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习题课一　匀变速直线运动的常用公式及推论
1.（多选）对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是（　　）
A.物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5
B.物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为1∶3∶5
C.物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为∶∶
D.物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为∶∶
2.一旅客在站台10号车厢候车线处候车，若动车每节车厢长均为25 m，动车进站时可以看作匀减速直线运动。他发现第1号～5号五节车厢依次全部通过他用了10 s，动车停下时旅客刚好在10号车厢门口（9号车厢最末端），则该动车的加速度大小为（　　）
A.2.0 m/s2 B.1.0 m/s2
C.0.5 m/s2 D.0.2 m/s2
3.如图所示，水平地面上有A、B、C三点，且AB＝3BC，有一物块由A点以初速度为v0沿水平地面向右做匀减速运动，恰好运动到C点停止，已知物块由A点运动到C点经历的总时间为t，则（　　）
A.物块从B到C的时间为
B.物块从B到C的时间为
C.物块在B点时的速度为
D.物块在B点时的速度为
4.（多选）高铁进站的过程近似为高铁做匀减速运动，高铁车头依次经过A、B、C三个位置，已知AB＝BC，测得AB段的平均速度为30 m/s，BC段平均速度为20 m/s。根据这些信息可求得（　　）
A.高铁车头经过A、B、C的速度
B.高铁车头在AB段和BC段运动的时间
C.高铁运动的加速度
D.高铁车头经过AB段和BC段的时间之比
5.一物体做初速度不为零的匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下说法错误的是（　　）
A.物体在A点的速度大小为
B.物体运动的加速度大小为
C.物体运动的加速度大小为
D.物体在B点的速度大小为
6.我国ETC（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车辆通过收费站的时间。一辆汽车以20 m/s的速度驶向高速收费口，到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4 s的时间速度减为5 m/s且恰好收费完成。随后司机立即加速，加速时汽车的加速度大小为2.5 m/s2，假设汽车可视为质点。则下列说法正确的是（　　）
A.汽车开始减速时距离自动收费装置110 m
B.汽车加速4 s后速度恢复到20 m/s
C.汽车从开始减速到速度恢复到20 m/s通过的总路程为125 m
D.汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为4 s
7.（多选）子弹垂直射入八个叠在一起的相同木板，穿过第八个木板后的速度变为0。可以把子弹视为质点，子弹在木板中沿水平方向做匀变速直线运动。则可以判定（　　）
A.子弹在每个木板中速度变化相同
B.由题干信息可以确定子弹穿过每个木板后的速度之比
C.子弹穿出第六个木板的瞬时速度与全程的平均速度相等
D.子弹在每个木板中运动的时间相同
8.一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求：
（1）火车的加速度大小a；
（2）火车中点经过此路标时的速度大小v；
（3）整列火车通过此路标所用的时间t。
9.如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a、b、c、d四点，已知经过ab、bc和cd三段所用时间之比为3∶2∶1，通过ab和cd段的位移分别为x1和x2，则bc段的位移为（　　）
A. B.
C. D.
10.（多选）2022年2月中国成功举办第24届冬奥会，北京成为世界上首个“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目是极具观赏性的一项比赛，将冰壶运动简化成如下模型：冰壶从A点以初速度v0掷出，沿直线AD做匀减速直线运动，恰好停在营垒中心点D处，AB＝BC＝CD，下列说法中正确的是（　　）
A.冰壶在AB、BC、CD三段上运动的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝∶∶1
B.冰壶在A、B、C处的速度大小之比vA∶vB∶vC＝∶∶1
C.冰壶从A运动到D的平均速度为v0
D.冰壶运动到AD中点位置的速度为v0
11.做匀加速直线运动的物体途中依次经过A、B、C三点，已知AB＝BC＝（l未知），AB段和BC段的平均速度分别为v1＝3 m/s、v2＝6 m/s。
（1）物体经B点时的瞬时速度vB为多大？
（2）若物体的加速度a＝2 m/s2，试求AC段的距离l。
习题课一　匀变速直线运动的常用公式及推论
1.ACD　由v＝at得v∝t，故物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5，A正确；由x＝at2得x∝t2，故物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为12∶32∶52，B错误；由v2＝2ax得v∝，故物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为∶∶，C正确；由x＝at2得t∝，物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为∶∶，D正确。
2.C　设6号～9号车厢依次全部通过他的时间为t1，采用逆向思维，看成动车做初速度为零的匀加速直线运动，利用匀变速直线运动的推论，则有＝，解得t1＝20 s，由位移公式得4L＝a，代入数据解得a＝0.5 m/s2，故选C。
3.A　末速度为0的匀减速直线运动可以逆向看成初速度为0的匀加速直线运动，再利用匀变速直线运动规律的推论，对于初速度为0的匀加速直线运动，相同时间内第一个时间段内和第二个时间段内的位移之比为1∶3，由此可知B点为整个过程的中间时刻，所以从B到C所用时间为，在B点时的速度为，A正确，B、C、D错误。
