资源简介

5.4　统计与概率的应用
【学习目标】
1.通过实例进一步理解统计与概率的意义及应用;
2.能用统计与概率的知识解决实际生活中的问题.
◆ 知识点　概率的应用
概率是描述随机事件发生　　　　　大小的度量,它已经渗透到人们的日常生活中,成为一个常用的词汇,任何事件的概率是　　　　内的一个数,它度量该事件发生的可能性.小概率事件(概率接近　　　　)很少发生,而大概率事件(概率接近　　　　)则经常发生.
【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当事件A发生的概率很小时,该事件为不可能事件. (　 )
(2)某医院治愈某种病的概率为0.8,则10个人去治疗,一定有8个人能治愈. (　 )
(3)平时的多次比赛中,小明获胜的次数比小华多,所以这次比赛应选小明参加. (　 )
(4)甲袋中有12个黑球,4个白球,乙袋中有20个黑球,20个白球,从其中一袋中随机摸出1个球,要想摸出1个黑球,选择乙袋成功的机会更大.(　 )
◆ 探究点一　统计在实际中的应用
例1 某地盛产芒果、榴莲等水果,因其质量较好,长期受到消费者的欢迎.当地有关部门在实地调研后,立足当地独特优势,大力发展农村经济,为统计当地居民去年的收入状况,随机抽取100户对去年的年收入进行了一个抽样调查,得到如下表所示的频数表:
年收入(万元) [6,8) [8,10) [10,12) [12,14) [14,16) [16,18]
频数 15 10 35 20 10 10
(1)估计本村居民的年收入的众数、75%分位数;
(2)用分层抽样的方法从这100户居民中抽取20户进行走访,若再从抽取的年收入在[6,8)和[8,10)的居民中随机抽取2户进行进一步调查,求至少有1户来自年收入在[8,10)内的概率.
变式 为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标,分别从两厂随机各选取了10个轮胎,将每个轮胎的宽度(单位:mm)记录下来并绘制出如图所示的折线图.
(1)分别计算从甲、乙两厂选取的10个轮胎宽度的平均数.
(2)若轮胎的宽度在[194,196]内,则称这个轮胎是标准轮胎.
(i)若从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个,求所抽取的轮胎是标准轮胎的概率;
(ii)求从甲、乙两厂分别选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差.
[素养小结]
(1)用样本估计总体是统计学中的核心思想.
(2)主要题型是用样本的数字特征或分布估计总体的数字特征或分布.
(3)平均数、方差(或标准差)是评判数据平均取值水平和离散程度的依据.
◆ 探究点二　概率在实际中的应用
例2 为了估计某自然保护区中天鹅的数量,相关工作人员先从该自然保护区中捕出200只天鹅,给每只天鹅做上记号(不影响其存活),然后放回自然保护区,经过适当的时间,让其和该自然保护区中其余的天鹅充分混合,再从该自然保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号.假定每只天鹅被捕到的可能性是相等的,试根据上述数据,估计该自然保护区中天鹅的数量.
变式 已知n是一个三位正整数,若n的个位数字大于十位数字,十位数字大于百位数字,则称n为“三位递增数”(如135,256,345等).现要从甲、乙两名同学中选出一人参加某市组织的数学竞赛,选取的规则如下:从由1,2,3,4,5,6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数,若抽取的“三位递增数”是偶数,则甲参加数学竞赛;否则,乙参加数学竞赛.
(1)由1,2,3,4,5,6可组成多少个“三位递增数” 分别用树形图和列举法解答.
(2)这种选取规则对甲、乙两名同学公平吗 请说明理由.
[素养小结]
(1)游戏规则是否公平,即判定概率是否都相等.
(2)大概率事件易发生,小概率事件不易发生.
