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广西南宁市2026届高中毕业班第一次摸底测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，，则( )
A. B. C. D.
4.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是 ．
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 在及上单调递增，在上单调递减
D. 在上单调递增，在及上单调递减
5.已知双曲线：，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
6.已知是定义在上的奇函数，当时，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
8.已知，若有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设内角的对边分别为，若，，，则( )
A. B.
C. 的外接圆面积为 D. 若为中点，则
10.已知抛物线：的焦点为，抛物线的准线交轴于点，抛物线上一点到点的距离为，点，是抛物线上的两点异于原点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若中点的纵坐标为，则直线的斜率为
C. 若，则直线恒过点
D. 若直线过点，则直线，的斜率之和为
11.已知函数，则下列叙述正确的是( )
A. 有四个单调区间
B. 存在最小值
C. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等差数列
D. 有三个极值点，从小到大依次为，则成等比数列
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列是等差数列，若，，则数列的公差 ．
13.若直线：被圆：裁得的弦长为，则 ．
14.一个的正方形花坛被划分为个小方格如图，计划种植种花卉玫瑰、月季、百合、郁金香每个小方格种种花卉要求：花坛中任意的小区域内，种花卉必须全部种植且不重复，则不同的种植方案共有 种
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的最小正周期是，且满足．
求函数的解析式；
设函数求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
已知椭圆：的左、右焦点分别为，，离心率为，且过焦点且垂直于椭圆的长轴的弦长为．
求椭圆的方程；
已知过点的直线交椭圆于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在斜三棱柱中，，，侧面为菱形，且，点为棱的中点，平面平面设平面与平面的交线为．
求证：平面；
若，求二面角的正弦值．
18.本小题分
流行病学调查表明某种疾病是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈．
若有某种治疗方案，有的概率能杀灭致病菌若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌求使用治疗方案痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；
若市面上仅有两款药物和药物对疾病有疗效，且这两种药物的疗程各均为天假定药物使用时，均按疗程服用天，超过天无效时需换药进行治疗若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过天也能痊愈已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
已知某种药物能治愈疾病的概率为设针对药物的次临床试验中有连续次或连续次以上治愈疾病的概率为，且每次治疗结果相互独立求证：．
19.本小题分
已知数列满足为常数，为可导函数．
若且，求数列的通项公式结果用表示；
若．
(ⅰ)证明：当时，为单调函数；
(ⅱ)若数列为正项数列且，证明：．
参考答案
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14.
15.【详解】的最小正周期是，
，解得，
，
，
，
，
或，，
，时，或舍去，
．
，，
，
，则，
又在上单调递增，在上单调递减．
当，即时，，取得最大值，最大值为，
当时，即，，，
当时，即，，，
在上的最大值为，最小值为．

16.【详解】设椭圆的半焦距为，由过焦点且垂直于椭圆的长轴的弦长为，得点在椭圆上，
于是，由离心率为，得，而，因此，，
所以椭圆的方程为．
由题意，，直线不垂直于轴，设其方程为，
由，得，设，
则，，
，
当且仅当，即时取等号，
所以直线的方程为或．

17.【详解】分别延长，设，连接，如图，
则即为平面与平面的交线，
因为为棱的中点，，则是的中点，
因为中，，所以，从而，
因为平面平面且交线为，平面，
所以平面，即平面；
取的中点，
因为侧面为菱形，且，所以 ，
由知平面，所以，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，侧面为菱形，且，
所以，
则，
设平面的法向量为，
则，所以，可取，
设平面的法向量为，
则，所以，可取，
所以，
所以二面角的正弦值为．

18.【详解】设使用治疗方案治愈疾病为事件，使用治疗方案能杀灭致病菌为事件，
则，
因为事件发生则事件必发生，故
．
设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病的概率．
则有，
设先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，先用药物再用药物来治愈疾病所需的天数为，
则，，，
所以
．
同理得，，
则有．
从而有，
因此需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短．
设针对药物的次临床试验中未出现连续次或连续次以上治愈疾病的概率为，
因此有，从而，从而，
由可得，所以有，
这表明随增大而增大，随增大而减小，所以有，
另一方面，由，
可得，即，
注意到，所以有，
即，
因为，所以有，
综上所述，．

19.【详解】由，则，
由，则，即，
则，又，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
则，即，．
由，则，
令，，则，
所以函数在上单调递增，则，即，
所以函数在上单调递增，即为单调函数．
(ⅱ)设，，
则
所以函数在上单调递减，则，
所以，即．
设，，
则
，
由(ⅰ)知，当时，，而，则，
所以函数在上单调递增，则，
则，即，
综上所述，，
令，则，
而，所以，
因为函数在上单调递增，所以．

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