4.AD　设高铁车头在经过A、B、C三点时的速度分别为vA、vB、vC，根据AB段的平均速度为30 m/s，可得＝30 m/s；根据在BC段的平均速度为20 m/s，可得＝20 m/s；设AB＝BC＝x，整个过程中的平均速度为＝＝＝24 m/s，所以有＝24 m/s，联立解得vA＝34 m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，由于不知道AB和BC的具体值，则不能求出运动时间及其加速度的大小，A正确，B、C错误。tAB∶tBC＝∶＝2∶3，D正确。
5.B　根据匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，可得vA＝，故A说法正确。只有物体初速度为零时才满足aT2＝x1，即a＝，本题中物体运动的初速度不为零，根据x2－x1＝aT2得，物体运动的加速度a＝，故C说法正确，B说法错误。在该加速运动过程中vB＝vA＋aT，可得B点的速度大小vB＝，故D说法正确。本题选说法错误的，故选B。
6.C　汽车开始减速时与自动收费装置的距离x1＝t1＝×4 m＝50 m，A错误；汽车的速度恢复到20 m/s所需的时间t2＝＝ s＝6 s，B错误；汽车匀加速运动阶段的位移x2＝t2＝×6 m＝75 m，则总路程x＝x1＋x2＝125 m，C正确；汽车匀速通过125 m所需的时间t＝＝ s＝6.25 s，则通过自动收费装置耽误的时间Δt＝t1＋t2－t＝3.75 s，D错误。
7.BC　子弹做匀减速运动穿过第8个木板后速度变为0，运用逆向思维法，看成子弹反向做初速度为零的匀加速直线运动，设每个木板的厚度为d，则由初速度为零的匀变速运动通过相等位移的运动规律可知，穿过第8个、第7个……第1个木板的时间之比为1∶（－1）∶（－）∶…∶（－），则穿过每个木板的时间不等，根据Δv＝at可知，子弹在每个木板中速度变化不相同，选项A、D错误；根据子弹穿过每个木板的时间之比，结合v＝at可求出子弹穿过每个木板后的速度之比，选项B正确；子弹穿过第6个木板的瞬时速度为v6＝＝2，全程的平均速度＝＝＝2，选项C正确。
8.（1）　（2） 　（3）
解析：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。
（1）由匀加速直线运动的规律得－＝2al，
即a＝。
（2）对于前一半位移，有v2－＝2a·
对于后一半位移，有－v2＝2a·
所以有v2－＝－v2，故v＝。
（3）火车的平均速度＝
故所用时间t＝＝。
9.B　设质点经过ab、bc和cd三段所用时间分别为3t、2t和t，全程共用时6t，设各段时间t内的位移分别为s1、s2、s3、s4、s5和s6，由题意可得x1＝s1＋s2＋s3，x2＝s6，设bc段的位移为x，则x＝s4＋s5，根据公式Δx＝aT2，得（x＋x2）－x1＝（s4＋s5＋s6）－（s1＋s2＋s3）＝9at2，同时，由s2－s1＝s3－s2，可得s1＋s3＝2s2，可得x1＝s1＋s2＋s3＝3s2，而s6－s2＝4at2，即x2－＝4at2，联立可得x＝，故B正确。
10.BCD　冰壶运动过程为匀减速直线运动，且减速到零，运用逆向思维，可以将其看成反向的匀加速直线运动，设加速度为a，有xCD＝a，xCD＋xBC＝a（tCD＋tBC）2，xCD＋xBC＋xAB＝a（tCD＋tBC＋tAB）2，综上所述，整理有tAB∶tBC∶tCD＝（－）∶（－1）∶1，故A项错误；运用逆向思维，对CD段、BD段、AD段分别有－0＝2axCD，－0＝2a（xCD＋xBC），－0＝2a（xCD＋xBC＋xAB），整理有vA∶vB∶vC＝∶∶1，故B项正确；因为冰壶在AD段的运动属于匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的推论有＝＝v0，故C项正确；设AD段中点位置的速度为v，则其前半段运动和后半段运动有v2－＝－2a×，0－v2＝－2a×，整理有v＝v0，故D项正确。
11.（1）5 m/s　（2）12 m
解析：（1）设A、B、C三点速度分别为vA、vB、vC
对于AB段，有＝v1，对于BC段，有＝v2
对于AC全程，B为中间位置，有vB＝
联立以上三式解得vB＝5 m/s，vA＝1 m/s，vC＝7 m/s。
（2）对于AC全程，有l＝＝12 m。
3 / 3习题课一　匀变速直线运动的常用公式及推论
核心素养目标 物理观念 （1）匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度公式及其应用。 （2）匀变速直线运动中间位置的瞬时速度公式及其应用。 （3）匀变速直线运动逐差相等公式及其应用。
科学思维 初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用。
要点一　平均速度公式的理解及应用
【探究】
　斑马奔跑的速度快而持久，每小时可达到60～80 km。假设斑马沿直线奔跑。
（1）若斑马需奔跑80 km，则斑马奔跑的时间长短取决于什么因素？
（2）做匀变速直线运动物体的平均速度与初、末速度有什么关系？
【归纳】
1.平均速度公式：＝＝。
做匀变速直线运动的物体在任意一段时间t内的平均速度等于这段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的一半。
2.公式推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为vt
由x＝v0t＋at2得，
平均速度＝＝v0＋at ①
由vt＝v0＋at知，
当t'＝时，有＝v0＋a· ②
由①②得＝
又vt＝＋a· ③
由②③得＝
综上所述，有＝＝。
特别提醒
公式＝＝，只适用于匀变速直线运动，而＝适用于所有运动。
【典例1】　一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。求：
（1）滑雪运动员通过这段斜坡需要的时间；
（2）滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度大小。
尝试解答
规律方法
巧选运动学公式
运动学公式中常涉及v0、vt、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果。
题目的条件 优先选用的公式
无位移x，也不需求位移 速度公式：vt＝v0＋at
无末速度v，也不需求末速度 位移公式：x＝v0t＋at2
无运动时间t，也不需要求运动时间 速度与位移公式：－＝2ax
没有加速度a，也不涉及加速度 平均速度公式法：x＝t
　　
1.假设赛车启动时从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v所需时间为t，则此过程赛车的运动距离为（　　）
A.vt B.
