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海南省海口市琼山中学2026届高三上学期第二次月考数学
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知定义在上的奇函数满足：时，，则( )
A. B. C. D.
4.函数的零点所在的区间为( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
6.已知，且若函数在上单调递减，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为为偶函数，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知，为自然对数的底数，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
10.设函数，则( )
A. 有极大值点
B. 仅有个零点
C. 在点处切线方程为
D. 的对称中心是
11.已知正实数满足，则( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.已知函数，则不等式的解集为 ．
14.已知函数，若关于的方程有个不同的实数根，则的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某校为了加强本校中学生的身体素质，规定学校每学期都必须组织学生的跳高测试，要求跳过米高才算合格，否则体育成绩不达标，某班有甲、乙两位同学独立参加跳高测试，他们两人在每次试跳中能合格的概率分别为和，每人有两次试跳机会，且每次试跳是否成功互不影响．
求甲能通过测试的概率；
记表示甲和乙试跳的次数之和，求随机变量的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知中，，，分别为内角，，的对边，且．
求角的大小；
若，的角平分线交于点，求的长度．
17.本小题分
如图，在四棱锥上，底面为直角梯形，，，平面平面，为的中点，是棱上的点不含端点，，，．

求证：平面平面；
若二面角大小为，求的值．
18.本小题分
已知椭圆的右焦点为，点在椭圆上
求椭圆的标准方程；
为坐标原点，设点，过作的垂线交椭圆于两点求面积的最大值．
19.本小题分
已知函数，
若曲线在处的切线方程为，求的值；
若在区间上单调递增，求的取值范围；
求证：当时，存在极大值，且极大值小于．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.【详解】记表示甲第次试跳通过测试，，则“甲通过测试”表示为
．
记表示乙第次试跳通过测试，，
；
；
；
所以的分布列为：

16.【详解】因为，
由正弦定理得，整理得，
由余弦定理得，
因为，所以；
在中，
因为，
所以，
则；

17.【详解】证明：，，为的中点，
四边形为平行四边形，，
又，，即，
又平面平面，平面平面，平面，平面，
平面，平面平面；
解：，为的中点，，
平面平面，平面平面，平面，平面，
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

易知平面的法向量为，
又，，，，，
设，，
，又，
设平面的法向量为，则，即．
令，得，
二面角为，，解，
即，．

18.【详解】由右焦点为，得，所以，
又点在上，所以，即，
联立，解得
所以椭圆的标准方程为．
因为，，所以，
因为，所以，
故直线的方程为，即，
联立并整理得，
设，则，
所以，
所以的面积，
令，则，，
当且仅当，即时取等号，
所以面积的最大值为．

19.【详解】由可得，，
则，由题意，可得，解得
即；
由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立．
因函数在区间上为增函数，故，
则的取值范围为；
因，要使存在极大值，需使关于的方程有正实根，
而当时，，此时方程有两正根为，
由可得或，由可得，
故函数在和上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值．
不妨设，由可得，即得，
则的极大值为，且因，则得，
要证函数的极大值小于，只需证，
设，则，
因，则有，故函数在上单调递增，
则，
即，
故时，函数的极大值小于．

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