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天津市第十四中学2026届高三上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.函数在的图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.设是两条直线，是两个平面，下列说法错误的是( )
A. 如果，那么．
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，则
7.下列命题错误的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 设，若，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 一个袋子中有个大小相同的球，其中有个黄球、个白球，从中不放回地随机摸出个球作为样本，用随机变量表示样本中黄球的个数，则服从二项分布，且
8.若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
9.已知函数过定点，点在直线上且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，其中正确的是( )
A. 的最小正周期为； B. 的图象关于直线对称；
C. 的图象关于点对称； D. 在区间上单调递增．
11.已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
12.清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同的两个正交的正四面体组合而成如图，也可由正方体切割而成如图在“蒺藜形多面体”中，若正四面体的棱长为，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
13.若复数满足为虚数单位，则 ．
14.已知二项式展开式的二项式系数和为，则展开式中常数项为 ．
15.已知直线过点且与直线垂直，则圆与直线相交所得的弦长为
16.已知甲、乙、丙三人参加射击比赛，甲、乙、丙三人射击一次命中的概率分别为，，，且每个人射击相互独立，若每人各射击一次，则至少有一人命中的概率为 ；在三人中恰有两人命中的前提下，甲命中的概率为 ．
17.已知中，点是中点，点满足，记，，请用，表示 ；若，向量在向量上的投影向量的模的最小值为 ．
18.设，函数，若恰有两个零点，则的取值范围是
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.在中，角，，所对的边分别为，，，满足．
求角的大小；
设，．
求边的值；
求的值．
20.在中，内角所对的边分别为，已知．
求的值；
若．
求的面积；
求的值．
21.如图，且且且平面
若为的中点，为的中点，求证：平面；
求平面与平面的夹角的正弦值；
若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长．
22.已知函数，
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，求函数的单调区间；
若对于任意，都有成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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17.
18.
19.由，
根据正弦定理得，，
可得，
因为，故，则，
又，所以；
由知，，且，，
则，即，
解得或舍，故；
由，
得，
解得，则，
则，，
所以．

20.由正弦定理
，
即，
，
所以．
由知，即，又，
由余弦定理，得，
解得，
，则，
．
，
．

21.因为平面平面，
所以，
因为，所以两两垂直，
所以以为原点，分别以的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，
所以．
设为平面的法向量，
则
令，则．
因为，
所以，
因为直线平面，所以平面．
依题意，可得．
设为平面的法向量，
则
令，则，
设为平面的法向量，
则
令，则，
所以，
所以平面与平面的夹角的正弦值为．
设线段的长为，则点的坐标为，可得．
易知为平面的一个法向量，
所以，
由题意得，解得．
所以线段的长为．

22.解：当时，函数，可得，
所以且，即切线的斜率为，切点为，
所以在点处的切线方程为，即．
解：因为函数，可得，
当时，由时，可得，
所以函数的单调增区间是，无单调减区间；
当时，令，解得，
当时，；当，，
所以函数的单调减区间是，单调增区间是，
综上：当时，的单调增区间是，无单调减区间；
当时，函数的单调减区间是，单调增区间是，
解：因为对于任意，都有成立，
所以对于恒成立，
即对于恒成立，
令，则，
令，可得，
所以在区间上单调递增，故，即，
所以在区间上单调递增，所以，
要使对于恒成立，只需，即，所以实数的取值范围是．

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