一片牧场，草每天都均匀地生长，15头牛8天可以将草吃完，12头牛12天可以将草吃完，设每头牛每天吃的草是相等，
问：(1)若有8头牛，几天可以将草吃完？(2)要使草永远也吃不完，最多可以放牧几头牛？
考点11. 一元一次不等式的其他含参问题
例1．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若关于的不等式的正整数解恰有两个，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
变式1．（24-25·江苏泰州市·八年级期中）已知的最小值为a，的最大值为b，则a-b=________．
变式2．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）若关于x的不等式的正整数解只有1和2，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（25-26八年级上·黑龙江绥化·开学考试）关于的方程的解是非负数，则的取值范围是 ．
变式4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知实数，满足．
(1)当时，则的取值范围为 ；(2)在(1)的条件下，实数，满足，若存在在的取值范围中，则的取值范围为 ．
全卷共24题 测试时间：120分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列为一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·江西鹰潭·阶段练习）下列不等式的解集中，不包括的是( )
A． B． C． D．
3．（2025·吉林四平·模拟预测）关于x的不等式的解集如图所示，那么a的值是（ ）
A． B．2 C． D．3
4．（2025·湖南长沙·模拟预测）不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25七年级下·广西百色·期中）解不等式的过程中，错误之处是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·湖北·模拟预测）解不等式，下列在数轴上表示的解集正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．若，则
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是所有非零实数
8.（24-25浙江义乌·八年级校考期末）是不等式的一个解，则的值不可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（24-25七年级下·河北沧州·期末）小图和小林在讨论某一元一次不等式，根据图中的对话信息，推测出不等式可能是（　　）
不等式在求解的过程中需要改变不等号的方向
不等式的解集为
A． B． C． D．
10．（24-25八年级下·山西晋中·期末）为促进环保，山西省政府宣布新能源汽车补贴每年递减．年每辆补贴为元，之后每年减少元．小明家计划购车，希望获得补贴不少于元．小明家最晚应在（ ）年购买才能享受不低于元的补贴？
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分，答案写在答题卡上）
11．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ．
12．（24-25八年级下·山东枣庄·阶段练习）满足不等式的x的最小值是a，满足不等式的x的最大值是b，则 ．
13．（24-25七年级上·北京西城·开学考试）对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为 ．
14．（24-25七年级下·陕西榆林·期末）横山小米色泽金黄、营养丰富，富含粗蛋白和多种微量元素，被誉为“小人参”．某超市以35元/袋的进价购进一批横山小米，出售时标价为60元/袋，超市现准备打折销售，但要保证利润率不低于，则至多可打 折．
15．（24-25七年级下·全国·假期作业）张老师：不等式的解集是．这句话对吗？小南：不对，这个不等式的解集是 ．
张老师：小颖，你的观点呢？
小颖：不对，对于不等式来说，漏掉了 至 之间的无数个解．
张老师：同学们回答得很好，不等式的解集是由 组成的．
16．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若关于x的不等式只有3个正整数解，则a的取值范围 ．
三、解答题（本题共8小题，共72分。其中：17-21题8分，22-23题每题10分，24题每题12分，答案写在答题卡上）
17．（25-26八年级上·浙江杭州·阶段练习）解不等式，并在数轴上表示解集．
(1)
(2)
18．（25-26八年级上·浙江宁波·阶段练习）下面是小明解一元一次不等式的解题过程，他的求解过程是否有误，如果有误请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
解：去分母得：①去括号得：②移项得：③合并同类项得：④两边都除以得：⑤
(1)小明的解答过程从第_______步开始出现错误．（只填序号） (2)正确的解答过程．
19．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）已知关于x的两个不等式：与．
(1)若这两个不等式的解集完全相同，求m的值；
(2)若不等式的所有解都能使不等式成立，求m的取值范围．
20．（25-26八年级上·黑龙江·阶段练习）若关于x的一元一次方程的解不大于0，求满足条件的正整数m的值．
21．（24-25八年级上·福建福州·阶段练习）本月我校八年级全体学生积极参加贵安社会实践活动，其间开展丰富多彩的研学实践活动．某班教官布置一项团队任务；已知 A 组单独制作完成需要 小时，B组单独制作完成需要5小时，严教官要求4个小时之内制作完成这项任务．现A、B两组共同制作若干小时后，A组去执行新的任务，B组继续制作并在严教官规定的时间内制作完成，问 A 、B两组需共同制作至少多少小时？
22．（25-26八年级上·浙江·阶段练习）已知关于的不等式．
(1)若是该不等式的解，求的取值范围；
(2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求的范围．
23．（24-25七年级下·福建漳州·期中）【阅读材料】我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离，例如表示数轴上表示这个数的点到原点的距离，那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离，于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于或等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1的距离小于或等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点），这样我们就可以得到不等式的解集为．
【解决问题】参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题：
(1)不等式的解集为___________．(2)求不等式的解集．(3)求不等式的解集．
24．（24-25七年级下·吉林长春·期末）
问题背景 体育比赛中蕴含着丰富的数学知识，数学老师带领学生开展项目学习“体育比赛计分”，结合相关调研数据完成任务．
调研 调研：某次篮球联赛积分队名比赛场次胜场负场积分前进东方光明雄鹰卫星钢铁 调研：球赛出线是我们经常谈及的话题，它是指比赛中参赛队伍通过比赛成绩达到规定条件获得晋级下一轮比赛的资格．篮球赛单循环赛一般按积分确定名次，经调研，某次篮球赛赛制积分规则与调研相同．
问题解决
任务 根据调研中的数据回答问题：（1）某次篮球联赛积分中，胜一场积____分，负一场积____分，卫星队的积分为______分；（2）求雄鹰队的胜场数和负场数．
任务 根据调研中的数据回答问题：某次篮球赛中，火炬队与月亮队要争夺出线权．火炬队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场；月亮队当时的战绩是胜负，后面还要比赛场．（3）火炬队已经获得积分为______分；（4）火炬队为确保出线，在后面的比赛中至少要胜多少场？
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