资源简介

基本不等式的应用 教学设计
【教学目标】
1.通过应用基本不等式解决实际问题，让学生进一步掌握基本不等式，会应用此不等式求某些函数的最值．
2.通过对实际问题的探究，培养学生分析问题、解决问题及归纳的能力．
3.通过解决实际问题，激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度．
【教学重点】利用基本不等式求实际问题的最值．
【教学难点】拆项、凑项构造基本不等式的形式以及基本不等式等号成立的条件．
【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习．
【教学手段】计算机，PPT．
【核心素养】数学抽象，逻辑推理，数学运算．
【教学过程】
一、创设情境，引入课题
我们已经学习了基本不等式及其变形，接下来，我们将要研究一下如何运用基本不等式来解决一些实际问题．
在日常生活与生产中，我们经常会遇到如何使材料最省、利润最高、成本最低等问题，这些问题通常可借助基本不等式来解决．
首先，我们来复习一下基本不等式的相关知识．
定理 对任意a，b∈R，a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立．
推论 对任意正数，，当且仅当a=b时等号成立．
问题一 （1）把12写成两个正数的乘积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？
问题一 （2）把25写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？
二、思辨论证，归纳总结
思辨 对于第一个小问题我们可以把它转化为：设两个正数为x，y，则x＞0，y＞0，且xy=12.求x+y的最小值。
过程 设两个正数为x，y，则x＞0，y＞0，且xy=12.
思辨 我们不难发现，由于“积定和最小”，所以由基本不等式我们就可以求得的最小值．
过程 ，，当且仅当时等号成立，此时．
所以，把12写成两个的乘积时，它们的和最小，最小和为，解决第一个小问题我们利用了“积定和最小”这个条件．下面我们再来看第二个小问题。同样的我们将这个问题简化为以下这样一个问题．
过程 设两个正数为，则，且，求的最大值．
思辨 我们不难利用基本不等式的“和定积最大”这个条件，我们就可以求得的最大值．
过程：由可得，当且仅当．
所以，把25写成两个的和时，它们的积最大，最大积为。刚才这两个小问题蕴含了基本不等式的一个非常重要的应用模型，那就是“和定积最大”，“积定和最小” ．
归纳：已知都为正数，则
（1）如果积是定值，那么当且仅当时，和有最小值；
（2）如果和是定值，那么当且仅当时，积有最大值．
三、掌握证法，适当延展
下面我们再来看这样一个实际的应用题：
问题二 某单位欲建造一间底面为矩形且面积为12 m2的背面靠墙的小屋，房屋正面的造价为1200元/m2，侧面的造价为800元/m2，屋顶的造价为5200元．如果墙高为3 m，且不计房屋背面和底面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低 最低总造价是多少元？
思辨 拿到一个实际应用的问题，首先我们要仔细阅读题干，提取有用的信息，并且将这些信息数学化．
我们可以假设房屋正面的长为，侧面的长为，房屋的总造价为元.根据题意，有，且总造价的表达式如下．
过程 设房屋正面的长为，侧面的长为，房屋的总造价为元.根据题意，有，且
．
思辨 由于，所以我们可以利用基本不等式和不等式性质，求得这个问题的最小值．
过程 ，，
．
思辨 最后再验证当且仅当时等号成立，此时．
因此，将房屋设计成正面长为4 m，侧面长为3 m时总造价最低，最低总造价是34 000元．
过程 当且仅当时等号成立，此时．
例题 某公司设计了如图2.1-5所示的一块绿化景观地带，两条平行线段的两端用半圆弧相连接．已知这块绿化景观地带的内圈周长为400 m，当平行线段的长设计为多少时，中间矩形区域的面积最大？
解　设平行线段长为x m，半圆的直径为d m，中间矩形区域的面积为S m2.
　 由题意可知　
S＝xd，且2x＋πd＝400，
所以　S=xd=·πd·2x≤=，
　当且仅当πd=2x=200，即d =，x=100时，等号成立.
　因此，当平行线段的长设计为100 m时，中间矩形区域的面积S最大，最大值为m2．
四、归纳小结，提高认识
通过以上两个问题我们发现基本不等式经常运用于求解最值问题，而且在使用基本不等式时大家需要注意使用条件和等号成立的条件．
归纳：在解决实际问题时，我们需要把实际问题数学化，同时在使用基本不等式时有时需要将原函数进行适当的变形或拆分，以适合基本不等式使用的条件，而且需要验证等号成立的条件．

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