C.2vt D.不能确定
2.某物体做直线运动，其v-t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平均速度（　　）
A.等于
B.大于
C.小于
D.条件不足，无法比较
要点二　中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1.中点位置的瞬时速度公式：＝。
在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位移的初、末速度的“方、均、根”值。
2.公式推导：如图所示，前一段位移－＝2a·，后一段位移－＝2a·，两式相减得，2－－＝0，所以有＝（＋），即有＝ 。　
特别提醒
（1）公式＝ ，只适用于匀变速直线运动。
（2）对于任意一段匀变速直线运动，皆有＞（无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度总大于中间时刻的瞬时速度）。
【典例2】　（多选）一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有（　　）
A.物体经过AB位移中点的速度大小为
B.物体经过AB位移中点的速度大小为　
C.若为匀减速直线运动，则v3＜
D.在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
思路点拨
（1）看到“AB位移中点速度为v3”想到“位移中点速度公式”。
（2）看到“AB时间中点速度为v4”想到“中间时刻速度公式”。
（3）看到“全程平均速度为v5”想到“平均速度公式”。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过x位移时的速度是v，那么经过位移为2x时的速度是（　　）
A.v B.v
C.2v D.4v
2.光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是（　　）
A.物体运动全过程中的平均速度是
B.物体在时的瞬时速度是
C.物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D.物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是t
要点三　逐差公式的理解及应用
【探究】
　小车带动纸带做匀加速直线运动，通过打点计时器打下的纸带如图所示，第2个0.02 s小车运动的位移比第1个0.02 s小车运动的位移多多少？第3个0.02 s小车运动的位移比第2个0.02 s小车运动的位移多多少？以此类推，同学们发现有什么规律？
【归纳】
1.逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差都相等。
2.公式推导：如图所示
x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2，…
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
特别提醒
（1）公式中“T”具有任意性。
（2）对于不相邻的任意两段位移：xm－xn＝（m－n）aT2。
（3）推论只适用于匀变速直线运动。
3.应用
（1）判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。
（2）求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
【典例3】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。
思路点拨
（1）画出该物体的运动过程如图所示。
（2）B是由A到C的中间时刻。
尝试解答
1.猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情景，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则（　　）
A.猎豹的加速度为7 m/s2
B.猎豹的加速度为10 m/s2
C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
2.一质点在连续的6 s内做匀加速直线运动，在第1个2 s内位移为12 m，最后1个2 s内位移为36 m，下列说法正确的是（　　）
A.质点的加速度大小是3 m/s2
B.质点在第2个2 s内的平均速度大小是18 m/s
C.质点在第2 s末的速度大小是12 m/s
D.质点在第1 s内的位移大小是6 m
要点四　初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用
　　初速度为零的匀加速直线运动的推论
按时间等分（设相等的时间间隔为T） 1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推得： v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
前1T内、前2T内、前3T内……前nT内位移之比，由x＝at2可推得： x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…可推得： xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）
按位移等分（设相等的位移为x） 通过x0、2x0、3x0……nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得： t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过第一个x0、第二个x0、第三个x0……第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2……可推得： tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）
特别提醒
（1）以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，应用以上比例式可以快速解题——逆向思维法。
【典例4】　（多选）如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通过B、C、D三点，最后到达底端E点。下列说法正确的是（　　）
A.物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B.通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶∶∶2
C.物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝1∶∶∶2
D.下滑全程的平均速度＝vB
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　
1.某物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内位移大小为d，则第n s内位移大小为（　　）
A.nd B.2nd
C.（2n＋1）d D.（2n－1）d
2.（多选）如图所示的是港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则（　　）
A.通过cd段的时间为t
B.通过ce段的时间为t
C.ae段的平均速度等于b点的瞬时速度
D.ac段的平均速度等于b点的瞬时速度
1.上海磁浮线是世界第一条投入商业运行的高速磁浮铁路，磁浮线只有龙阳路站和浦东国际机场站这两站，线路全长30公里，运行过程中最大的速度约为300 km/h，单线运行时间仅为7分20秒。假设磁悬浮列车的加速过程和减速过程的加速度大小相同，根据以上信息，估算列车加速的时间是（　　）
A.40 s　　B.60 s C.80 s　　D.100 s