◆ 探究点三　情境应用
例3 为了了解某地机动车的所有人缴纳车船使用税的情况,调查部门在该地某大型停车场对机动车的所有人进行了随机调查.向被调查者提出三个问题:(1)你的车牌号码的最后一位数字是奇数吗 (2)你缴纳了本年度的车船使用税吗 (3)你的手机号码的倒数第二位是偶数吗 调查人员给被调查者准备了一枚质地均匀的骰子,让被调查者背对调查人员掷一次骰子.如果出现一点或二点则回答第一个问题;如果出现三点或四点则回答第二个问题;如果出现五点或六点则回答第三个问题(被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“否”,所有人都如实回答).结果被调查的3000人中有1200人回答了“否”,由此估计这3000人中没有缴纳车船使用税的人数大约为 (　 )
A.600 B.200 C.400 D.300
变式 [2023·广东揭阳高一期中] 为了解某中学生遵守《中华人民共和国交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗 (2)在过路口时你是否闯过红灯 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地作了回答.结果被调查的1200人(学号从1至1200)中有366人回答了“是”.由此可以估计这1200人中闯过红灯的人数是　　　　.
[素养小结]
情境主要有生活情境和学科情境,首先要审清题意,建构数学模型,分析统计和概率,进行综合应用.
1.从一群游戏的小孩中抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续游戏,一会儿后,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计一共有小孩 (　 )
A.人 B.人
C.(k+m-n)人 D.(k+m-n)人
2.一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,则检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为 (　 )
A.0.81 B.0.82
C.0.90 D.0.91
3.为评估某种新型水稻的种植效果,选择了n块面积相等、肥力相同的试验稻田.这n块稻田的亩产量(单位:kg)分别为a1,a2,…,an,下列统计量中,能用来评估这种新型水稻亩产量稳定程度的是 (　 )
A.样本a1,a2,…,an的标准差
B.样本a1,a2,…,an的中位数
C.样本a1,a2,…,an的众数
D.样本a1,a2,…,an的平均数
4.某产品的设计长度为20 cm,规定误差不超过0.5 cm为合格品.对一批产品进行测量,测量结果如下表:
长度(cm) 19.5以下 19.5~20.5 20.5以上
件数 5 68 7
则这批产品的不合格率为 (　 )
A. B. C. D.
5.某路口的交通信号灯,绿灯亮40秒后,黄灯闪烁若干秒,然后红灯亮30秒,如果一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为,那么黄灯闪烁的时间为　　　　秒.
5.4　统计与概率的应用
【课前预习】
知识点
可能性　[0,1]　0　1
诊断分析
(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　[解析] (1)概率很小的事件也是随机事件,不可能事件发生的概率为0.
(2)治愈某种病的概率为0.8,是对每个病人来说治愈的可能性为0.8,而不是10个人中有8个人能治愈.
(3)概率能为我们的决策提供很好的参考,小明获胜的次数多,就应该选小明参加.
(4)因为甲袋中有12个黑球,4个白球,共16个球,所以从中随机摸出1个球,摸出的是1个黑球的概率P1==.因为乙袋中有20个黑球,20个白球,共40个球,所以从中随机摸出1个球,摸出的是1个黑球的概率P2==.因为>,所以选择甲袋成功的机会更大.
【课中探究】
例1　解:(1)众数为=11.
因为前三组的频率之和为0.15+0.1+0.35=0.6,
前四组的频率之和为0.15+0.1+0.35+0.2=0.8,
所以75%分位数在第四组内.
设75%分位数为t,则有=,解得t=13.5.
估计本村居民的年收入的众数为11,75%百分位数为13.5.
(2)由频数表及分层抽样可知在年收入在[6,8)内抽取的户数为×20=3,在年收入在[8,10)内抽取的户数为×20=2.
记年收入在[6,8)内的3户分别为A,B,C,年收入在[8,10)内的2户分别为a,b,
则从中随机抽取2户的样本空间Ω={AB,AC,BC,Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab},共包含10个样本点,
其中至少有1户来自年收入在[8,10)内包含的样本点有Aa,Ab,Ba,Bb,Ca,Cb,ab,共7个,
故抽取的2户中至少有1户来自年收入在[8,10)内的概率P=.
