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5.4　统计与概率的应用
一、选择题
1.将一个长、宽、高分别是2,2,3的长方体木块的六个面涂上颜色,再将该长方体均匀切割成棱长为1的小正方体,从切好的小正方体中任取一块,取得的小正方体恰有三面涂有颜色的概率是 (　 )
A. B. C. D.
2.某中学组织高三学生进行高考体检,体检中心的抽血科室有3个窗口.若甲、乙两位同学各自等可能地选择其中1个窗口,则他们选到同一个窗口的概率为 (　 )
A. B. C. D.
3.不透明的袋子中装有形状、大小完全相同的球,从袋中无放回地一次性取出2个球, 若取出的2个球同色,则甲获胜, 若取出的2个球不同色,则乙获胜.袋中所装球的颜色如下:袋子1中有 3个黑球和2个白球;袋子2中有2个黑球和2个白球;袋子3中有3个黑球和1个白球.其中不公平的袋子是 (　 )
A.袋子2 B.袋子3
C.袋子1和袋子2 D.袋子1和袋子3
4.已知A,B两家酒店的综合评分如图所示,记A,B两家酒店的综合评分的平均数分别为,,方差分别为,,则 (　 )
A.>,>
B.>,<
C.<,>
D.<,<
5.某地某年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下:
行业名称 计算机 机械 营销 物流 贸易
应聘人数 215 830 200 250 154 676 74 570 65 280
行业名称 计算机 营销 机械 建筑 化工
招聘人数 124 620 102 935 89 115 76 516 70 436
若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况,则根据表中数据,就业形势一定是 (　 )
A.计算机行业好于化工行业
B.建筑行业好于物流行业
C.机械行业最紧张
D.营销行业比贸易行业紧张
6.某卫生部门为了调查某地居民垃圾分类的落实情况,随机抽取该地300人,并平均分成三组.调查中使用了以下两个问题:
问题一:你是否是第一组的居民
问题二:你是否经常乱丢垃圾
调查者设计了一个随机化装置,是一个装有大小、形状和质量完全相同的50个白球和50个红球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个小球(摸出的球再放回袋中),摸到白球的居民如实回答第一个问题,摸到红球的居民如实回答第二个问题.如果在300人中,共有58人回答了“是”,估计该地居民乱丢垃圾的概率为(　 )
A. B. C. D.
7.某公司2023年5月至2024年3月各月的利润率与每百元营业收入中的成本如图所示,则下列说法中正确的是 (　 )
A.2023年5月至2023年12月的利润率呈递减趋势
B.这11个月的利润率的80%分位数为7.09%
C.这11个月的每百元营业收入中的成本呈递增趋势
D.这11个月的每百元营业收入中的成本的方差大于1
8.(多选题)某高校法学院和商学院新学期的招生情况有如下数据:有200人申请法学院,其中男生录取率为50%,女生录取率为70%;有300人申请商学院,其中男生录取率为60%,女生录取率为90%.对于此次招生,给出下列四个结论,其中正确的是 (　 )
A.法学院的录取率小于商学院的录取率
B.这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率
C.这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率
D.法学院的录取率不一定小于商学院的录取率
9.(多选题)在某次篮球比赛中,某队共得61分,在该队10名上场球员中,得分最高的人得到了19分,其余球员中有2人分别得到了18分,14分,根据以上信息判断,下列说法中正确的是 (　 )
A.存在该队上场的10名球员都有得分的可能
B.该队上场的10名球员得分的极差不可能为17分
C.该队上场的10名球员得分的中位数一定小于其平均数
D.3不可能是该队上场的10名球员得分的众数
二、填空题
10.某地区想实行阶梯电价,经调查发现,该地区居民用电量信息如下.
分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90% 分位数
用电量/(kW·h) 160 176 215 230
若要求约70%的居民用电量在第一阶梯内,约20%的居民用电量在第二阶梯内,则用电量在　　　　内为第一阶梯,在　　　　内为第二阶梯.
