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天津市滨海新区塘沽第二中学2026届高三上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设，，，则，，的大小是( )
A. B. C. D.
4.某同学用摄影机记录了迁徙中的某种候鸟在某一时刻的飞行姿态如图所示，如果用函数的部分图象来描绘候鸟某一时刻翅膀的飞行姿态，则的图象大致是( )
A. B.
C. D.
5.若直线的倾斜角的大小为，则实数( )
A. B. C. D.
6.设是不同的直线，，，是不同的平面，则下面说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.已知空间三点，，，则点到直线的距离是( )
A. B. C. D.
8.已知复数，则( )
A. B. C. D.
9.已知圆，直线，则直线与圆相交弦长的最小值为( )
A. B. C. D.
10.在一次劳动技术课上，某人的小组中的同学们利用图一的棱长为的正方体胶泥作为原料，每人制作一个图二的冰激淋胶泥模型上部分为一个半球，下部分为一个以半球的大圆面为底的圆锥，则制作完成后剩下的胶泥约为 忽略制作过程中的损耗，
A. B. C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
11.复数的虚部为 ．
12.若二项式展开式中的常数项为，则 ．
13.若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为 ．
14.已知直线经过点，圆，若直线与圆相切，则直线的方程为
15.在平面直角坐标系中，已知直线与圆相交于，两点，则直线的倾斜角为 ，弦的长度为
16.已知圆与直线，若直线与圆相交于，两点，且为等边三角形，则圆心的坐标为 ， ．
17.若直线与直线平行，则直线与的距离为 ．
18.已知三棱锥的所有顶点都在一个球面上且平面，，，且底面的面积为，则此三棱锥外接球的表面积是 ．
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.在中，角所对的边分别是已知，，．
求的值；
求的值；
求的值．
20.如图，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求平面与平面夹角的余弦值．
21.在中，角，，的对边分别为，，，已知．
求的值；
若，求的值；
若的面积为，且，求的周长．
22.如图，在四棱锥中，平面，，，，是上的点，且．
证明：平面平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.

16.

17.
18.
19.解：由正弦定理有：，
所以；
由余弦定理有：，
即，解得或舍去，
所以；
由有，所以，
又，所以，
所以，
所以，
又，，
所以．

20.解：由题意，以为原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，，为棱的中点，
可得、、、、、、、、，
则，
设平面的法向量为，
因为，，
且，可得
取，则，，所以，
则，故，
因为平面，所以平面．
由可得为平面的一个法向量，
又，
所以
所以直线与平面所成角的正弦值为．
易知是平面的一个法向量，
则
所以平面与平面夹角的余弦值为．

21.解：解法：因为，
由正弦定理得
即，
因为，则，故；
解法：因为，
由余弦定理得，
整理得，可得，
由余弦定理可得．
因为，且，则，
，
，
．
，
，
．
，
因为由余弦定理得，
于是，
因为，则，所以，
因此，于是的周长．

22.解：由平面，，结合平面，
故，
以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
由有：，
所以，
由，所以，
所以，即，
所以，即，
又平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
由有，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设平面的法向量为，
所以，令，得，
设平面与平面的夹角为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
假设线段上存在点，使得点到平面的距离是，
设，所以，
由知平面的一个法向量为，
所以，
所以点到平面的距离为，解得，
所以当时，存在点满足题意．

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