2.做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过某位置时的速度为1 m/s，车尾经过该位置时的速度为7 m/s，则车身的中部经过该位置时的速度为（　　）
A.3.5 m/s B.4.0 m/s
C.5 m/s D.5.5 m/s
3.滑雪场游玩中，小明从雪坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑，途中依次经过A、B、C三个标志点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，通过AB和BC两段所用时间均为2 s，则他通过A、B、C三个标志点的瞬时速度大小分别为（　　）
A.2 m/s，3 m/s，4 m/s
B.2 m/s，4 m/s，6 m/s
C.3 m/s，4 m/s，5 m/s
D.3 m/s，5 m/s，7 m/s
4.如图甲所示，中国女子冰壶队运动员在比赛中推出冰壶。如图乙所示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零。求：
（1）冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比；
（2）冰壶穿过每个矩形区域所用的时间之比。（冰壶可看成质点）
习题课一　匀变速直线运动的常用公式及推论
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】　提示：（1）平均速度。　（2）＝。
【典例1】　（1）25 s　（2）3.4 m/s
解析：（1）方法一：基本公式法
由vt＝v0＋at和x＝v0t＋at2
可得a＝0.128 m/s2
t＝25 s。
方法二：平均速度公式法
由x＝t
可得t＝25 s。
（2）方法一：速度公式法
中间时刻t'＝ s
＝v0＋at'＝3.4 m/s。
方法二：平均速度公式法
＝＝3.4 m/s。
素养训练
1.B　赛车加速运动距离为x＝·t＝·t＝，故B正确。
2.B　若物体在0～t1时间内做匀加速直线运动，作出其v-t图像如图所示，由v-t图像与时间轴围成的“面积”表示位移可知，物体实际运动的位移大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做匀加速直线运动的平均速度，即＞＝，故选项B正确。
要点二
知识精研
【典例2】　BD　由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中点的速度为v3＝，时间中点的速度为v4＝，故A错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加速直线运动还是匀减速直线运动，都有v3＞v4＝v5，故C错误，D正确。
素养训练
1.B　由中心位置的瞬时速度推论公式得v＝，解得v'＝v，故B正确。
2.B　物体运动全程的平均速度＝，A项正确；时，物体的瞬时速度等于全程的平均速度，B项错误；若末速度为v，则＝，v＝，物体运动到斜面中点的速度＝＝＝，C项正确；设物体加速度为a，到达斜面中点用时为t'，则L＝at2，＝at'2，所以t'＝t，D项正确。
要点三
知识精研
【探究】　提示：第2个0.02 s小车运动的位移比第1个0.02 s小车运动的位移多17 mm；第3个0.02 s小车运动的位移比第2个0.02 s小车运动的位移多17 mm；连续相等时间内的位移差相等。
【典例3】　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
解析：方法一：基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a（2T）2－，vC＝vA＋a·2T，将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为＝＝ m/s＝6 m/s，＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD＝，vE＝。由于B是A、C的中间时刻，则＝，＝，vB＝，又vB＝，联立以上各式，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2。
方法三：逐差相等公式法
由Δx＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又x1＝vAT＋aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
素养训练
1.D　由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速度a＝5 m/s2，故A、B错误；猎豹的最大速度v＝108 km/h＝30 m/s，由v＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。
2.A　设第一个2 s内的位移为x1，第三个2 s内，即最后1个2 s内的位移为x3，根据x3－x1＝2aT2得a＝＝＝3 m/s2，A正确；根据Δx＝aT2得x2－x1＝x3－x2，解得x2＝＝m＝24 m，则第2个2 s内的平均速度大小为＝ ＝12 m/s，B错误；根据中间时刻的瞬时速度公式得质点第2 s末的速度大小为v2＝＝＝9 m/s，C错误；把质点在第1个2 s内的运动反向看为匀减速运动，则x＝x1－＝4.5 m，D错误。
要点四
知识精研
【典例4】　ACD　物体做初速度为零的匀加速直线运动，由v2＝2ax得v∝，A正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶（－1）∶（－）∶（2－），B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确。
素养训练
1.D　物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等时间内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n－1），可得＝，又x1＝d，解得xn＝（2n－1）d，选项D正确。
2.BC　根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1∶（－1）∶（－）∶（2－），可得出通过cd段的时间为（－）t，故A错误；通过de段的时间为（2－）t，则通过ce段的时间为（2－）t，故B正确；通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae段的时间的中间时刻，所以通过b点的瞬时速度等于ae段的平均速度，故C正确，D错误。
【教学效果·勤检测】
1.C　列车的最大速度v＝300 km/h＝ m/s，磁悬浮列车的加速过程和减速过程的加速度大小相同，可知加速时间和减速时间相同，设为t1，则2×t1＋v（t－2t1）＝x，解得t1＝80 s，故选C。
2.C　由于运动是相对的，所以若以列车为参考系，则该位置相对于列车做匀加速直线运动，该位置通过车身中部的速度v＝＝5 m/s（通过变换参考系，转化为求中点位置的速度），选项C正确。
3.B　根据匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，故B点的瞬时速度就是AC段的平均速度，vB＝＝4 m/s；又因为两个连续相等时间间隔内的位移之差等于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2，解得a＝1 m/s2；再由速度公式vt＝v0＋at，解得vA＝2 m/s，vC＝6 m/s，故选项B正确。
4.（1）∶1　（2）（－1）∶1
解析：（1）把冰壶的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，冰壶通过两矩形区域位移相等，由推论可知从右向左穿过矩形的速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1。
（2）把冰壶看成从右向左做初速度为零的匀加速直线运动，由推论知通过每个矩形区域的时间之比为1∶（－1），则冰壶实际穿过每个矩形区域所用的时间之比为t1∶t2＝（－1）∶1。
