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南宁三中2025～2026学年度上学期高二段考
数学试题 2025.10
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列满足，则（ ）
A． B． C． D．2
6．在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（ ）
A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7
7．长度为2的线段AB的两个端点分别在x轴及y轴上运动，则线段AB的中点到直线距离的最大值为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
8．已知椭圆的左右焦点分别为，过右焦点的直线与交于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．如图，为椭圆上异于顶点的一点，分别是椭圆的左焦点和右顶点．过点分别向轴和直线作垂线，垂足分别为．记直线与轴的交点为为坐标原点，则下列比值与相等的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知数列的通项公式为，前n项和为，则（ ）
A． B． C． D．
11．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于点在轴上方），为坐标原点，.则（ ）
A． B．
C．与面积之比为3 D．面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．双曲线的右焦点到该双曲线的一条渐近线的距离为 ．
13．已知椭圆的焦点为为上的一点，若的周长为18，则的离心率为 .
14．双曲线C：的右支上一点P在第一象限，分别为双曲线C的左、右焦点，M为的内心，若内切圆M的半径为1，则直线的斜率为____________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线上，且．
(1)求抛物线的方程；
(2)过焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，若，求直线l的方程．
16．已知在中，.
(1)判断的形状，并说明理由;
(2)若点在边上，且.若，求的面积.
17．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数、中位数；
(2)在样本答卷成绩为，，的三组市民中，用分层抽样的方法抽取13人，则样本的答卷成绩在中的市民应抽取多少人？
(3)若落在的平均成绩是57，方差是2，落在的平均成绩为69，方差是5，求这两组成绩的总平均数和总方差．
参考公式：其中为总样本平均数．
18．如图1，在边长为2的菱形ABCD中，于点，将沿DE折起到 的位置，使，如图2．
(1)求多面体的体积；
(2)求二面角的余弦值；
(3)在线段BD上是否存在点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在请说明理由．
19．已知椭圆的标准方程为，离心率为且过点，直线与椭圆交于，两点且不过原点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标；
(3)若直线，，的斜率分别为，且，求面积的取值范围．
答案第1页，共2页
南宁三中2025～2026学年度上学期高二段考
数学试题参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B D B A B C D A ABD BD ACD
1．B【详解】由，得，可得在复平面内对应的点为，位于第二象限.故选：B
2．D【详解】因为抛物线，所以，因为准线方程为，所以准线方程为，故选：D.
3．B【详解】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B.
4．A.
5．【答案】B【详解】由题知，
所以3是数列的一个周期，所以.
6．C【详解】由题意可知，圆C：，标准化后可得圆C：，因为，，过点C作AB的垂线CD，.如图所示，，在中，.所以，圆心C到直线 l的距离:因此，，解得，
7．D【详解】设，由题意可得：,设的中点坐标为，则，所以，即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，圆心到的距离为：，所以线段的中点到直线距离的最大值为，故选：D
8．A【详解】设，因为，所以，由椭圆的定义可得，，
因为，在中由勾股定理得，解得所以，，在中由勾股定理得，从而可得.故选：A
9．ABD【详解】选项A：，A对；选项B：，B对；选项C：设，则不是定值，C错；选项D：，D对．故选：ABD
10．BD【详解】由可知，则，可知B、D正确，A、C错误.故选：BD
11．ACD【详解】抛物线的焦点为，，即，解得，A选项正确；抛物线，由，可得，.直线MN的斜率为，则，B选项错误；直线MN方程为，代入抛物线中有，则有，得，，与面积之比为，C选项正确；，D选项正确.故选：ACD.
12．【详解】
13．【详解】若的长半轴为，即，又，，所以的周长小于，不符题意；所以的长半轴为，所以，解得，所以椭圆，所以的离心率为.
14．【详解】双曲线的实半轴长，焦点，设圆与三边分别相切于点，则，又，解得，，则点，因为轴，所以由题，，所以直线的斜率.
15【详解】（1）根据抛物线的定义可知，
，即，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知，抛物线焦点为,若直线l的斜率不存在，
则,则，不满足题意，
所以直线的斜率存在且不为零，并设为，则，
设，联立，消去可得，，
所以，
因为，解得，
所以直线的方程为.
16．【详解】（1）由可得，-----(1)1分
故，进而，
由于,故，-----(2)3分（余弦定理1分，结果1分）(与下面7分段没写B的范围就总扣1分，只要写了一个就不扣分）
又，故,-----(2)5分（换掉角B或角C）
化简可得,故，
由于,故，-----(2)7分(与上面3分段没写A的范围就总扣1分，只要写了一个就不扣分）
进而,故三角形为直角三角形，-----(1)8分
（2）由于，，且为直角三角形，
设，则,----(2)10分
故在三角形中，由余弦定理可得,
即，解得，----(2)12分
故-----(3)15分(面积公式1分，结果2分）用其它方法做，结果对，过程严谨，（2）问得7分）
17．【详解】（1）由频率之和为结合频率分布直方图可得，
解得，
样本成绩的平均数约为．
区间，，的频率分别为．
因为，的频率为，
故中位数位于内设中位数为x，则，
解得x＝75；
（2）由频率分布直方图知，
样本答卷成绩在，，的三组市民有（人），
其中样本答卷成绩在的市民人数为，
用分层抽样的方法应从答卷成绩在的市民中抽取（人）．
（3）由频率分布直方图知，成绩在的市民人数为，
成绩在的市民人数为，所以总平均数，
总方差.
18．【详解】（1）因为，即,
又,平面，
所以平面，平面，所以.
又,平面，所以平面，
所以.
（2）因为平面，，
以为原点，为轴，建立空间直角坐标系，
则，所以,
设平面的法向量，由，得，
因为平面，所以平面的法向量，所以.
因为所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
（3）假设存在线段上存在一点，使得平面平面,
设，，则.
所以，设平面的法向量，
由，令，得，
因为平面平面，所以，解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且.
19．【详解】（1）由已知得，且，所以椭圆的标准方程为；
（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，
联立方程组消去得，
则，，
由，得，
由，得，即，
化简得，
从而，
化简得，即，所以或（直线过点，舍去），
即直线的方程为，所以直线过定点．
当直线的斜率不存在时，令，代入椭圆方程得，
则，
所以，可得，
则，得或（舍），
所以直线的方程为，也过定点；
（3）由（2）知且，，，
因为，所以，即，即，
又，所以，，
因为直线的斜率存在且不为0，，所以且，
设为点到直线的距离，则
，
所以的取值范围为.

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