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襄阳四中2024级高二上学期10月月考数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为
A. B. C. D.
2.李华家养了白、灰、黑三种颜色的小兔各只，从兔窝中每次摸取只，有放回地摸取次，则次摸取的颜色各不相同的概率为
A. B. C. D.
3.直线的倾斜角范围是
A. B. C. D.
4.若平面的法向量为，平面的法向量为，直线的方向向量为，则
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
5.公元前年，几何之父欧几里得在几何原本里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这种正多面体．公元前年，阿基米德把这种正多面体进行截角操作即切掉每个顶点，发现了种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图所示的足球截面体的棱数为( )
A. B. C. D.
6.已知跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，对新数据和原数据，下面说法正确的是
A. 两组数据的极差不可能相等
B. 两组数据的中位数不可能相等
C. 若，则两组数据的方差不可能相等
D. 若，两组数据的第百分位数可能相等
7.已知圆：和圆：，若点在两圆的公共弦上，则的最小值为
A. B. C. D.
8.如图，在直角中，，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
A. 过点且在轴上的截距是在轴上截距的倍的直线的方程为
B. 向量是直线的一个方向向量
C. 若直线与平行，则与的距离为
D. 圆与圆有两条公切线
10.在学习了解三角形的知识后，为了锻炼实践能力，某同学搞了一次实地测量活动：他位于河东岸，在靠近河岸不远处有一小湖，他于点处测得河对岸点位于点的南偏西的方向上，由于受到地势的限制，他又选了点，，，使点，，共线，点位于点的正西方向上，点位于点的正东方向上，测得，，，，并经过计算得到如下数据，则其中正确的是
A. B. 的面积为
C. D. 点在点的北偏西方向上
11.如图，圆锥内有一个内切球，为底面圆的直径，球与母线，分别切于点，若是边长为的等边三角形，为底面圆的一条直径与不重合，则下列说法正确的是
A. 球的表面积为
B. 圆锥的侧面积为
C. 四面体的体积的取值范围是
D. 若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则的最大值为
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，两点到直线的距离相等，则 ．
13.如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为
14.在东京奥运会乒乓球男子单打决赛中，中国选手马龙战胜队友樊振东，夺得冠军．乒乓球决赛采用局胜制．在决胜局的比赛中，先得分的运动员为胜方，但打到平以后，先多得分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球法，每人每次只发个球．若在决胜局比赛中，马龙发球时马龙得分的概率为，樊振东发球时马龙得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，马龙先发球，则双方战至的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用按比例分层随机抽样的方式抽取个直播商家进行问询交流．
应抽取小吃类商家多少家？
在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的个商家的平均日利润进行了统计单位：元，所得频率直方图如图所示．
估计该直播平台商家平均日利润的第百分位数；
若将平均日利润超过元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数．
16.本小题分
已知圆：．
过点向圆作切线，求切线的方程；
若为直线：上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值．
17.本小题分
在三棱柱中，已知，，点在底面的投影是线段的中点．
证明：在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；
求平面与平面夹角的正弦值．
18.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
若，，求边上的角平分线长；
若为锐角三角形，点为的垂心，，求的取值范围．
19.本小题分
在平面直角坐标系中，图形上任意两点间的距离若有最大值，将这个最大值记为对于点和图形给出如下定义：点是图形上任意一点，若，两点间的距离有最小值，且最小值恰好为，则称点为图形的“关联点”．
如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，求出的值．在点，，，中，哪些点为矩形的“关联点”？
如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，求的取值范围；已知点，图形是以为圆心，为半径的若线段上存在点，使点为的“关联点”，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由，则，所以故选：