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习题课一　
匀变速直线运动的常用公式及推论
核心
素养
目标 物理
观念 （1）匀变速直线运动中间时刻的瞬时速度公式及其应
用。
（2）匀变速直线运动中间位置的瞬时速度公式及其应
用。
（3）匀变速直线运动逐差相等公式及其应用。
科学
思维 初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　平均速度公式的理解及应用
【探究】
　斑马奔跑的速度快而持久，每小时可达到60～80 km。假设斑马沿
直线奔跑。
（1）若斑马需奔跑80 km，则斑马奔跑的时间长短取决于什么因素？
提示：平均速度。　
（2）做匀变速直线运动物体的平均速度与初、末速度有什么关系？
提示：＝。
【归纳】
1. 平均速度公式：＝＝。
做匀变速直线运动的物体在任意一段时间t内的平均速度等于这段
时间的中间时刻的瞬时速度，还等于这段时间初、末速度矢量和的
一半。
2. 公式推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t
时刻的速度为vt
由x＝v0t＋at2得，平均速度＝＝v0＋at ①
由vt＝v0＋at知，当t'＝时，有＝v0＋a· ②
由①②得＝
又vt＝＋a· ③
由②③得＝
综上所述，有＝＝。
特别提醒
　　公式＝＝，只适用于匀变速直线运动，而＝适用于所
有运动。
【典例1】　一滑雪运动员从85 m长的山坡上匀加速滑下，初速度是
1.8 m/s，末速度是5.0 m/s。求：
（1）滑雪运动员通过这段斜坡需要的时间；
答案： 25 s　
解析：方法一：基本公式法
由vt＝v0＋at和x＝v0t＋at2
可得a＝0.128 m/s2
t＝25 s。
方法二：平均速度公式法
由x＝t
可得t＝25 s。
（2）滑雪运动员通过斜坡中间时刻的瞬时速度大小。
答案： 3.4 m/s
解析：方法一：速度公式法
中间时刻t'＝ s
＝v0＋at'＝3.4 m/s。
方法二：平均速度公式法
＝＝3.4 m/s。
规律方法
巧选运动学公式
运动学公式中常涉及v0、vt、a、t、x五个物理量，根据已知量和待求
量，恰当选择公式可达到事半功倍的效果。
题目的条件 优先选用的公式
无位移x，也不需求位移 速度公式：vt＝v0＋at
无末速度v，也不需求末速度 位移公式：x＝v0t＋at2
无运动时间t，也不需要求运动时
间 速度与位移公式：－＝2ax
没有加速度a，也不涉及加速度 平均速度公式法：x＝t
1. 假设赛车启动时从静止开始做匀加速直线运动，达到速度v所需时
间为t，则此过程赛车的运动距离为（　　）
A. vt B.
C. 2vt D. 不能确定
解析：　赛车加速运动距离为x＝·t＝·t＝，故B正确。
2. 某物体做直线运动，其v-t图像如图所示，则0～t1时间内物体的平
均速度（　　）
A. 等于
B. 大于
C. 小于
D. 条件不足，无法比较
解析：　若物体在0～t1时间内做匀加速直线运
动，作出其v-t图像如图所示，由v-t图像与时间轴围
成的“面积”表示位移可知，物体实际运动的位移
大小大于物体做匀加速直线运动的位移大小，运动
时间相同，则物体实际运动的平均速度大于物体做
匀加速直线运动的平均速度，即＞＝，故
选项B正确。
要点二　中点位置的瞬时速度公式的理解及应用
1. 中点位置的瞬时速度公式：＝。
在匀变速直线运动中，某段位移的中点位置的瞬时速度等于这段位
移的初、末速度的“方、均、根”值。
2. 公式推导：
如图所示，前一段位移－＝2a·，后一段位移－＝
2a·，两式相减得，2－－＝0，所以有＝（＋
），即有＝ 。
特别提醒
（1）公式＝ ，只适用于匀变速直线运动。
（2）对于任意一段匀变速直线运动，皆有＞（无论是匀加速直
线运动还是匀减速直线运动，中点位置的瞬时速度总大于中间
时刻的瞬时速度）。
【典例2】　（多选）一个做匀变速直线运动的物体先后经过A、B两
点的速度分别为v1和v2，AB位移中点速度为v3，AB时间中点速度为
v4，全程平均速度为v5，则下列结论正确的有（　　）
A. 物体经过AB位移中点的速度大小为
B. 物体经过AB位移中点的速度大小为
C. 若为匀减速直线运动，则v3＜
D. 在匀变速直线运动中一定有v3＞v4＝v5
思路点拨
（1）看到“AB位移中点速度为v3”想到“位移中点速度公式”。
（2）看到“AB时间中点速度为v4”想到“中间时刻速度公式”。
（3）看到“全程平均速度为v5”想到“平均速度公式”。
解析：由题意可知，在匀变速直线运动中，物体经过AB位移中
点的速度为v3＝，时间中点的速度为v4＝，故A
错误，B正确；全程的平均速度为v5＝，不论物体做匀加
速直线运动还是匀减速直线运动，都有v3＞v4＝v5，故C错误，D
正确。
1. 由静止开始做匀加速直线运动的物体，已知经过x位移时的速度是
v，那么经过位移为2x时的速度是（　　）
A. v B. v
C. 2v D. 4v
解析：　由中心位置的瞬时速度推论公式得v＝，解得v'
＝v，故B正确。
2. 光滑斜面的长度为L，一物体自斜面顶端由静止开始匀加速滑至底
端，经历的时间为t，则下列说法不正确的是（　　）
A. 物体运动全过程中的平均速度是
B. 物体在时的瞬时速度是
C. 物体运动到斜面中点时瞬时速度是
D. 物体从顶点运动到斜面中点所需的时间是t
解析：　物体运动全程的平均速度＝，A项正确；时，物体的
瞬时速度等于全程的平均速度，B项错误；若末速度为v，则＝
，v＝，物体运动到斜面中点的速度＝＝＝
，C项正确；设物体加速度为a，到达斜面中点用时为t'，则L＝
at2，＝at'2，所以t'＝t，D项正确。
要点三　逐差公式的理解及应用
【探究】
　小车带动纸带做匀加速直线运动，通过打点计时器打下的纸带如图
所示，第2个0.02 s小车运动的位移比第1个0.02 s小车运动的位移多多
少？第3个0.02 s小车运动的位移比第2个0.02 s小车运动的位移多多
少？以此类推，同学们发现有什么规律？
提示：第2个0.02 s小车运动的位移比第1个0.02 s小车运动的位移多17
mm；第3个0.02 s小车运动的位移比第2个0.02 s小车运动的位移多17
mm；连续相等时间内的位移差相等。
【归纳】
1. 逐差相等公式：Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
做匀变速直线运动的物体，如果在各个连续相等的时间T内的位移
分别为xⅠ、xⅡ、xⅢ、…、xN，则匀变速直线运动中任意两个连续相
等的时间间隔内的位移差都相等。
2. 公式推导：如图所示
x1＝v0T＋aT2，x2＝v0·2T＋a·T2，
x3＝v0·3T＋a·T2，…
所以xⅠ＝x1＝v0T＋aT2，
xⅡ＝x2－x1＝v0T＋aT2，
xⅢ＝x3－x2＝v0T＋aT2，…
故xⅡ－xⅠ＝aT2，xⅢ－xⅡ＝aT2，…
所以Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝aT2。
特别提醒
（1）公式中“T”具有任意性。
（2）对于不相邻的任意两段位移：xm－xn＝（m－n）aT2。
（3）推论只适用于匀变速直线运动。
3. 应用
（1）判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx＝xⅡ－xⅠ＝xⅢ－xⅡ＝…＝xN－xN－1＝aT2成立，则a为一
恒量，说明物体做匀变速直线运动。
（2）求加速度：利用Δx＝aT2，可求得a＝。
【典例3】　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔
内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初
速度vA、末速度vC及加速度a。
思路点拨
（1）画出该物体的运动过程如图所示。
（2）B是由A到C的中间时刻。
