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2025-2026学年内蒙古赤峰实验中学高二上学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.盘子里有肉馅、素馅和豆沙馅的包子共个，从中随机取出个，若是肉馅包子的概率为，不是豆沙馅包子的概率为，则素馅包子的个数为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，已知点，若点与点关于平面对称，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.如图，三个元件正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概率是( )
A. B. C. D.
5.在平行六面体中，点为棱的中点，点为棱上靠近的三等分点．若，则的值为( )
A. B. C. D.
6.，，则的概率是
A. B. C. D.
7.学校足球赛决赛计划在周三、周四、周五三天中的某一天进行，如果这一天下雨则推迟至后一天，如果这三天都下雨则推迟至下一周，已知这三天下雨的概率均为，则这周能进行决赛的概率为
A. B. C. D.
8.如图，在直四棱柱中，，，，，分别是侧棱，上的动点，且平面与平面所成角的大小为，则线段的长的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则下列说法正确的是( )
A. 是平面的一个法向量 B. 四点共面
C. D.
10.甲罐中有个红球、个白球，乙罐中有个红球、个白球，先从甲罐中随机取出个球放入乙罐，分别以表示由甲罐中取出的球是红球白球的事件，再从乙罐中随机取出个球，以表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是( )
A. 事件互斥 B. 事件与事件相互独立
C. D.
11.在棱长为的正方体中，点满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 若，则面
B. 若，则
C. 若，则到平面的距离为
D. 若时，直线与平面所成角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.从，，，，这个数中任取个，则这个数字之积大于的概率为 ．
14.如图，在三棱锥中，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记，则等于 用表示．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
若 ，求，的值；
若，且，求的值．
16.本小题分
将一颗骰子先后抛掷次，观察向上的点数，事件：“两数之和为”，事件：“两数之和是的倍数”，事件：“两个数均为偶数”．
写出该试验的基本事件，并求事件发生的概率；
求事件发生的概率；
事件与事件至少有一个发生的概率．
17.本小题分
三棱柱中，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
求证：平面．
求证：平面．
18.本小题分
年月日，在官方公众号发文称，正式发布模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步．为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对，两部门开展专项技能培训．
已知该公司，两部门分别有位领导，此次培训需要从这位领导中随机选取位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由，两部门的领导分别负责一天的概率；
此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率．
19.本小题分
如图，在四边形中，，，，如图，把沿折起，使点到达点处，且平面平面，为的中点．
求证：；
求二面角的余弦值；
判断线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：，，
，．
又，
，解得，．
由，得，
，，即，，解得．

16.解：所有可能的基本事件为：
共种
其中“两数之和为”的有共种，故．
由得“两数之和是的倍数”的有共种，故概率为．
由“两个数均为偶数”的有种，“两数之和为”的有共种，重复的有三种，故事件与事件至少有一个发生的有种，概率为．

17.解：证明：连接，，在中，，是，的中点．
又平面，平面，平面．
解：三棱柱中，侧棱与底面垂直，
四边形是正方形．
．．
连接，，．
，又是的中点，．
与相交于点，
平面．

18.解：记部门的名领导为，部门的名领导为，
从这位领导中随机选取位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：
，
共种，
这两天的工作由，两部门的领导分别负责一天，不同结果有：共种，
所以这两天的工作由，两部门的领导分别负责一天的概率为．
记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”，
则，，
依题意，
，
所以每位员工经过培训合格的概率为．

19.解：在图中，由，，得，则，
所以，由，得，即，
在图中，，取的中点，连接，由为的中点，
得，则，由，得，而，
平面，则平面，又平面，所以．
由已知及得平面平面，平面平面，，
于是平面，直线两两垂直，
以为坐标原点，直线分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
则，
由图知二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．
假设线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，
在中，，所以，
因为三棱锥的体积为，设点到平面的距离为，
所以，所以，所以点到平面的距离为，
令，由得，，
又平面的法向量为，
则点到平面的距离为，解得，
线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，且．

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