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2025-2026学年山东省青岛市黄岛区高二上学期 10月阶段性检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知直线 的一个方向向量为(2, 3)，且经过点(3,1)，则 的方程为( )
A. 3 + 2 3 = 0 B. 3 + 2 11 = 0
C. 2 3 1 = 0 D. 3 + 2 + 3 = 0
2.若{ , , }是空间的一个基底，且向量 = + + ，则( , , )叫向量 在基底{ , , }下的坐标，
已知{ , , }是空间的一个基底，{ + , , }是空间的另一个基底，一向量 在基底{ , , }下的坐标为
(4,2,3)，则向量 在基底{ + , , }下的坐标是 ( )
A. (4,0,3) B. (3,1,3) C. (1,2,3) D. (2,1,3)
3.已知三条直线 1: = + 1， 2: = 2 + 4， 3: + + 1 = 0不能围成三角形，则实数 的取值集合
为( )
A. {1, 2} B. {1, 2,3} C. { 1,2, 3} D. { 1,2}
1 1
4.如图， 是棱长为1的正方体，若 ∈平面 ，且满足 = + 2 + ( ) ，
4 2
则 到 的距离为( )
√ 3
A.
4
√ 3
B.
2
√ 5
C.
4
√ 5
D.
2
5.已知从点(3,3)发出的一束光线，经过直线2 + 2 = 0反射，反射光线恰好过点(4,0)，则反射光线所
在的直线方程为( )
A. 3 + 12 = 0 B. 3 + 7 12 = 0
C. + 4 = 0 D. = 4

6.如图，二面角 的大小为 ，棱 上有 ， 两点，线段 ， ⊥
3
， ， ⊥ .若 = 3， = 4， = 7，则线段 的长为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
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7.已知直线 : ( + 2) + ( 1) + 1 = 0，若直线 与连接 (1, 2)、 (2,1)两点的线段总有公共
点，则直线 的倾斜角范围为( )
3
A. [ , ] B. [ , )
4 4 4
3 3
C. [ , ] D. [0, ] ∪ ( , )
4 4 4 4
8.正方体 1 1 1 1的棱长为1， 是正方体外接球的直径， 为正方体表面上的动点，则
的取值范围是( )
1 1 3 3
A. [ , 0] B. [0, ] C. [ , 1] D. [1, ]
2 2 4 2
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线 1: + 2 + 3 = 0, 2: 3 + ( 1) + 3 = 0.以下说法正确的有( )
2
A. 1// 2的充要条件是 = 3 B. 当 = 时， 5 1 ⊥ 2
C. 直线 1一定经过点 (3,0) D. 点 (1,3)到直线 1的距离的最大值为5
10.已知空间向量 = (1,2,4), = (0, 2,1)，则( )
A. = 0
B. 在 上的投影向量为(0,2, 1)
C. 若向量 = (1,0,6)，则点 在平面 内
2√ 5 √ 5
D. 向量(0, , )是与 平行的一个单位向量
5 5
11.已知正方体 1 1 1 1的棱长为4，动点 在正方体表面 1 1 1 1上(不包括边界)，则下列说法
正确的是( )
A. 存在点 ，使得 //面 1
B. 存在点 ，使得 ⊥面 1
π 2√ 3
C. 若 与 1的夹角为 ，则点 的轨迹长度为 π 6 3
D. 若 为面 1 1的中心，则 + 的最小值为2√ 14
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.若两条平行直线 1： 2 + = 0与 2：2 + 6 = 0之间的距离是2√ 5，则 =______．
13.著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决.已知0 < < 2，0 < < 1，则√ 2 + 2 +
√ 2 + (1 )2 + √ (2 )2 + 2 + √ (2 )2 + (1 )2的最小值为 ．
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14.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中，点 ， 分别是棱 ， 1的中点， 是侧面 1 1上的动
点，且 1//平面 .则点 的轨迹长为 .点 到直线 的距离的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知直线 1： 2 + 3 = 0， 2：2 + 3 8 = 0．
(1)求经过点 (1,4)且与直线 2垂直的直线方程；
(2)求经过直线 1与 2的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程．
16.(本小题15分)
已知直线 经过点 (1,2)．
(1)若直线 到原点的距离为1，求直线 的方程；
(2)若直线 与 轴、 轴的正半轴分别交于 、 两点，求 △ 的最小值，并求此时直线 的方程．
17.(本小题15分)
在平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为1的正方形，侧棱 1的长为2，且∠ 1 =
∠ 1 = 60°，求：
(1) 1的长；
(2)直线 1和 1 1所成角的余弦值；
(3)平行六面体 1 1 1 1的体积．
18.(本小题17分)
如图，等边三角形 的边长为8， ， 分别为所在边的中点， 为线段 的中点，现将三角形 沿直
线 折起，使得二面角 为直二面角．
(1)求线段 的长度；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
4√ 33
(3)棱 上是否存在异于端点的点 ，使得点 到平面 的距离为 .若存在，请指出点 的位置；若
11
不存在，请说明理由．
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19.(本小题17分)
如图所示，在圆柱 1中，矩形 1 1为圆柱 1的轴截面，圆柱过点 的母线为 1点 ， 为圆 上异于
点 ， 且在线段 同侧的两点，且 // ，点 为线段 1 的中点， = 1 = 4．
(1)求证： //平面 1；
2√ 19
(2)若平面 1与平面 1 1 所成夹角的余弦值为 ，求∠ 的大小； 19
(3)若 = 2√ 3，平面 经过点 ，且直线 1与平面 所成的角为30°，过 1点作平面 的垂线 1 (垂足为
)，求直线 与直线 1所成角的范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.7或 13
13.2√ 5
√ 2 √ 2
14. ；
2 3
15.3 2 + 5 = 0；
= 2 或 + 3 = 0．
16.解：(1)因为直线 经过点 (1,2)，
当直线斜率不存在时，直线方程为 = 1，此时，直线 到原点的距离为1，满足题意，
当直线斜率存在时，设直线方程为 2 = ( 1)，即 + 2 = 0，
|2 | 3
因为直线 到原点的距离为1，所以 = 1，解得 = ．
√ 2
4
1+
此时，直线 为3 4 + 5 = 0
所以直线 的方程为 = 1或3 4 + 5 = 0．
(2)由题意知，直线斜率存在且不为0，设直线方程为 2 = ( 1)，
2
令 = 0，得到 = 2 ，令 = 0，得到 = 1 ．