2.【答案】
【解析】解：每次摸取有种颜色选择，有放回地摸取次，
根据分步乘法计数原理，总基本事件数为，
次摸取颜色各不同，即从种颜色中选种排列，
第次有种选择，第次不能与第次相同有种选择，第次不能与前两次相同有种选择，
符合条件的事件数为，
所以所求概率为．
故选B．
3.【答案】
【解析】解：设直线的倾斜角为，
则，
又，
，
又由，
．
故选B．
4.【答案】
【解析】对于，由，得，则，解得，故A错误
对于，由，得，则，解得，故B错误
对于，由，得，，则与平面法向量不垂直，则与平面不平行，故C错误
对于，由，得，，，则，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：易知正二十面体有个面，每个面都是三角形，每个顶点都是条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边，
所以正二十面体的棱数为，顶点的个数为，
由图象可知正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了条棱；
原来的条棱数量不变，所以足球截面体的棱数为．
故选：．
先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图象得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案．
本题考查空间多面体的几何性质，属中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为五轮的成绩互不相等，不妨设，
对于，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，
此时新数据的极差等于原数据的极差，故A错误
对于，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，故B错误
对于，若，即删去的数据恰为平均数，
根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，此时方差会变大，故C正确；
对于，在按从小到大的顺序排列的个数据中，
此时原数据的分位数为第三个数和第四个数的平均数，即，
删去一个数据后的个数据，按从小到大的顺序排列，可得，
此时新数据的分位数为第三个数，即或，
由于，显然新数据的分位数不等于原数据的分位数，故D错误．
故选C．
7.【答案】
【解析】解：圆 ： 和圆 ： 两个方程相减，
即可得到两圆的公共弦： ，
又点在两圆的公共弦上，
即，
则
当且仅当，即，时等号成立，
即的最小值为．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，以点为原点，以，分别为轴，轴建立直角坐标系，
则，，
所以直线的方程为，的重心为，
设点，其中，则点关于直线的对称点，
满足，解得，，即，
易得点关于轴的对称点，
由光的反射原理可知，，，四点共线，
直线的斜率，
所以直线的方程为，
由于直线经过的重心，代入得，
化简得或舍去，故点，点，点，
直线的方程为，即，
联立，解得，即点，
联立，解得，即点，
所以，
又点到直线的距离为，
所以．
故选A．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：由题意可知直线斜率存在且不为，
设直线方程为，
令，解得，
令，解得，
因为该直线在轴上的截距是在轴上截距的倍，
所以，
即，
解得或，
所以直线方程为或，故选项A错误；
对于选项B：直线的斜率为，方向向量为，
当时，方向向量为，故选项B正确；
对于选项C：因为直线：与：平行，所以，
由：得，
则直线与直线之间的距离，故选项C正确；
对于选项D：由题意圆，圆心为，半径，
圆，圆心为，半径，
因为，，
所以两圆相交，有且仅有两条公切线，故选项D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用正余弦定理解三角形，属于较难题．
对于，先求出，，，再根据，，即可判断；
对于，根据三角形的面积公式求解即可判断；
对于，在中，由正弦定理，即可判断；
对于，过点作于点，易知，即可判断．
【解答】
解：对于，因为，点位于点的南偏西的方向上，
所以，，，
又，，，，
在，中，，，所以，故 A正确；
对于，的面积为，故 B错误；
对于，在中，由正弦定理，得，解得，故 C正确；
对于，过点作于点，易知，所以，故 D错误．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：选项，连接，等边三角形内切圆即为球的截面大圆，球心在线段上，
又等边三角形的边长为，所以，，
则球的半径为，
所以球的表面积为，故A正确；
选项，圆锥的侧面积为，故B错误；
选项，由题意可得四面体被平面截成体积相等的两部分，
设到平面的距离为，
因为球的半径，三角形为等边三角形，设其边长为，
则，
所以三角形的面积为，
即，故C正确；
选项，依题意，动点的轨迹是圆，所在平面与圆锥底面平行，令其圆心为，
，所以，是边，的中点，
所以，，
所以，
则有，故，，
又，故，
即，因此，
所以，即，
当且仅当时取“”，故D正确．
故选：．
12.【答案】或
【解析】解：因为，两点到直线的距离相等，
所以有，
所以，
所以或，解得或．
故答案为或．
13.【答案】．
【解析】【分析】
本题考查余弦定理，向量的线性运算和向量的数量积，属于拔高题．
先利用余弦定理求出，，，然后利用向量的数量积和线性运算求出，再利用向量的夹角公式可求出答案．
【解答】