答案：1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2
解析：方法一：基本公式法
由位移公式得x1＝vAT＋aT2，x2＝vA·2T＋a（2T）2－
，vC＝vA＋a·2T，将x1＝24 m，x2＝64 m，T＝4 s代入以上
各式，联立解得a＝2.5 m/s2，vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
方法二：平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为＝＝ m/s＝6 m/s，
＝＝ m/s＝16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时
刻为E，则vD＝，vE＝。由于B是A、C的中间时刻，则＝
，＝，vB＝，又vB＝，联立以上各
式，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s，其加速度a＝＝ m/s2
＝2.5 m/s2。
方法三：逐差相等公式法
由Δx＝aT2，可得a＝＝ m/s2＝2.5 m/s2，又x1＝vAT＋
aT2，vC＝vA＋a·2T，解得vA＝1 m/s，vC＝21 m/s。
1. 猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内
达到108 km/h的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的
情景，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹
第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则（　　）
A. 猎豹的加速度为7 m/s2
B. 猎豹的加速度为10 m/s2
C. 猎豹加速到最大速度所用时间为3 s
D. 猎豹加速到最大速度所用时间为6 s
解析：　由逐差相等公式xⅡ－xⅠ＝aT2，代入数据解得猎豹的加速
度a＝5 m/s2，故A、B错误；猎豹的最大速度v＝108 km/h＝30
m/s，由v＝at，解得t＝6 s，故C错误，D正确。
2. 一质点在连续的6 s内做匀加速直线运动，在第1个2 s内位移为12
m，最后1个2 s内位移为36 m，下列说法正确的是（　　）
A. 质点的加速度大小是3 m/s2
B. 质点在第2个2 s内的平均速度大小是18 m/s
C. 质点在第2 s末的速度大小是12 m/s
D. 质点在第1 s内的位移大小是6 m
解析：　设第一个2 s内的位移为x1，第三个2 s内，即最后1个2 s
内的位移为x3，根据x3－x1＝2aT2得a＝＝＝3 m/s2，
A正确；根据Δx＝aT2得x2－x1＝x3－x2，解得x2＝＝m＝
24 m，则第2个2 s内的平均速度大小为＝ ＝12 m/s，B错误；根
据中间时刻的瞬时速度公式得质点第2 s末的速度大小为v2＝
＝＝9 m/s，C错误；把质点在第1个2 s内的运动反向看为匀
减速运动，则x＝x1－＝4.5 m，D错误。
要点四　初速度为零的匀加速直线运动的推论及应用
初速度为零的匀加速直线运动的推论
按时
间等
分（
设相
等的
时间
间隔
为T） 1T末、2T末、3T末、……、nT末瞬时速度之比，由v＝at可推
得：v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
前1T内、前2T内、前3T内……前nT内位移之比，由x＝at2可推得：x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内、第二个T内、第三个T内……第n个T内的位移之比，由xⅠ＝x1，xⅡ＝x2－x1，xⅢ＝x3－x2，…可推得：
xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶（2n－1）
按位移
等分（
设相等
的位移
为x0） 通过x0、2x0、3x0……nx0所用时间之比，由x＝at2得t＝，可推得：t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶∶∶…∶
通过第一个x0、第二个x0、第三个x0……第n个x0所用时间之比，由tⅠ＝t1，tⅡ＝t2－t1，tⅢ＝t3－t2……可推得：
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…∶tn＝1∶（－1）∶（－）∶…∶（－）
特别提醒
（1）以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
（2）对于末速度为零的匀减速直线运动，可把它看成逆向的初速度
为零的匀加速直线运动，应用以上比例式可以快速解题——逆
向思维法。
【典例4】　（多选）如图所示，光滑斜面AE被分为四个相等的部
分，一物体从A点由静止释放，它沿斜面向下做匀加速运动，依次通
过B、C、D三点，最后到达底端E点。下列说法正确的是（　　）
A. 物体通过各点的瞬时速度之比为vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2
B. 通过各段所用的时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶∶∶2
C. 物体由A点到各点所经历的时间之比为tB∶tC∶tD∶tE＝
1∶∶∶2
D. 下滑全程的平均速度＝vB
解析：物体做初速度为零的匀加速直线运动，由v2＝2ax得v∝，A
正确；通过各段所用时间之比为tAB∶tBC∶tCD∶tDE＝1∶（－1）∶
（－）∶（2－），B错误；由v＝at知tB∶tC∶tD∶tE＝
vB∶vC∶vD∶vE＝1∶∶∶2，C正确；因tB∶tE＝1∶2，即tAB＝
tBE，vB为AE段的中间时刻的速度，故＝vB，D正确。
1. 某物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内位移大小为d，则第n
s内位移大小为（　　）
A. nd B. 2nd
C. （2n＋1）d D. （2n－1）d
解析：　物体做初速度为零的匀加速直线运动，根据连续相等时
间内通过的位移之比为1∶3∶5∶…∶（2n－1），可得＝，
又x1＝d，解得xn＝（2n－1）d，选项D正确。
2. （多选）如图所示的是港珠澳大桥上四段110 m的等跨钢箱连续梁
桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间
为t，则（　　）
A. 通过cd段的时间为t
B. 通过ce段的时间为t
C. ae段的平均速度等于b点的瞬时速度
D. ac段的平均速度等于b点的瞬时速度
解析： 　根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通
过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1∶（－1）∶（－
）∶（2－），可得出通过cd段的时间为（－）t，故A
错误；通过de段的时间为（2－）t，则通过ce段的时间为（2－
）t，故B正确；通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae
段的时间的中间时刻，所以通过b点的瞬时速度等于ae段的平均速
度，故C正确，D错误。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. 上海磁浮线是世界第一条投入商业运行的高速磁浮铁路，磁浮线只
有龙阳路站和浦东国际机场站这两站，线路全长30公里，运行过程
中最大的速度约为300 km/h，单线运行时间仅为7分20秒。假设磁
悬浮列车的加速过程和减速过程的加速度大小相同，根据以上信
息，估算列车加速的时间是（　　）
A. 40 s B. 60 s
