资源简介

(共21张PPT)
人教版 八年级上册
17.2(第2课时)
第十七章 因式分解
运用完全平方公式
因式分解
完全平方公式
复习回顾
FU XI HUI GU
(a+b)2=a2+2ab+b2，
我们把
(a-b)2=a2-2ab+b2.
都叫做完全平方公式.
文字语言：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍. 这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式.
“首平方，尾平方，
积的 2 倍放中央.”
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
对照 a ± 2ab + b = (a ± b) ，填空：
3. a + 4ab + 4b = ( ) + 2· ( ) ·( ) + ( ) = ( ) .
2. m - 6m + 9 = ( ) - 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
1. x + 2x + 1 = ( ) + 2·( )·( ) + ( ) = ( ) ；
x
1
x + 1
a
a 2b
a + 2b
2b
m
m - 3
3
x
1
m
3
3. (x+y) + 6(x+y) + 9 = ( ) + 2· ( ) ·( ) + ( ) = ( ) .
x+y
x+y 3
x+y+3
3
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2 - 4a + 4；
（2）1 + 4a ；
（3）4b2 + 4b - 1；
（4）a2 + ab + b2；
（5）x2 + x + 0.25.
是
（2）因为它只有两项.
不是
（3）4b 与 -1 的符号不统一.
不是
不是
是
（4）因为 ab 不是 a 与 b 的积的 2 倍.
新知探究
XIN ZHI TAN JIU
思考
若 x2 - 6x + N 是一个完全平方式，则 N = .
9
分析：根据完全平方式的特征，
中间项 -6x = -2×x×3，故可知 N = 32 = 9.
变式
已知是完全平方式，则 m 的值 = .
分析：∵是一个完全平方式，
∴mx＝±2 2x 6，
解得：m＝±24．
完全平方式求中间项时要注意分类讨论！
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
(1)
4x2-4x+1
解：(1) 原式 =(2x)2-2·2x·1+12
=(2x-1)2
(2)
分解因式：
(2) 原式=(m+n)2 -2·(m+n)·3+32
=(m+n-3)2
(3) -3a2x2 + 24a2x - 48a2；
＝(a2 + 4 + 4a)(a2 + 4 - 4a)
(3) 原式＝-3a2(x2 - 8x + 16)
＝-3a2(x - 4)2.
(4) 原式＝(a2 + 4)2 - (4a)2
＝(a + 2)2(a - 2)2.
(4) (a2 + 4)2 - 16a2.
典例精析
DIAN LI JING XI
例1
(5) (x2+y2)2-4x2y2 (6)4x2(x-1)-16(1-x)2 (7)16x4-72x2+81
解: (5) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)=(x+y)2(x-y)2
(6)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2=4(x-1)[x2-4(x-1)]
=4(x-1)(x2-4x+4)=4(x-1)(x-2)2
(7)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92
= (4x2-9)2=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2
分解因式：
归纳总结
典例精析
DIAN LI JING XI
01
02
03
运用完全平方公式分解因式时，应注意熟练把握公式的结构特征，避免出现符号、项数上的错误．
运用完全平方公式分解因式时，避免与平方差公式混淆．
运用完全平方公式分解因式时，有公因式应先提公因式．
典例精析
DIAN LI JING XI
例2
提公因式
计算：
（1）50×9.5
（2）.
（2）20262-×4052+
=20262-2×2026×2025+20252
=（2026-2025）2
=12
=1．
（1）50×9.5
=50×(9.5)
=50×(9.5)
=50×4
=200
典例精析
DIAN LI JING XI
例3
有公因式的先提公因式
(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
典例精析
DIAN LI JING XI
例4
观察式子的结构，能否配方？
已知 a，b，c 分别是△ABC 三边的长，且 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，请判断△ABC 的形状，并说明理由．
∴△ABC 是等边三角形．
解：由 a2＋2b2＋c2－2b(a＋c) ＝ 0，得
a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2 ＝ 0，
即 (a－b)2＋(b－c)2 ＝ 0.
∴ a－b ＝ 0，b－c ＝ 0. ∴ a ＝ b ＝ c.
拓广探索
DIAN LI JING XI
例5
先通过换元，再利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小.
若
解：设,则=2，
==>0,
拓广探索
DIAN LI JING XI
例6
因式分解不彻底
整体思想是数学解题中常见的一种思想方法：下面是某同学对多项式(x2+2x)(x2+2x+2)＋1进行因式分解的过程.将(x2+2x)看成一个整体，令(x2+2x)=y,则原式=y(y+2)＋1=y2+2y+1=(y+1)2，再将y还原即可.
解：设(x2+2x)=y,
则原式=y(y+2)＋1(第一步)
=y2+2y+1(第二步)
=(y+1)2，(第三步)
=(x2+2x+1)2，(第四步)
问题：
(1)①该同学完成因式分解了吗？如果没完成，请你直接写出最后的
结果___________；
(x+1)4
拓广探索
DIAN LI JING XI
例6
换元法，再还原.
②请你模仿以上方法尝试对多项式(x24x)(x24x+8)＋16进行因式分解；
解：设(x24x)=y,
则原式=y(y+8)＋16
=y2+8y+16
=(y+4)2
=(x24x+4)2
=[(x2)2]2
=(x2)4
拓广探索
DIAN LI JING XI
例6
找相同的部分，换元法
(2)请你模仿以上方法尝试计算：
(123...)(2+3+...+2026)(1...)(2+3+...+2025)
解：设(2+3+...+2026)=k,
则原式=(1)k(12026)
=k(2027)(2026+2026)
=2027k
=2026
课堂小结
QING JING YIN RU
公式
完全平方公式分解因式
a2±2ab + b2 = (a±b)2
特点
（1）要求多项式有三项；
（2）其中两项是两个数或式的平方和，另一项则是这两数或式的乘积的 2 倍，符号可正可负
应用
(a±b)2=a2±2ab + b2
当堂练习
QING JING YIN RU
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
当堂练习
QING JING YIN RU
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
D
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
A
D
当堂练习
QING JING YIN RU
7．分解因式__________________________．
8．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
9．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
10.因式分解：x(x﹣2)+1=__________．
11.若有理数满足__________．
12.若△ABC的三边长分别为a,b,c,且a,b满足
_________．
或9
(x﹣1)2
1
1当堂练习
QING JING YIN RU
13.分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
当堂练习
QING JING YIN RU
14．分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（1）解：；
（2）解：
；
（3）解：
（4）解：＝＝
＝．

展开更多......

收起↑