变式　解:(1)从甲厂选取的10个轮胎中,轮胎宽度的平均数=×(195+194+196+193+194+197+196+195+193+197)=195,
从乙厂选取的10个轮胎中,轮胎宽度的平均数=×(195+196+193+192+195+194+195+192+195+193)=194.
(2)(i)从甲厂选取的轮胎中,轮胎宽度在[194,196]内的数据有195,194,196,194,196,195,共6个,故从甲厂选取的10个轮胎中随机抽取1个,所抽取的轮胎是标准轮胎的概率P==.
(ii)从甲厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为×(195+194+196+194+196+195)=195,
方差为×[02+(-1)2+12+(-1)2+12+02]=.
从乙厂选取的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的平均数为×(195+196+195+194+195+195)=195,
方差为×[02+12+02+(-1)2+02+02]=.
例2　解:设该自然保护区中天鹅的数量为n.从该自然保护区中任捕一只,设事件A为捕到带有记号的天鹅,则P(A)=①.
从该自然保护区中捕出150只天鹅,其中有20只带有记号,
由概率的统计定义可知P(A)≈②.
由①②,得≈,解得n≈1500,
故该自然保护区中天鹅约有1500只.
变式　解:(1)画出树形图,如图所示,
由图可知,由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
由题知,由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”分别是123,124,125,126,134,135,136,145,146,156,234,235,236,245,246,256,345,346,356,456,
共20个,故由1,2,3,4,5,6可组成20个“三位递增数”.
(2)不公平.理由如下:
由(1)知由1,2,3,4,5,6组成的“三位递增数”有20个.记“甲参加数学竞赛”为事件A,事件A包含的样本点有124,126,134,136,146,156,234,236,246,256,346,356,456,共13个,
所以P(A)=.
记“乙参加数学竞赛”为事件B,则事件B包含的样本点有123,125,135,145,235,245,345,共7个,
所以P(B)=.因为P(A)>P(B),
所以该选取规则对甲、乙两名同学不公平.
例3　A　[解析] 因为骰子出现一点或二点、三点或四点、五点或六点的概率相等,都等于,所以大约有1000人回答了第一个问题.因为车牌号码的最后一位数字是奇数与是偶数的概率是相等的,所以在这1000人中大约有500人的车牌号码的最后一位数字是偶数,这500人都回答了“否”.同理也大约有1000人回答了第三个问题,在这1000人中大约有500人回答了“否”,因此在回答“否”的1200人中大约有200人对第二个问题回答了“否”.故在这3000人中大约有600人没有缴纳车船使用税.故选A.
变式　132　[解析] 被调查的1200人中,在准备回答的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,
所以第一个问题可能被问600次,因为被问的600人中大约有300人的学号是奇数,且有366人回答了“是”,
所以估计有66人在第二个问题中回答了“是”,即600人中有66人闯过红灯,频率为0.11.
用样本频率估计总体,从而估计这1200人中闯过红灯的人数为1200×0.11=132.
【课堂评价】
1.B　[解析] 设一共有x个小孩,根据概率的意义,有≈,所以x≈.故选B.
2.B　[解析] ∵一批产品的合格率为90%,检验员抽检时出错率为10%,∴检验员抽取一件产品,检验为合格品的概率为0.9×0.9+0.1×0.1=0.82.故选B.
3.A　[解析] 标准差刻画了数据的离散程度.故选A.
4.D　[解析] 由题可知,长度在19.5~20.5的为合格品,所以这批产品的不合格率为==.故选D.
5.5　[解析] 设黄灯闪烁的时间为t秒,∵一辆车到达路口时,遇到红灯的概率为,∴=,解得t=5,∴黄灯闪烁的时间为5秒

展开更多......

收起↑