C. 80 s D. 100 s
解析：　列车的最大速度v＝300 km/h＝ m/s，磁悬浮列车的加
速过程和减速过程的加速度大小相同，可知加速时间和减速时间相
同，设为t1，则2×t1＋v（t－2t1）＝x，解得t1＝80 s，故选C。
2. 做匀加速直线运动的列车出站时，车头经过某位置时的速度为1
m/s，车尾经过该位置时的速度为7 m/s，则车身的中部经过该位置
时的速度为（　　）
A. 3.5 m/s B. 4.0 m/s
C. 5 m/s D. 5.5 m/s
解析：　由于运动是相对的，所以若以列车为参考系，则该位置
相对于列车做匀加速直线运动，该位置通过车身中部的速度v＝
＝5 m/s（通过变换参考系，转化为求中点位置的速
度），选项C正确。
3. 滑雪场游玩中，小明从雪坡的顶端由静止开始匀加速直线下滑，途
中依次经过A、B、C三个标志点，已知AB＝6 m，BC＝10 m，通过
AB和BC两段所用时间均为2 s，则他通过A、B、C三个标志点的瞬
时速度大小分别为（　　）
A. 2 m/s，3 m/s，4 m/s B. 2 m/s，4 m/s，6 m/s
C. 3 m/s，4 m/s，5 m/s D. 3 m/s，5 m/s，7 m/s
解析：　根据匀加速直线运动的特点，两点之间的平均速度等于
中间时刻的瞬时速度，故B点的瞬时速度就是AC段的平均速度，vB
＝＝4 m/s；又因为两个连续相等时间间隔内的位移之差等
于恒量，即Δx＝at2，则由Δx＝BC－AB＝at2，解得a＝1 m/s2；再由
速度公式vt＝v0＋at，解得vA＝2 m/s，vC＝6 m/s，故选项B正确。
4. 如图甲所示，中国女子冰壶队运动员在比赛中推出冰壶。如图乙所
示，一冰壶以速度v垂直进入两个相同的矩形区域做匀减速直线运
动，且刚要离开第二个矩形区域时速度恰好为零。求：
（1）冰壶依次进入每个矩形区域时的速度之比；
答案： ∶1　
解析：把冰壶的运动看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动，冰壶通过两矩形区域位移相等，由推论可知从右向左穿过矩形的速度之比为1∶，则冰壶实际运动依次进入每个矩形区域的速度之比为v1∶v2＝∶1。
（2）冰壶穿过每个矩形区域所用的时间之比。（冰壶可看成质
点）
答案：（－1）∶1
解析：把冰壶看成从右向左做初速度为零的匀加速直线运
动，由推论知通过每个矩形区域的时间之比为1∶（－
1），则冰壶实际穿过每个矩形区域所用的时间之比为t1∶t2
＝（－1）∶1。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. （多选）对于初速度为零的匀加速直线运动，以下说法正确的是
（　　）
A. 物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比为1∶3∶5
B. 物体在1 s、3 s、5 s内的位移之比为1∶3∶5
C. 物体经过1 m、3 m、5 m时的速度之比为∶∶
D. 物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为∶∶
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 　由v＝at得v∝t，故物体在1 s、3 s、5 s时的速度之比
为1∶3∶5，A正确；由x＝at2得x∝t2，故物体在1 s、3 s、5 s内的
位移之比为12∶32∶52，B错误；由v2＝2ax得v∝，故物体经过1
m、3 m、5 m时的速度之比为∶∶，C正确；由x＝at2得
t∝，物体经过1 m、3 m、5 m所用时间之比为∶∶，D
正确。
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
2. 一旅客在站台10号车厢候车线处候车，若动车每节车厢长均为25
m，动车进站时可以看作匀减速直线运动。他发现第1号～5号五节
车厢依次全部通过他用了10 s，动车停下时旅客刚好在10号车厢门
口（9号车厢最末端），则该动车的加速度大小为（　　）
A. 2.0 m/s2 B. 1.0 m/s2
C. 0.5 m/s2 D. 0.2 m/s2
1
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10
11
解析： 　设6号～9号车厢依次全部通过他的时间为t1，采用逆向
思维，看成动车做初速度为零的匀加速直线运动，利用匀变速直线
运动的推论，则有＝，解得t1＝20 s，由位移公式得4L＝
a，代入数据解得a＝0.5 m/s2，故选C。
1
2
3
4
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9
10
11
3. 如图所示，水平地面上有A、B、C三点，且AB＝3BC，有一物块由
A点以初速度为v0沿水平地面向右做匀减速运动，恰好运动到C点停
止，已知物块由A点运动到C点经历的总时间为t，则（　　）
A. 物块从B到C的时间为
B. 物块从B到C的时间为
C. 物块在B点时的速度为
D. 物块在B点时的速度为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
解析： 　末速度为0的匀减速直线运动可以逆向看成初速度为
0的匀加速直线运动，再利用匀变速直线运动规律的推论，对于
初速度为0的匀加速直线运动，相同时间内第一个时间段内和第
二个时间段内的位移之比为1∶3，由此可知B点为整个过程的中
间时刻，所以从B到C所用时间为，在B点时的速度为，A正
确，B、C、D错误。
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4. （多选）高铁进站的过程近似为高铁做匀减速运动，高铁车头依次
经过A、B、C三个位置，已知AB＝BC，测得AB段的平均速度为30
m/s，BC段平均速度为20 m/s。根据这些信息可求得（　　）
A. 高铁车头经过A、B、C的速度
B. 高铁车头在AB段和BC段运动的时间
C. 高铁运动的加速度
D. 高铁车头经过AB段和BC段的时间之比
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解析： 　设高铁车头在经过A、B、C三点时的速度分别为
vA、vB、vC，根据AB段的平均速度为30 m/s，可得＝30
m/s；根据在BC段的平均速度为20 m/s，可得＝20 m/s；
设AB＝BC＝x，整个过程中的平均速度为＝＝
＝24 m/s，所以有＝24 m/s，联立解得vA＝34
m/s，vB＝26 m/s，vC＝14 m/s，由于不知道AB和BC的具体值，
则不能求出运动时间及其加速度的大小，A正确，B、C错误。
tAB∶tBC＝∶＝2∶3，D正确。
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5. 一物体做初速度不为零的匀加速直线运动，在时间T内通过位移x1
到达A点，接着在时间T内又通过位移x2到达B点，则以下说法错误
的是（　　）
A. 物体在A点的速度大小为
B. 物体运动的加速度大小为
C. 物体运动的加速度大小为
D. 物体在B点的速度大小为
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解析： 　根据匀变速直线运动中某段时间内的平均速度等于中间
时刻的瞬时速度，可得vA＝，故A说法正确。只有物体初速
度为零时才满足aT2＝x1，即a＝，本题中物体运动的初速度不
为零，根据x2－x1＝aT2得，物体运动的加速度a＝，故C说法
正确，B说法错误。在该加速运动过程中vB＝vA＋aT，可得B点的速
度大小vB＝，故D说法正确。本题选说法错误的，故选B。
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6. 我国ETC（电子不停车收费系统）已实现全国联网，大大缩短了车
