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2025-2026学年河南省杞县高一上学期第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，那么是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列五个写法：；；；；，其中错误写法的个数为( )
A. B. C. D.
4.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有名学生喜欢足球或游泳，名学生喜欢足球，名学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生有名．
A. B. C. D.
5.集合，，之间的关系是( )
A. B. C. D.
6.已知实数，满足，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.使得不等式“”成立的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
8.不等式的解集可能是( )
A. 或 B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 是的充分不必要条件
C. 是的必要条件
D. “为无理数”是“为无理数”的必要不充分条件
10.下列命题为真命题的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 如果，那么
D. 若，则
11.已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是( )
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.不等式的解集是 ．
13.若，则 ．
14.已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求的值；
若，求的取值范围．
16.本小题分
若集合
当时，求；若，求的取值范围．
17.本小题分
为了持续推进“喜迎生物多样性，相约莞丽春城”计划，在市中心广场旁的一块矩形空地上进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围斜线部分均种满宽度相同的鲜花．已知两块绿草坪的面积均为平方米．
若矩形草坪的长比宽至少多米，求草坪宽的最大值；
若草坪四周及中间的宽度均为米，求整个绿化面积的最小值．
18.本小题分
已知．
当时，求的最大值；
当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知关于的二次函数．
若的解集为，求实数、的值；
若实数，满足，求关于的不等式的解集．
已知有两个正实数根，，且满足，求的最大值
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，，
，，
，
，
或，即或，
时，，，不满足，舍去，
时，，，满足题意，
；
，
，
，解得，
的取值范围为．
16.解：当时，
则
若，即时，，符合题意，
若，即时，得 ， 解得，
综上可知

17.解：设草坪的宽为米，长为米，
由题意可得，，则，
又因为矩形草坪的长比宽至少多米，
则，即，解得，
由，
所以，
故草坪宽的最大值为米；
设草坪的宽为米，长为米，
由题意可得，，则，
因为草坪四周及中间的宽度均为米，
则整个绿化面的长为米，宽为米，
所以绿化面积为，
所以整个绿化面积的最小值为平方米．
18.解：因为，，
所以有，
当且仅当时，取等号，即且时，取等号，所以的最大值为；
因为，所以，而，
所以有：
，
即，
当且仅当时，取等号，即且时，取等号，
因此，要想不等式恒成立，
只需成立，即，解得．

19.【详解】由的解集为，得与是方程的两个实根，且，
因此，解得，，
所以，．
由，，则不等式化为：，
当时，不等式化为，无解；当时，，解得；
当时，，解得；当时，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
由方程有两个不等的正实数根，得
由，得，则，即，
由，得，解得，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为．

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