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(共27张PPT)
人教版 八年级上册
17.1
第十七章 因式分解
用提公因式法分解因式
情境引入
QING JING YIN RU
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为m的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉两个最高分和最低分后，剩下3个分数a,b,c,选手的得分有两种计算方法：
方法一：m(a + b + c)
方法二：ma + mb + mc
m(a + b + c) = ma + mb + mc
整式乘法

新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
计算：
解：
你是用什么方法计算的？
这个式子的各项有相同的因数吗？
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
1. 运用整式乘法法则或公式填空：
(1) p(a + b + c) = ；
(2) (y + 1)(y - 1) = ；
(3) (a + b)2 = .
pa + pb + pc
y2 - 1
a2 + 2ab + b2
2. 根据等式的性质填空：
(1) pa + pb + pc = ( )( )；
(2) y2 - 1 = ( )( )；
(3) a2 + 2ab + b2 = ( )2.
p a + b + c
y + 1 x - 1
a + b
比一比，这些式子有什么共同点？
都是多项式化为几个整式的积的形式.
当堂练习
QING JING YIN RU
因式分解
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
互为相反的变形
多项式
几个整式的乘积
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
x2 + x = x2(1 + )
在下列等式中，从左到右的变形属于因式分解的有 ；
不是因式分解的，请说明为什么.
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
ax + bx + c = x(a + b) + c
12x2y = 3x·4xy
p2－ 1 = (p + 1)(p－ 1)
(2m + 1)2 = 4m2 + 4m + 1
2a + 4b + 6c = 2(a + 2b + 3c)
最后不是积的形式
因式分解的对象是多项式
是整式乘法
每个因式必须是整式
是因式分解
是因式分解
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
pa + pb + pc，
公共的因式 p
观察下列多项式，它们有什么共同特点？
公共的因式 m
提公因式
若多项式中各项都有一个公共的因式，我们就把这个公共因式叫做这个多项式各项的公因式.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
(1) ac+ bc
(2) 3m2 +12mn
(3) a2b – 2ab2 + ab
(4) 4xy2-6xy+8x3y
下列各多项式中的公因式是什么？
c
3m
ab
2xy
多项式中的公因式是如何确定的？
确定一个多项式的公因式的方法
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
01
定系数
公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数．
02
定字母
字母取多项式各项中都含有的相同的字母．
03
定指数
相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
指出下列各多项式中各项的公因式：
多项式 公因式
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
找出公因式是关键
把下列各式因式分解：　　
解：　　
公因式不再是单项式了！
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
　　把下列各式因式分解．　　
解：　　
归纳总结
公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
=-(2y-x)
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
=-(a-9)
把下列各式因式分解
（6）
（7）
解：　　
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是果果同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
因式分解：12x2y + 18xy2.
解：原式 = 3xy(4x + 6y).
注意：公因式要提尽.
正确解：原式 = 6xy(2x + 3y).
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是果果同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
解：原式 = x(3x - 6y).
因式分解：3x2 - 6xy + x.
注意：某项提出莫漏 1.
正确解：原式 = 3x·x - 6y·x + 1·x
= x(3x - 6y + 1)
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
下面是果果同学的错题本，请你帮他订正.
日期： 原题（可粘贴）：
来源：
重要程度：☆☆☆☆☆
原因分析 □审题不清 □计算错误 □时间不足 □概念不清 □其他原因 原因及分析：
因式分解：- x2 + xy - xz.
解：原式 = - x(x + y - z).
注意：首项有负常提负.
正确解：原式 = - (x2 - xy + xz)
= - x(x - y + z).
典例精析
DIAN LI JING XI
归纳总结
①提取不尽
③疏忽变号
④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式．
(3)提取公因式的一般步骤：
①确定应提取的公因式：
②用公因式去除这个多项式，把所得的商作为另一个因式：
③把多项式写成这两个因式的积的形式．
(2)提取公因式要彻底；注意易犯的错误：
②漏项
(1)当首项系数为负时，通常应提取负因数，在提取“－”号时，余下的各项都变号.
观察式子中是否有公因式可提
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
计算：(1) 39×37－13×91；
(2) 29×20.26＋72×20.26＋13×20.26－20.26×14.
(2) 原式＝20.26×(29＋72＋13－14) ＝ 2026.
＝13×20＝260.
解：(1) 原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
计算技巧
在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
思考不求a,b的值能否求出？
已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
∴ a2b＋ab2＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵ a＋b＝7，ab＝4，
计算技巧
含 a±b，ab 的求值题，通常要将所求式子进行因式分解，变形为能用 a±b 和 ab 表示的式子，然后将 a±b，ab 的值整体代入求解.
典例精析
DIAN LI JING XI
例5
熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键．
熟练掌握运算提取公因式进行因式分解是解题的关键．
若 9a2(x-y)2-3a(y-x)2＝M·(3a+x-y)，求M的值．
解：∵ 9a2(x-y)2-3a(y-x)2＝M·(3a+x-y)，
∴M＝9a2(x-y)2-3a(y-x)2÷(3a+x-y)
=3a(x-y)2[3a+(x-y)]÷(3a+x-y)
=3a(x-y)2(3a+x-y)÷(3a+x-y)
=3a(x-y)
课堂小结
QING JING YIN RU
定义
am + bm + mc = m(a + b + c)
确定公因式的方法：
三定，即定系数；定字母；定指数
分两步：第一步找公因式；第二步提公因式
因式分解
提公因式法
注意：①分解因式是一种恒等变形；②公因式：要提尽；③不要漏项；
④提负号，要注意变号
当堂练习
QING JING YIN RU
D
2.分解-4x3+8x2+16x的结果是（ ）
A.-x(4x2-8x+16) B.x(-4x2+8x-16)
C.4(-x3+2x2-4x) D.-4x(x2-2x-4)
1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ）
A.-6ab2c B.-ab2 C.-6ab2 D.-6a3b2c
C
D
3.下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ）
A . B.
C. D.
当堂练习
QING JING YIN RU
A
5.下列多项式中，不能用提公因式法因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
A
6.把多项式分解因式结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
4.把多项式分解因式后，另一个因式是（ ）
A. 2 B. 2
C. D.2
展开后的结果为
x2+（n-3)x-3n=x2-mx+12,
对应系数可得，
-m=n-3，-3n=12
当堂练习
QING JING YIN RU
7.已知 xy＝3，x-3y＝-5，则 2x2y-6xy2 的值为 .
-30
8.已知 n为正整数，若2an-1-4an+1的公因式是M,则M= .
2an-1
9.若二次三项式x2-mx+12在整数范围内可因式分解为(x-3)(x+n)，
那么m的值为 .
7
10.分解因式：x2-2025x= .
x(x-2025)
当堂练习
QING JING YIN RU
11.把下列各式分解因式：
(1)2x3+6x2
(2)3pq3+15p3q
(3)4x2-8ax+2x
(4)-3ab+6abx-9aby
解 ： 原式= 2x2(x+3)
解 ： 原式= 3pq(q2+5p2 )
解 ： 原式=2x(2x-4a+1)
解 ： 原式=-3ab(1-2x+3y)
(5)
解法1：
解法2：
当堂练习
QING JING YIN RU
12.已知
求代数式的值.
解：
=
=，
∵ ，
∴原式.
当堂练习
QING JING YIN RU
13.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；
提公因式法
2
（2）若分解…+，则需应用上述
方法 次；
（3）分解因式：
…+ （为正整数）.
2026

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