辆通过收费站的时间。一辆汽车以20 m/s的速度驶向高速收费口，
到达自动收费装置前开始做匀减速直线运动，经4 s的时间速度减为
5 m/s且恰好收费完成。随后司机立即加速，加速时汽车的加速度
大小为2.5 m/s2，假设汽车可视为质点。则下列说法正确的是
（　　）
A. 汽车开始减速时距离自动收费装置110 m
B. 汽车加速4 s后速度恢复到20 m/s
C. 汽车从开始减速到速度恢复到20 m/s通过的总路程为125 m
D. 汽车由于通过自动收费装置耽误的时间为4 s
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解析： 　汽车开始减速时与自动收费装置的距离x1＝t1＝
×4 m＝50 m，A错误；汽车的速度恢复到20 m/s所需的时间t2
＝＝ s＝6 s，B错误；汽车匀加速运动阶段的位移x2＝
t2＝×6 m＝75 m，则总路程x＝x1＋x2＝125 m，C正确；
汽车匀速通过125 m所需的时间t＝＝ s＝6.25 s，则通过自动收
费装置耽误的时间Δt＝t1＋t2－t＝3.75 s，D错误。
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7. （多选）子弹垂直射入八个叠在一起的相同木板，穿过第八个木板
后的速度变为0。可以把子弹视为质点，子弹在木板中沿水平方向
做匀变速直线运动。则可以判定（　　）
A. 子弹在每个木板中速度变化相同
B. 由题干信息可以确定子弹穿过每个木板后的速度之比
C. 子弹穿出第六个木板的瞬时速度与全程的平均速度相等
D. 子弹在每个木板中运动的时间相同
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解析： 　子弹做匀减速运动穿过第8个木板后速度变为0，运用
逆向思维法，看成子弹反向做初速度为零的匀加速直线运动，设每
个木板的厚度为d，则由初速度为零的匀变速运动通过相等位移的
运动规律可知，穿过第8个、第7个……第1个木板的时间之比为1∶
（－1）∶（－）∶…∶（－），则穿过每个木板的
时间不等，根据Δv＝at可知，子弹在每个木板中速度变化不相同，
选项A、D错误；根据子弹穿过每个木板的时间之比，结合v＝at可
求出子弹穿过每个木板后的速度之比，选项B正确；子弹穿过第6个木板的瞬时速度为v6＝＝2，全程的平均速度＝＝＝2，选项C正确。
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8. 一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这
列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此
路标时的速度为v2，求：
（1）火车的加速度大小a；
答案： 　
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解析：火车的运动情况可以等效成一个质
点做匀加速直线运动，某一时刻速度为
v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经
过处的速度，其运动简图如图所示。
由匀加速直线运动的规律得－＝2al，
即a＝。
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（2）火车中点经过此路标时的速度大小v；
答案： 　
解析：对于前一半位移，有v2－＝2a·
对于后一半位移，有－v2＝2a·
所以有v2－＝－v2，故v＝。
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（3）整列火车通过此路标所用的时间t。
答案：
解析：火车的平均速度＝
故所用时间t＝＝。
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9. 如图所示，一个质点做匀加速直线运动，依次经过a、b、c、d四
点，已知经过ab、bc和cd三段所用时间之比为3∶2∶1，通过ab和
cd段的位移分别为x1和x2，则bc段的位移为（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　设质点经过ab、bc和cd三段所用时间分别为3t、2t和t，
全程共用时6t，设各段时间t内的位移分别为s1、s2、s3、s4、s5和
s6，由题意可得x1＝s1＋s2＋s3，x2＝s6，设bc段的位移为x，则x＝s4
＋s5，根据公式Δx＝aT2，得（x＋x2）－x1＝（s4＋s5＋s6）－（s1＋
s2＋s3）＝9at2，同时，由s2－s1＝s3－s2，可得s1＋s3＝2s2，可得x1
＝s1＋s2＋s3＝3s2，而s6－s2＝4at2，即x2－＝4at2，联立可得x＝
，故B正确。
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10. （多选）2022年2月中国成功举办第24届冬奥会，北京成为世界上
首个“双奥之城”。冬奥会上的冰壶项目是极具观赏性的一项比
赛，将冰壶运动简化成如下模型：冰壶从A点以初速度v0掷出，沿
直线AD做匀减速直线运动，恰好停在营垒中心点D处，AB＝BC＝
CD，下列说法中正确的是（　　）
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A. 冰壶在AB、BC、CD三段上运动的时间之比tAB∶tBC∶tCD＝
∶∶1
B. 冰壶在A、B、C处的速度大小之比vA∶vB∶vC＝∶∶1
C. 冰壶从A运动到D的平均速度为v0
D. 冰壶运动到AD中点位置的速度为v0
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解析： 　冰壶运动过程为匀减速直线运动，且减速到零，运
用逆向思维，可以将其看成反向的匀加速直线运动，设加速度为
a，有xCD＝a，xCD＋xBC＝a（tCD＋tBC）2，xCD＋xBC＋xAB＝
a（tCD＋tBC＋tAB）2，综上所述，整理有tAB∶tBC∶tCD＝（－
）∶（－1）∶1，故A项错误；运用逆向思维，对CD段、
BD段、AD段分别有－0＝2axCD，－0＝2a（xCD＋xBC），
－0＝2a（xCD＋xBC＋xAB），整理有vA∶vB∶vC＝∶∶1，
故B项正确；
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因为冰壶在AD段的运动属于匀变速直线运动，根据匀变速直线运动的
推论有＝＝v0，故C项正确；设AD段中点位置的速度为v，则其
前半段运动和后半段运动有v2－＝－2a×，0－v2＝－2a×，
整理有v＝v0，故D项正确。
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11. 做匀加速直线运动的物体途中依次经过A、B、C三点，已知AB＝
BC＝（l未知），AB段和BC段的平均速度分别为v1＝3 m/s、v2＝
6 m/s。
（1）物体经B点时的瞬时速度vB为多大？
答案： 5 m/s　
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解析： 设A、B、C三点速度分别为vA、vB、vC
对于AB段，有＝v1，对于BC段，有＝v2
对于AC全程，B为中间位置，有vB＝
联立以上三式解得vB＝5 m/s，vA＝1 m/s，vC＝7 m/s。
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（2）若物体的加速度a＝2 m/s2，试求AC段的距离l。
答案： 12 m
解析：对于AC全程，有l＝＝12 m。
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