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2025-2026学年北京市海淀区第二十中学高一上学期10月月考
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知集合，如果，则的取值集合为( )
A. B. C. D.
4.在下列不等式中，解集为的是( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，若，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.若不等式的解集是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，，满足，且，那么下列选项中一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
8.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
9.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
10.已知非空集合，满足以下两个条件
，；
若，则．
则有序集合对的个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.满足条件的集合的个数是 ．
12.已知，为正实数，且满足，则的最小值为 ．
13.用列举法表示集合为 ．
14.写出“”的一个必要不充分条件是 ．
15.若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
求下列不等式的解集．
；
；
．
17.本小题分
已知集合．
当时，求，；
若，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知关于的不等式的解集为．
求出不等式的解集；
若，直接写出实数的取值范围．
19.本小题分
已知方程组的解集为，
求的取值范围；
若，求的值．
20.本小题分
某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量万瓶与投入的广告费用万元满足关系式为常数，若不进行广告宣传，该产品的月销售量为万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为万元．注：销售利润销售收入投入成本广告费用
求出的值，并将表示为的函数；
求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？
21.本小题分
已知数集具有性质：对任意的，，与两数中至少有一个属于．
分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
证明：；
证明：．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.答案不唯一
15.
16.或，解得或，
故该不等式的解集为或．
，
故不等式的解集为．
由
解得或，
故不等式的解集为或．

17.解不等式得，即，
当时，
所以；
若，即时显然符合题意；
若，此时，
要满足题意需或，即或；
综上所述实数的取值范围为：．

18.不等式可化为．
当时，，解得，所以不等式的解集；
当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集；
当时，，解得或，所以不等式的解集或；
当时，不等式即为，解得，所以不等式的解集；
当时，，解得或，所以不等式的解集或．
综上所述：当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集；
当时，不等式的解集或；
当时，不等式的解集；
当时，或．
当时，若，则，解得；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意；
综上所述，满足的实数的范围是．

19.由可得，代入得，
整理得，方程有两个不同的实数解，所以，
解得或所以的取值范围是．
由可知，
则，
所以，整理得，解得或舍去．

20.解：由题知，时，，
于是，，解得 ，
所以，根据题意，，
即，
所以；
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当投入的广告费用为万元时，该产品的月销售利润最大，最大利润为万元．

21.由于与均不属于数集，该数集不具有性质；
由于都属于数集，该数集具有性质．
具有性质，与中至少有一个属于，
由于，，故．
从而，．
，，故．
由具有性质可知．
又，
，
从而．

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