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2025-2026学年江西省九江外国语学校九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列有理数中，最大的是（　　）
A. 2022 B. -（-5） C. D.
2.因式分解：a2-1=（　　）
A. （a+1）（a-1） B. a（a+1） C. （a+1）2 D. （a-1）2
3.矩形具有而菱形不具有的性质是（　　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
4.中国古算诗词歌赋较多.古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式.下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
5.如图，将△ABC沿着射线BC平移到△DEF.若BC=6，EC=4，则平移的距离为（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
6.如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别在线段AB，BC上，，连接EF，AC.过点E，F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G，H.动点P在△ACD内部及边界上运动，四边形EFHG，△PEG，△PEF，△PFH，△PGH的面积分别为S0，S1，S2，S3，S4，若点P在运动中始终满足3S0=S1+S2+S3+S4，则满足条件的所有点P组成的图形长度为（　　）
A. 2 B. C. 4 D. 2π
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.-2024的绝对值是 .
8.若x=1是一元二次方程x2-4x+c=0的一个根，则c的值为 .
9.如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是 （只需填一种组合即可）.
10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=12，点E在线段OA上，AE=2，点F在线段OC上，OF=1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长为 .
11.小明家到学校的路程为3km,步行用时x h,骑自行车比步行时间的一半还少0.1h,则骑自行车的速度为 （用含有x的式子表示）km/h.
12.如图，在梯形ABCD中，BC∥AD，∠ABC=∠BCD=120°，AB=BC=CD=4，E为直线AD上一点，F为CE中点，且F在梯形内部（不在边上）.若△BCF为等腰三角形，则DE= .
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
（1）解不等式组：.
（2）解二元一次方程组：.
14.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中x=3.
15.(本小题6分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D，点E是BC延长线上一点，连接AE，∠1=∠E.求证：AB∥CD.
16.(本小题6分)
如图，A为矩形BMDE上方一点，C在BE上，且△ABC≌△CDE，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）.
（1）在图（1）中，作出AB的一条垂线；
（2）在图（2）中，连接BD，作出BD的一条垂线.
17.(本小题6分)
已知：如图，在 ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G，交AD于点F，AB⊥AC，连接AE，CF.求证：
（1）△AGF≌△CGE；
（2）四边形AECF是菱形.
18.(本小题8分)
如图，约定：上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
（1）求整式M，P；
（2）将整式P因式分解.
19.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，∠B=60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①当AE=______cm时，四边形CEDF是矩形；
②当AE=______cm时，四边形CEDF是菱形．
（直接写出答案，不需要说明理由）

20.(本小题8分)
某企业为提高生产效率，采购了相同数量的A型、B型两种智能机器人，购买A型机器人的总费用为90万元，购买B型机器人的总费用为60万元，B型机器人单价比A型机器人单价低3万元.
（1）求A型、B型两种机器人的单价；
（2）该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求A、B两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元.求出所有配备方案.
21.(本小题9分)
某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息：
a.抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 0≤x＜20 1
B 20≤x＜40 5
C 40≤x＜60 m
D 60≤x＜80 16
E 80≤x≤100 20
b.D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求随机抽取的学生人数；
（2）统计表中的m=______，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为______度；
（3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为______分；
（4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数.
22.(本小题9分)
【知识链接】
实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A、B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.（溢水杯的杯底厚度忽略不计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大.
总结公式：当小铝块位于液面上方时，F拉力=G重力；当小铝块浸入液面后，F拉力=G重力-F浮力.
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F拉力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示.
【解决问题】
（1）当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数.
（2）当6≤x≤10时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式.
（3）当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m,n的值.
23.(本小题12分)
小田同学试图用特殊到一般的思想方法来研究平行四边形对角线与边长的数是关系，下面是他的思考过程.
（1）探究一
如图1，正方形ABCD的边长为a,则AC2+BD2=4a2.
