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2025-2026学年山东省淄博市淄川中学高二上学期10月月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某人将一枚质地均匀的硬币连续抛掷了次，正面朝上的情形出现了次，则下列说法正确的是( )
A. 正面朝上的概率为 B. 正面朝上的频率为
C. 正面朝上的概率为 D. 正面朝上的概率接近于
2.已知两个向量，，且，则的值为( )
A. B. C. D.
3.若空间向量，则与的夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为中点，则等于( )
A. B.
C. D.
5.已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.一道竞赛题，，，三人可解出的概率依次为，，，若三人独立解答，则仅有人解出的概率为( )
A. B. C. D.
7.设随机事件，满足，，则 ．
A. B. C. D.
8.不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有、、、、五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知空间向量，则下列选项中正确的是( )
A. 当时， B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
10.下列命题正确的是( )
A. 对立事件一定是互斥事件
B. 若为不可能事件，则
C. 若事件，，两两互斥，则
D. 事件，满足，则，是对立事件
11.连续抛掷一枚质地均匀的硬币次，记录这次实验的结果设事件表示“次实验结果中，既出现正面又出现反面”，事件表示“次实验结果中，至多出现一次正面”，则下列结论正确的有 ．
A. 若，则与互斥 B. 若，则与不相互独立
C. 若，则与不互斥 D. 若，则与相互独立
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线的方向向量与直线的方向向量，则和夹角的余弦值为 ．
13.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子它们的六个面分别标有点数，，，，，，骰子朝上的面的点数分别为，，则的概率为 ．
14.已知长方体中，，，为的中点．若长方体表面上的动点满足，则动点的轨迹围成面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平行六面体中，，，，，
用表示；
求的长．
16.本小题分
为调查学生体能状况，现从某校高一年级参加体能测试的学生中随机抽取名学生的体能测试成绩，这组数据均在区间，其频率分布直方图如图所示．
求的值；
现用分层抽样的方法从区间，抽取人，再从抽取的人中随机抽取人，求这人体能测试成绩在的概率．
17.本小题分
如图所示的四棱锥中，平面，，，在同一个球面上，设该球面的球心为，建立如图示空间直角坐标系．
求球心的坐标；
求直线与直线所成角的余弦值．
18.本小题分
年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是各家庭回答是否正确相互独立．
求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；
求甲、乙、丙三个家庭中不少于个家庭回答这道题正确的概率．
19.本小题分
如图，在长方体中，，，．
求证：平面平面．
线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意得：；
，
故．

16.解：由题意可得，解得；
，的频率分别为，故之比为，因此从，抽取个人，
则需要从，分别抽取的人数为，，，
设的个人为，的个人为，的个人为，
故样本空间为，共有个，
则人体能测试成绩在的样本点有共有个，
故概率为．

17.解：由题意得，，
设球心，若在同一个球面上，
则，得：
解得，即，
由题意得，
设直线与直线所成角为，
故直线与直线所成角的余弦值为．

18.解：记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，
由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，
则，
解得，
由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是，
则
即．
所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和．
有个家庭回答正确的概率，
有个家庭回答正确的概率为
所以不少于个家庭回答正确这道题的概率．

19.解：证明：以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，
则．
取，则，，所以平面的一个法向量为．
设平面的法向量为，
则．
取，则，，所以平面的一个法向量为．
因为，即，所以平面平面．
设线段上存在点使得平面，．
由得，，平面的一个法向量为，
所以．
所以，解得．
所以当为线段的中点时，平面．

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