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山东省青岛市部分学校2026届高三上学期10月阶段性检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合的子集个数为( )
A. B. C. D.
2.函数的最小正周期为( )
A. B. C. D.
3.命题“”为真命题的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
4.设复数，其中，若在复平面内对应的点位于第四象限，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
6.若，，且都为锐角，则( )
A. B. C. D.
7.函数的定义域为，对任意的有且函数为偶函数，则( )
A. B.
C. D.
8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点的坐标可以表示为，若，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记的内角的对边分别为，若，则( )
A. B.
C. 的周长为 D. 外接圆的面积为
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数的图象可由图象向左平移个单位得到
B. 直线是函数图象的一条对称轴
C. 函数的单调递增区间为
D. 直线与函数在上的图象恰有个交点
11.在平面直角坐标系中，将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线仍然是某个函数的图象，则称为“旋转函数”那么( )
A. 存在旋转函数
B. 旋转函数一定是旋转函数
C. 若为旋转函数，则
D. 若为旋转函数，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量与的夹角为，则 ．
13.直角梯形中，，，，，点，为，的中点，在边上运动包含端点，则的取值范围为 ．
14.若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，分别为内角的对边，且，
求角的大小；
设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面为棱上的动点．
当为棱的中点时，证明：平面；
若，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
如图，在中，已知，，点在上，且，点是的中点，连接，相交于点
求线段，的长；
求的余弦值．
18.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
若求证：当时，；
若对任意的实数恒成立，求的最大值．
19.本小题分
已知函数．
证明：曲线关于点中心对称；
当时，，求的取值范围；
证明：对于任意的，．
参考答案
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14.
15.解：在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故．

16.解：
取的中点，连接，，
因为为的中点，
所以，
因为，
所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面平面，
所以平面．
因为平面，即两两垂直，
故可以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
因为，所以，
所以
设平面的法向量为，
则
取，得，
所以．
因为平面，
所以平面．
所以为平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则．
所以平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：由题意，，，
又，
所以，
，即，
，
，即；
解：，
，
与的夹角即为，
．

18.解：当时，，
则，由，
所以切线方程为：．
当时，，
当时，
设．
则
当时，单调递增；注意到；
所以，当时，，结论成立．
所以当时，．
由可知，当时，
在上恒成立；
所以，当时，命题结论不成立，所以以后遇到需要对分类讨论的情形，我们就默认为．
等价于
设函数
则
设，则，
当，注意到，所以，；
令，解得；
所以，当时，单调递减；
当时，单调递增；
所以，．
由于恒成立，所以．
所以对任意的实数恒成立，的最大值是．

19.解：证明：易知的定义域为，
定义域关于中心对称．
，
故曲线关于点中心对称．
已知，，
令，则，，则，
因此只需求出在上使得的的取值范围即可．
令，，
从而，
令，则，
令，解得，
故在处取到最小值，
若，则，进而在上单调递增，，
因此，故
若，则，在上单调递增，
从而由零点存在定理可知，存在，，
进而时，，
因此在上单调递减，，
进而有时，，矛盾．
综上，的取值范围为．
证明：由知，在上恒成立，
取，故，
进而有，
对其两边从到求和得到，
化简即得．
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