2 > 0
由题知，{ 2 ，得到 < 0．
1 > 0

1 2 1 4 1 4 1
△ = (2 )(1 ) = (2 + 2) = 2 + [( ) + ( )] ≥ 2 + × 2√ 4 = 4， 2 2 2 2
4
当且仅当 = ，即 = 2时取等号，此时直线方程为2 + 4 = 0．

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17.解：(1)令 = ， = ， 1 = ，
| | = | | = 1，| | = 2， , = 90°， , = , = 60°，
→ → → → → →
所以 · = 0， · = 1 × 2 × cos60° = 1， · = 1 × 2 × cos60° = 1，
则 = 1 + 1 = + 1 = + 1 = + ，
2 2 → → → 2 → 2 → 2 → 2 → → → → → →
所以 1 = | 1| = ( + ) = | | + | | + | | 2 2 + 2 = 6，
所以 1 = √ 6；
→ → → 2 → → → →
(2) √1 1 = = + ，则| 1 1| = ( + ) =
√ 2 + 2 + 2 · = √ 2，
设直线 1和 1 1所成角为 ，
→ 2 → 2 → → → →
|| | | | + + | + 2 2|( ) ( + )| |1 1 +1+1| √ 3
则cos = |cos 1 , 1 1 | = = = = ，
|
→ →
+ || + | → → → 3| + √ 6×√ 2|| + |
√ 3
所以直线 1与 1 1所成角的余弦值为 ； 3
(3)过 1作 1 ⊥平面 ，垂足为 ，
设 = + = + ，所以 = 1 1 = + ，
2
由 1 ⊥ 得( + ) = 0，即 + = 0，
所以 1 = 0，解得 = 1，
2
由 ⊥ 1 得( + ) = 0，即 + = 0，
所以 1 = 0，解得 = 1，
所以 = + 1 ，
→ → → 2
所以平行六面体 1 1 1 1的高为 = =
√
1 1 2 = √ ( + ) =
→ → → → → → → →√ → 2 + 2 + 2 + 2 2 2 = √ 2．
所以平行六面体 1 1
2
1 1的体积 = = 1 × √ 2 = √ 2．
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18.解：(1)连接 ，则 ⊥ ，由题知面 ⊥面 ，
且面 ∩面 = ，又 面 ，
所以 ⊥面 ，取边 的中点记为 ，则 ⊥ ，
以 ， ， 为正交基底建如图所示空间直角坐标系，
易知 (0,0,2√ 3)， ( 4,2√ 3, 0)，所以 = 2√ 10；
(2)由题知 = (2,2√ 3, 0)，
记面 的一个法向量 = ( 0, 0, 0)，
易知 = ( 8,0,0)， = (4,2√ 3, 2√ 3)，
= 8 = 0
所以{ 0 ,
= 4 0 + 2√ 3 0 2√ 3 0 = 0
0 = 0
不妨取 0 = 1，得{ 0 = 1，即 = (0,1,1)，
0 = 1
记直线 与平面 的所成角为 ，
| | 2√ 3 √ 6
则sin = |cos , | = = =
| 4
，
|| | √ 2×4
所以直线 与平面 的所成角的正弦值为√ 6 ;
4
(3)设 = ，其中0 < < 1，
= ( 4,2√ 3, 2√ 3)， = ( 4 , 2√ 3 , 2√ 3 )， = (0,0,2√ 3)，
= + = ( 4 , 2√ 3 , 2√ 3 2√ 3 )，
= (4,2√ 3, 0)，记平面 的一个法向量为 = ( 1, 1, 1)，
= 4 1 + 2√ 3 = 0则有{ 1 ,
= ( 4 ) 1 + (2√ 3 ) 1 + (2√ 3 2√ 3 ) 1 = 0
1 = √ 3 √ 3
不妨取 1 = 4 ，解得{ 1 = 2 2 ，
1 = 4