如图2，菱形ABCD的边长为a,则AC2+BD2=______.（请用含a的代数式表示）
（2）探究二
①如图3，在矩形ABCD中，AB=a,BC=b,则AC2+BD2=______.（请用含a、b的代数式表示）
②如图4，小田发现在 ABCD中，若AB=a,BC=b,则①的结论依然成立，小田同学已写出部分证明过程，请你跟随小田的思路，完成余下的证明过程.
证明：如图4，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，易证△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF，…
（3）拓展应用
在如图4的 ABCD中，AB=4，，OA=3，将点B绕点O旋转，点B的对应点为点B′，在旋转的过程中，当OB′∥CD时，请直接写出DB′的长.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】2024
8.【答案】3
9.【答案】①②(答案不唯一）
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】6或
13.【答案】-2＜x≤3；

14.【答案】2．
15.【答案】∵∠1=∠E，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠D=∠DCE，
∵∠B=∠D，
∴∠B=∠DCE（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
16.【答案】如图，延长DC交AB于点F，则CF⊥AB，理由如下：
∵四边形BMDE是矩形，
∴∠E=90°．
∴∠DCE+∠CDE=90°，
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ABC=∠CDE，
∵∠BCF=∠DCE，
∴∠ABC+∠BCF=90°，
∴∠BFC=∠E=90°，
∴CF⊥AB；
如图，连接AM，交BD于点N，AM⊥BD，理由如下：
作AF⊥BM交MB的延长线于点F，
∵四边形BMDE是矩形，
∴∠MBE=∠BMD=∠E=90°，BM=DE，BE=DM．
∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB=∠E=90°，AC=CE，BC=DE=BM，
∴四边形ACBF是矩形，
∴AC=BF，AF=BC，∠F=90°，
∴MF=BM+BF=BC+CE=BE=MD，AF=BM，
∵∠F=∠BMD=90°，
∴△AFM≌△BMD（SAS），
∠AMF=∠BDM，
∵∠AMF+∠DMN=∠BMD=90°，
∴∠BDM+∠DMN=90°，
∴∠DNM=90°，
∴AM⊥BD
17.【答案】∵AB⊥AC，E为BC的中点，
∴AE=BE=EC，
∵EF⊥AC，
∴EF垂直平分AC，
∴AG=GC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
又∵∠AGF=∠CGE，
∴△AGF≌△CGE（ASA）；
∵△AGF≌△CGE，
∴AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴ AECF是菱形．
18.【答案】解：（1）根据题意得：M=（3x2-4x-20）-3x（x-3）
=3x2-4x-20-3x2+9x
=5x-20；
P=3x2-4x-20+（x+2）2
=3x2-4x-20+x2+4x+4
=4x2-16；
（2）P=4x2-16
=4（x2-4）
=4（x+2）（x-2）．
19.【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CF∥ED，
∴∠FCG=∠EDG，
∵G是CD的中点，
∴CG=DG，
在△FCG和△EDG中，
，
∴△FCG≌△EDG（ASA）
∴FG=EG，
∵CG=DG，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）①3.5；②2.
20.【答案】A型机器人的单价为9万元，B型机器人的单价为6万元；
共有3种配备方案，
方案1：配备A型机器人1台，B型机器人9台；
方案2：配备A型机器人2台，B型机器人8台；
方案3：配备A型机器人3台，B型机器人7台．
21.【答案】50人；
8，144；
70；
576人
22.【答案】2.8N，2.5N；
F拉力=-0.3x+5.8（6≤x≤10）；
0.6，1.6．
23.【答案】4a2；
①2（a2+b2）；
②如图4，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，
易证△ABE≌△DCF，
∴AE=DF，BE=CF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AD∥BC，
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴四边形AEFD是矩形，
∴AD=BC=EF，
由勾股定理得：AC2+BD2=AE2+EC2+DF2+BF2
=2AE2+EC2+（BC+CF）2
=2AE2+（BC-BE）2+（BC+BE）2
=2AE2+BC2+BE2-2BC BE+（BC+BE）2
=2AE2+BC2+BE2-2BC BE+BC2+BE2+2BC BE
=2（AE2+BE2）+2BC2
=2AB2+2BC2=2（a2+b2）；
DB′的长为或
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