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广东省深圳实验学校高中园、惠东县惠东高级中学2026届高三上学期第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数的共轭复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.函数的图象的一条对称轴方程是( )
A. B. C. D.
4.已知公差不为零的等差数列满足，且成等比，则的前项和( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的函数满足为奇函数，，则( )
A. B. C. D.
7.已知正实数满足，则下列关系不可能的是( )
A. B. C. D.
8.已知平面直角坐标系中，为原点，向量，点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列不等式正确的是( )
A. B.
C. 若，则 D.
10.若函数，则下列说法正确的是( )
A. 值域为 B. 单调递增区间是和
C. 有两个零点 D. 方程有个实根
11.若数列的前项和为，，，函数，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ．
13.已知非常数函数是奇函数，则 ．
14.已知函数，且，不等式，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，、、分别是角、、的对边，且．
求角的值；
若，且为锐角三角形，求的取值范围．
16.本小题分
已知函数为偶函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为．
求的解析式及单调递减区间；
将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的纵坐标不变，得到函数的图象，当时，求函数的值域．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且，．
证明：数列是等差数列并求通项；
给定正整数，设函数，求．
18.本小题分
如图，在中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图．
证明：
若为的中点，求直线与平面的夹角正弦值；
直线上是否存在点，使平面与平面垂直？若存在写出点的位置；若不存在说明理由．
19.本小题分
已知函数其中为自然对数的底数，
当时，求处的切线方程．
若函数在其定义域上不单调，求证：．
若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
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14.
15.解：由题意知，
，
由余弦定理可知，，
又，
．
由正弦定理可知，，
即
，
又为锐角三角形，
，得
则，
所以，
综上的取值范围为．

16.【详解】因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，
所以函数的最小正周期，可得，
又由函数为偶函数，可得，解得，
因为，所以，
则，
令，解得，
故的单调递减区间为．
将函数的图象向右平移个单位长度，
可得的图象，
再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，
当时，，则
故
即函数的值域为．

17.【详解】由，
则，
则，
则，即，，
又，所以，，
则数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，则．
由得，
所以，
故，
可得，
所以，
由得：
，
所以．

18.【详解】由题意，在图中，，，，，，
则在图中，，，，，
因为平面，
所以平面，而，则，
如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，
所以，即．
由及为的中点，
则，，，，
设平面的一个法向量，
则，即，令，得，
设与平面所成的角为，
所以．
假设直线上存在点，使平面与平面垂直，设，
由知，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令，得，
而平面的一个法向量为，
由于平面平面，
当且仅当，即时成立，
所以直线上存在点，使平面与平面垂直，
此时点在线段的延长线上，且．

19.【详解】当时，则，，
所以，
所以在处的切线方程为，即；
因为，所以，
当时，，在上为减函数，不合题意．
当时，由得，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，符合题意，
此时，
要证，只需证，即证，
不等式等价于，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，故．
由题意得，
，
令，则等价于恒成立，
令，则，
当时，，则，在上单调递减，
当时，令，则，故在上单调递增，
又，所以存在唯一的，使得，
且当时，，在上单调递减，当时，，在上单调递增，
综上所述，在上单调递减，在上单调递增，
因为，故存在唯一，使得，
从而；
由知：当时，是减函数，故的值域为，此时存在恒成立，符合题意；
当时，是减函数，故的值域为，此时存在，不符合题意；
当时，，又当时，，故的值域为
若即时，，此时恒成立，符合题意，
若即时，取，此时存在，不符合题意．
综上所述，实数的取值范围为．

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