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江苏省无锡市市北高级中学2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知向量，且，则实数( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.若函数有最大值，则的最大值为( )
A. B. C. D.
6.已知正实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知是各项均为正整数的递增数列，前项和为，若，当取最大值时，的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知实数满足，则的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
10.水车是我国劳动人民创造发明的一种灌溉工具，作为中国农耕文化的组成部分，充分体现了中华民族的创造力，见证了中国农业文明．水车的外形酷似车轮，在轮的边缘装有若干个水斗，借助水势的运动惯性冲动水车缓缓旋转，将水斗内的水逐级提升．如图，某水车轮的半径为米，圆心距水面的高度为米，水车按逆时针方向匀速转动，每分钟转动圈，当其中的一个水斗到达最高点时开始计时，设水车转动分钟时水斗距离水面的高度水面以上为正，水面以下为负为米，下列选项正确的是( )
A.
B.
C. 若水车的转速减半，则其周期变为原来的
D. 在旋转一周的过程中，水斗距离水面高度不低于米的时间为秒
11.已知函数，其中，且当时，，则( )
A.
B. 是的极小值点
C. 若关于的方程有个不同的实数根，则
D. 若对任意都有，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线是曲线的切线，则实数的值是 ．
13.在中，已知角所对的边分别，的面积，，，则的周长为 ．
14.函数是计算机程序中一个重要函数，它表示不超过的最大整数，例如，已知函数，且，若的图象上恰有对点关于原点对称，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知等比数列是递增数列，其公比为，前项和为，并且满足，是和的等差中项．
求数列的通项公式；
若，，求使成立的正整数的值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，且满足．
求角；
已知，点为的中点，点在线段上且，点为与的交点，求的余弦值．
17.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
当时，求函数在的最小值．
18.本小题分
已知向量，函数，．
当时，求的值；
若的最小值为，求实数的值；
是否存在实数，使函数，有四个不同的零点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
19.本小题分
若二元代数式满足，则称代数式为二元轮换式，记；若三元代数式满足，则称代数式为三元轮换式，记，．
若正实数，满足，且，求的最大值；
若代数式为二元轮换式，比较与的大小；
若对任意的正实数，，，均有，求整数的最大值．
参考答案
1.【答案】
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3.【答案】
4.【答案】
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6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：由题可得，，则，解得
所以．
于是有解得或
又是递增的数列，故，，所以
解：由可得，
所以，
则，
，得，
即数列的前项和，
则，
即，解得．

16.【答案】解：
则由正弦定理得
化简得：
，，
，则，
，，
即．
，
点为的中点
，
，
，
，
．
即的余弦值为．

17.【答案】解：由题意知的定义域为，，
若，恒成立，所以在上单调递减．
若，由，得，
所以当时，；当时，；
所以在上单调递减，在上单调递增．
综上：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
由知，在单调递减，在单调递增．
当，即时，在单调递减，
当时，有最小值；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增．
当时，有最小值；
当，即时，在上单调递增，
当时，有最小值；
综上：．

18.【答案】解：
，
当时，，
则；
，
，
，
则，
令，则，
则，对称轴，
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得舍，
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得或舍去，
当，即时，
当时，函数取得最小值，此时最小值，得舍，
综上：若的最小值为，则实数．
令，得或，
方程或在上有四个不同的实根，
则，解得，则，
即实数的取值范围是．

19.【答案】解：第一步：根据已知条件化简式子
已知正实数、满足，则，
对其通分可得．
展开．
第二步：根据与的大小关系求最大值
因为，所以对于二次函数令，
其图象开口向下，对称轴为，所以当即时，取得最大值，也就是取最大值．
第一步：根据二元轮换式得到等式
因为代数式为二元轮换式，所以，交叉相乘可得．
第二步：设变量进行转化
不妨设，令，则，那么
，即，展开可得，移项得，
所以，．
第三步：计算并判断的范围
，因为，，，所以，
根据对数函数的单调性可知．
第一步：进行变量代换并化简不等式
不妨设是，，中的最小值，令，，
等价于．
当或时，该不等式对任意实数均成立因为，，要使不等式成立，只需考虑．
当时，该不等式对任意实数均成立当，设．
第二步：分情况讨论的取值范围
当时：不等式两边同时除以，整理可得．
设，对求导，，再对求导，所以在上单调递增．
令，即，化简得，
令，则，原方程可化为，
即，解得，因为，所以，则．
存在，且，所以在上单调递减，在上单调递增，．
因为，所以，，．
又因为，则，，
因为，，，所以，即，所以．
当时：不等式两边同时除以，整理可得，
此时，当时，恒成立．
综上，整数的最大值为．

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