即 = (√ 3 √ 3 , 2 2,4 )，
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| | 8√ 3 4√ 33
则点 到平面 的距离 = = =| | 2 2 2 11 ， √ (√ 3 √ 3 ) +(2 2) +16
整理得：21 2 + 14 7 = 0，即3 2 + 2 1 = 0，
1
解得 = 或 = 1(舍去)，
3
4√ 33所以当点 位于线段 的靠近点 的三等分点时，点 到平面 的距离为 ．
11
19.解：(1)证明：延长 ， 交于点 ，连接 1， 1，
因为 // ， 是 中点，
所以 是△ 的中位线，则点 是 中点，
又因为 1， 1， 1是圆柱的母线，
所以 1， 1， 1平行且相等，
所以易得 1， 1相交于点 ， 是 1的中点，
则在△ 1中， // 1 ，
又因因为 1// 1， 在 延长线上，
所以可得 1 平面 1，而 不在平面 1内，
所以 //平面 1．
(2)由题意可知 1 ⊥ 面，且因为 直径，所以 ⊥ 则， ， ， 1三线两两垂直，则建立如图
所示空间直角坐标系 ，
又因为 = 1 = 4，所以设∠ = ，则 = 4 ， = 4 ，
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可得点坐标为 (0,0,0)， (0,4 , 0)，
1(4 , 0,4)， 1(0,4 , 4)，
则 1 = (4 , 0,4), 1 = (0,4 , 4)，
由题意平面 1在 平面内，所以平面 1的法向量为 1 = (1,0,0)，
设平面 1 1 的法向量为 2 = ( , , )，
⊥ 2 1 2 1 = 0 4 + 4 = 0则{ ，则{ ，即{ ，
2 ⊥ = 0
4 + 4 = 0
1 2 1
1 1
令 = 1，则解得 = , = ，
cos sin
1 1
所以 2 = ( , , 1)， cos sin
1
| | | |
又因为平面 与平面 所成夹角的余弦值为：|cos , | =
1 2 cos
1 1 1 1 2
= =
| 1 || 2 | √ 1 2 1 2 2 ( ) +( ) +( 1)
cos sin
2√ 19 2 3，解得cos = 或5(舍)，
19 4

且因为 < ，则 √ 3 = ， 2 2

即∠ = = ．
6
(3)因为过点 的平面 与直线 1所成的角为30°，
又因为过 1点作平面 的垂线 1 (垂足为 )，
1
所以△ 1 为直角三角形，且 1 = 1 sin = 4 × = 2,∠ = ， 6 2 1 3

所以点 是绕 1旋转的圆，且半径 = 2 = √ 3， 3

圆心距离点 1的长度为 1 cos = 1， 3
所以设点 ( , , 3)且 2 + 2 = 3，又因为点 为(2√ 3, 0,0)，
所以 = ( 2√ 3, , 3)，
而 1 = (0,0,1)，
3
所以cos , 1 =
√ 2
，
4√ 3 +12+ 2+9
又因为 2 + 2 = 3，
3所以cos , 1 = ， √ 24 4√ 3
且因为 1 √ 3 ∈ [ √ 3, √ 3]，所以cos , 1 ∈ [ , ]， 2 2
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所以直线 与直线 1所成角的范围为[ , ]． 6 3
(1)在平面 1内找到一条与 平行的直线，由线线平行去证明线面平行即可；
(2) 2√ 19建立坐标系，将 ， 坐标分别用 表示出来，再根据平面 1与平面 1 1 所成夹角的余弦值为 19
列出方程求解 ；
(3)由所给的条件分析出 点的轨迹，再去利用向量数量积公式去求解夹角余弦值的取值范围，从而得到夹
角的取值范围．
本题考查线面平行的判定，以及向量法的应用，属于中档题．
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