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四川省内江市第一中学2026届高三上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.函数的定义域为( )
A. B.
C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费单位：万元对年销售量单位：吨和年利润单位：万元的影响对近年的年宣传费和年销售量数据进行初步处理后，得到下面的散点图及一些统计量的值．
有下列个曲线类型：；；；；，则较适宜作为年销售量关于年宣传费的回归方程的是( )
A. B. C. D.
5.若命题“，”是真命题，则可能是( )
A. B. C. D.
6.已知等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数的导函数，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知随机变量的分布列如下表：
其中成等比数列，则下列结论正确的是( )
A. 成等差数列 B.
C. D.
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递增 D. 的一个零点为
11.函数是定义在上不恒为零的可导函数，对任意的，均满足：，，则
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.曲线在点处的切线方程为 ．
13.幂函数在上单调递减，且经过点，请写出符合条件的一个函数解析式 ．
14.已知，，若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，
求的单调区间和极值；
当时，求的最值．
16.本小题分
已知，
求的值；
在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，的面积为，求．
17.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
记，数列的前项和，证明：．
18.本小题分
已知一个大盒子内装有个黄乒乓球，个白乒乓球．
甲乙两人从盒中进行随机摸球游戏：甲，乙两人轮流交替摸球，每次摸取一球，甲先摸球，直到两人中有一人摸到白乒乓球时游戏结束，每次摸出的小球均不再放回．当时，
(ⅰ)求乙在第次恰好摸到白乒乓球的概率；
(ⅱ)记表示游戏结束时甲摸球的次数，求的分布列．
整理盒中小球时，需将所有乒乓球排成一排，要求每个黄乒乓球至少与另一个黄乒乓球相邻．记不超过个黄乒乓球排在一起的概率为，若，求的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
讨论函数的零点的个数；
对于任意的恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.由，得，
令，解得，
当时，所以函数在上单调递增；
当时，所以函数在上单调递增；
当时，所以函数在上单调递减；
所以当时，函数有极大值为；
当时，函数有极小值为．
综上，的单调递增区间为，，单调递减区间为；
函数有极大值为，有极小值为．
由得在上单调递减，在上单调递增，
又，，
又函数的极小值为，
所以当时，函数的最大值为，最小值为．

16.由和差化积，诱导公式，辅助角公式可得：
．
则；
由，，
又的面积为，则，
结合及余弦定理，，
则．

17.由得，，，
又，
所以是首项为，公比为的等比数列．
由知，，所以，
所以，
．

18.由题意，乙第一次恰好摸到白球的概率为．
根据游戏规则，的取值可能为，，，，
；
；
；
；
所以的分布列为
整理乒乓球时，要使得至少个黄球相邻，则有“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”种情况．
可以先排列白球，通过插空法，让黄球排列在白球与白球之间的空位上．
所以“黄黄黄黄黄黄”有种排法；
“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”，“黄黄黄黄黄黄”均有种排法，总共种；
“黄黄黄黄黄黄”有种排法．
不超过个黄球排在一起的情况只能为“黄黄黄黄黄黄”与“黄黄黄黄黄黄”两种情况，
所以，即有，
解得或舍去，所以的最小值为．

19.函数的定义域为，．．
所以，的单调递增区间是，单调递减区间是．
定义域为，由分离参数，得．
令，
函数的零点的个数即为与直线的交点个数即为原函数零点个数．
求导得，，令，解得．
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增．
所以，．
又因为，所以，当时，；当时，，
又时，．
当时，与直线无交点，即函数无零点；
当或时，与直线有一个交点，则函数有一个零点；
当时，与直线有两个交点，则函数有两个零点．
综上所述：当时，函数无零点；
当或时，函数有一个零点；
当时，函数有两个零点．
设，则在上为增函数，
而，，故在有唯一解．
而由题设可得任意的恒成立．
令，则，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以，所以，所以，当且仅当时取到等号，
所以当时，有，
当且仅当，也就是当时取等号．
所以，当且仅当时取等号．
所以，故的取值范围是．

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