解：，，，，边上的两条中线，相交于点，
在中，由余弦定理可知，
在中，，
在中，，
，
整理得，
即，
同理可得，
设向量的夹角为，则，
为中点，为中点，
，，
，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
在比分为：后甲先发球的情况下，分两种情况讨论：甲以：赢下此局和乙以：赢下此局，由此即可求出所求事件概率．
【解答】
解：记甲为马龙，乙为樊振东，
在比分为后，甲先发球的情况下，甲以赢下此局分两种情况
后四球胜方依次为甲乙甲甲，概率为：，
后四球胜方依次为乙甲甲甲，概率为，，
所以，甲以赢下此局的概率为，
在比分为后甲先发球的情况下，乙以赢下此局分两种情况
后四球胜方依次为乙甲乙乙，概率为：，
后四球胜方依次为甲乙乙乙，概率为，，
所以，乙以赢下此局的概率为，
故双方战至的概率为，
故答案为．
15.【答案】解：根据分层抽样知：应抽取小吃类家；
根据题意可得，解得，
设第百分位数为，
因为，，
所以，解得，
所以该直播平台商家平均日利润的第百分位数为元．
个，
所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为．

【解析】本题考查频率分布直方图，分层抽样，百分位数，用样本的数字特征估计总体的数字特征，属于中档题．
根据分层抽样的定义结合图求解即可；
先根据频率和为求出，然后列方程求解第百分位数；根据频率分布直方图求出平均均日利润超过元的频率，然后乘以可得答案．
16.【答案】解：切线的斜率不存在时，满足条件．
切线的斜率存在时，设方程为，即，
圆心到切线的距离，解得，
可得切线方程为：，
综上可得切线的方程为：，或．
当时，取得最小值，此时，
．
【解析】本题考查了直线与圆相切的性质、点到直线距离公式、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
切线的斜率不存在时，满足条件．切线的斜率存在时，设方程为，即，利用切线的性质、点到直线距离公式即可得出．
当时，取得最小值，利用点到直线距离公式可得，利用勾股定理可得．
17.【答案】解：证明：连接，
在中，作于点，
，，
平面，平面，
，
，，
，，平面，
平面，
又平面，，
，，平面，
平面，
又，，
得，
以为原点，，，所在直线为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
，，
由，得点坐标，
设平面的法向量是，
由，得
令，得，，
故平面的一个法向量，
，
，
平面与平面夹角的正弦值为．
【解析】本题考查线面垂直的判定，平面与平面所成角的向量求法，线面垂直的性质，属于基础题．
连接，在中，作于点，则为所求．可以证出，而得以证明．在中，利用直角三角形射影定理得出．
分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量的夹角公式求平面与平面夹角的余弦值，从而可得正弦值．
18.【答案】解：因为 ， ，
所以 ，
由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ．
又因为 ， ，所以 ，
即 ，解得 ，设 边上的角平分线 长为 ，
则
，即 ，
即 ，解得 ，即 边上的角平分线 长为 ；
延长 交 于 ，延长 交 于 ，
设 ，
所以 ，在 中 ，
在 中， ， ，所以 ，
在 中 ，
同理可得在 中 ，
所以
，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为．

【解析】本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
先根据平方关系及正弦定理化角为边，再利用余弦定理求出 利用余弦定理求出 ，再由等面积法计算可得答案；
延长 交 于 ，延长 交 于 ，设 ，分别求出 、 ，再根据三角恒等变换化，结合正切函数的性质即可得解．
19.【答案】解：如图，图形是矩形，其中点的坐标为，点的坐标为，
矩形的对角线长为，这也是矩形中任意两点距离的最大值，所以，
对，矩形中点到它的距离最小为，不满足关联点的定义，不是关联点，
对，矩形中的点到它的距离最小为，满足关联点的定义，是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，不满足关联点的定义，不是关联点，
对，矩形中点到它的距离最小为，满足关联点的定义，是关联点，
因此，是关联点；
如图，图形是中心在原点的正方形，其中点的坐标为．
若直线上存在点，使点为正方形的“关联点”，
可知正方形的边长为，对角线长为，因此正方形中，，
直线与对角线平行，
由已知，，，设，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，满足关联点的定义，为关联点，
当时，或时，到正方形上点的距离的最小值为，为关联点，
当且时，如果在第一象限，则到正方形上点的距离的最小值为，
因此有，即在圆的一段弧上，
同理点还在下列三段圆弧上：
，，
，
直线与正方形的一条对角线平行，
直线与图中正方形外围的图形四段线段与四段圆弧组成的公共点即为关联点，
当直线与第二象限的一段圆弧相切时，，舍去，
同理当直线与第四象限的一段圆弧相切时，，
所以的取值范围是；
由题线段所在直线方程为，即，
圆半径为，因此，
点到圆上点的距离的最小值为，则，
当时，令点到线段所在直线距离为，
令
当时，令，
令，
如图：
结合图形，的取值范围是．
【解析】详细解答和解析过程见【答案】

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