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2025-2026学年江苏省苏州实验中学高二上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知数列：，，，，满足，则是该数列的第 项
A. B. C. D.
2.若数列满足，，则( )
A. B. C. D.
3.等比数列单调递减，前项和，，则公比( )
A. B. C. D.
4.等差数列前项和为，设：“且”，：“是的最小值”，则( )
A. 是的充分不必要条件 B. 是的必要不充分条件
C. 是的充要条件 D. 是的既不充分也不必要条件
5.等差数列的前项和为，若则的值为( )
A. B. C. D.
6.李华从年起，每年月日到银行存入元，若年利率为，按复利计算，到期自动转存，那么年月日将前面的存款全部取出，可得本利和为( )
A. B.
C. D.
7.已知数列首项，，则使得成立的最大正整数是( )
A. B. C. D.
8.数列前项和，，则数列的最小项为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.等差数列前项和为，，，则( )
A. 数列的公差为 B.
C. D.
10.数列首项不为，，则下列叙述正确的有( )
A. 若，则数列是等差数列
B. 若，则数列是等比数列
C. 若且，则数列前项和为
D. 不存在实数，使得恒成立
11.已知数列的通项公式，前项和为，则( )
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 数列单调递减 D. 数列的最小项是
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.数列的前项和等于 ．
13.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图其中第一个图有个蜂巢，第二个图有个蜂巢，第三个图有个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数则 ．
14.已知整数数列是等比数列，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.等差数列前项和为，对任意正整数，均有，．
求及；
在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，求的值．
16.已知数列的首项，前项和为．
若数列的前项和为，求；
若，求数列的前项和．
17.已知正项数列，，．
求，及数列的通项公式；
设数列的前项和为，求数列的最大项．
18.已知数列满足，前项和为．
求证：数列是等比数列；
求；
记，数列中是否存在不同的项、、其中、、成等差数列成等差数列？若存在，求出这样的项；若不存在，请说明理由．
19.已知数列前项和为，满足为常数
若，求的值；
若，，求数列的通项公式；
若，求证：数列为等差数列的充要条件为．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.

14.
15.解：因为数列为等差数列，不妨设，
由可得，故，解得，
所以，
对任意的，，则，即，即，
所以，解得，故，，
所以，合乎题意，
综上所述，，．
在和之间插入个数，使得这个数组成公差为的等差数列，
这个等差数列、、、，则，，
所以，
当时，，故数列为等差数列，
所以．

16.解：因为数列的前项和为，
所以，即，所以，所以；
，当时，，即，
当时，，两式作差得，
所以，，所以当时，数列为常数列，
又时，所以当时，，所以，
又也满足，所以，
故．
所以，
，
得
所以

17.解：由题意．
当时，
且
两式作差得即．
所以从开始，是公差为的等差数列，而，
则，，显然也满足，
所以．
因为，，
所以．
设，则，
所以，
所以为递减数列．
所以即的最大值为．

18.解：因为数列满足，且，则，
所以，
故，且，
因此数列是等比数列．
当为偶数时，设，则，
由可知，则，
当为奇数时，，
所以
当为偶数时，设，则，，
此时
，
当为奇数时，设，则，
此时
，
综上所述，．
由可知，
假设数列中是否存在不同的项、、其中、、成等差数列成等差数列，
且有，不妨设，则，
所以，
整理可得，
等式两边同时除以，得，
因为为偶数，为奇数，等式不成立，
故数列中不存在不同的项、、其中、、成等差数列成等差数列

19.解：当时，，
令，则．
当时，．
即
当时，，又，所以．
又，
所以，
即，
所以，
所以当时，．
所以．
当时，．
先证必要性：数列为等差数列，公差为，
则，所以必要性成立；
再证充分性：
因为，当时，．
当时，．
当时，
得：
当时，
得：，
所以．
所以数列从第项开始是等差数列，且公差．
又，所以数列为等差数列，所以充分性成立．
综上可知：当时，数列为等差数列的充要条件为．

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