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福建省漳州第一中学2026届高三上学期第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知集合，则( )
A. B. C. D.
3.函数的值域为( )
A. B. C. D.
4.已知函数的导函数为，如图是函数在上的图象，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增
5.已知函数则方程的解的个数为( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，若为偶函数，且，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，则的大小关系是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若，且，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 是偶函数 B. 存在最小值
C. 直线是曲线的一条切线 D. 有个单调区间
11.设直线，分别是函数在点，处的切线，若，且，分别与轴相交于点，，则( )
A. B.
C. D. 直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则 ．
13.已知，若，，且，则的最小值为 ．
14.若函数恰有个极值点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
中，角的对边分别为已知．
求；
若，，求的面积．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，是边长为的正三角形，．

求棱的长；
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，证明：；
若存在极大值，且极大值大于，求的取值范围．
18.本小题分
抛物线过点，直线不经过点，直线与抛物线交于和两点，使得．
求抛物线的方程和准线方程．
直线是否经过定点如果是，请求出定点的坐标如果不是，请说明理由．
19.本小题分
数学与音乐有着紧密的关联，每一个音都是由纯音合成，纯音的数学模型是函数我们平时听到的音乐不只是一个音在响，而是许多个纯音的结合，称为复合音．复合音的产生是由于发音体不仅全段在振动，它的各部分如二分之一、三分之一、四分之一等也同时在振动．已知刻画某声音的函数为．
求函数在处的切线方程；
求函数在上的单调区间；
函数，若在上有三个不同的极值点，证明：为定值．
参考答案
1.
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13.
14.
15.【详解】由正弦定理可得，
因为，，，
所以，
所以整理得，因为，所以．
因为，
所以，因为，所以，，
又因为，，所以，又，
所以．

16.【详解】因为，，所以，
中，由余弦定理，
即；
由可知中，满足，
所以，且，，平面，
所以平面，且平面，
所以平面平面；
如图，以点为原点，为轴的正方向，作轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
，
设平面的一个法向量为，
所以，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设与平面所成的角为，
所以．

17.解：时，，，
时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以．
，
时，，在上单调递增，无极值；
时，时，；时，，
所以在区间上单调递增，上单调递减，
所以的极大值为，
令，则，
所以在区间上单调递增，由已知，
所以，解得，
综上，．

18.解：点代入得，解得，
抛物线的方程是：，准线方程是：；
设，，
显然直线的斜率不等于，设的方程为：，
联立方程，消去得：，
令得：，
则有，
，，
由得：，
把代入得：，
化简得：，
把代入得：，
化简得：，即，
解得：或者，
不符合式，舍去，
当时，的方程是，过定点．
19.【详解】由题可得，所以，
所以切线的斜率为，由于，
则函数在处的切线方程为：．
由于，
所以，
当，令，解得，，，
则令，解得：，或，
令，解得：，或，
所以的增区间为：和，减区间为：和；
证明：由于，
所以
由于
，
所以，
因为在上有三个不同的极值点，
所以在上有三个不同的根，即在上有三个不同的根，
令时，且，因为，方程转化为，设方程的根为，，，
则，化简可得：，
则，即，
，即，
，即，
所以．
所以为定值．

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