11.一个容量为20的样本,数据的分组及各组的频数如下:[10,20),2;[20,30),3;[30,40),x;[40,50),5;[50,60),4;[60,70),2.根据样本的频率分布估计总体中数据落在[10,50)内的概率为　　　　.
12.如图所示,有两个可以自由转动的均匀转盘A,B.转盘A被平均分成3等份,分别标上1,2,3三个数字;转盘B被平均分成4等份,分别标上3,4,5,6四个数字.有人为甲、乙两人设计了一个游戏,规则如下:自由转动转盘A与B,转盘停止后,指针各指向一个数字,将指针所指的两个数字相加,如果和是6,那么甲获胜,否则乙获胜.这个游戏规则　　　　(填“公平”或“不公平”).如果不公平,怎样修改规则才 能使游戏对双方公平 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.(答案不唯一)
三、解答题
13.生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾4类.为了获悉高中生对垃圾分类的了解情况,某中学设计了一份调查问卷,有500名学生参加测试,从中随机抽取了100份问卷,记录上面的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)从500名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于60的概率.
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的学生人数.
(3)学校环保志愿者协会决定组织同学们利用课余时间分批参加“垃圾分类,我在实践”活动,以增强学生的环保意识.首次活动从样本中问卷分数低于40的学生中随机抽取2人参加,已知样本中分数小于40的5名学生中,男生3人,女生2人,求抽取的2人中男、女生各1人的概率.
14.某学校需要从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,抽取了近期甲、乙两人5次数学考试的成绩,统计结果如下表:
第一 次 第二 次 第三 次 第四 次 第五 次
甲的成绩(分) 80 85 71 92 87
乙的成绩(分) 90 76 75 92 82
(1)已知甲、乙两人这5次数学成绩的平均数都为83,若从甲、乙两人中选一人参加数学竞赛,你认为应选谁参加数学竞赛比较合适 并说明理由.
(2)若数学竞赛分初赛和复赛,在初赛中有两种答题方案:
方案一:每人从5道备选题中任意抽出1道,若答对,则可参加复赛,否则被淘汰;
方案二:每人从5道备选题中任意抽出3道,若至少答对其中2道,则可参加复赛,否则被淘汰.
已知甲、乙两人都只能答对5道备选题中的3道,那么你推荐的选手选择哪种答题方案进入复赛的可能性更大 并说明理由.
15.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的.对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.你觉得警察这样的认定公平吗
5.4　统计与概率的应用
1.D　[解析] 该长方体一共可切成12块,其中只有位于大长方体顶点处的小正方体恰有三面涂色,共8块,则所求概率P==.故选D.
2.A　[解析] 甲、乙两位同学各自等可能地选择其中1个窗口,该试验包含的样本点有9个,甲、乙两位同学选到同一个窗口包含的样本点有3个,故所求概率为=.故选A.
3.C　[解析] 对于袋子1,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子1不公平;对于袋子2,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子2不公平;对于袋子3,取出2个球同色的概率为,取出2个球不同色的概率为,故袋子3公平.故选C.
4.B　[解析] 由茎叶图可知,A酒店的综合评分分别为72,86,87,89,92,94,B酒店的综合评分分别为73,74,86,88,94,95,可得≈86.67,=85,≈50.56,=76,则>,<.故选B.
5.B　[解析] 建筑行业的招聘人数是76 516,应聘人数没有排在前5位,则应聘人数小于65 280,物流行业的应聘人数是74 570,招聘人数不在前5位,则招聘人数小于70 436,所以就业形势是建筑行业好于物流行业.故选B.
6.C　[解析] 由题意知,每个居民从袋子中抽到白球或红球的可能性都是,故300人中大约有300×=150(人)回答了第一个问题,另150人回答了第二个问题.在摸出白球的情况下,回答“是”的概率为,设该地居民乱丢垃圾的概率为x,则150×+150x=58,解得x=.故选C.
7.B　[解析] 对于A,2023年5,6月的利润率相同,2023年9,10月的利润率在递增,故A不正确;
对于B,将这11个月的利润率从小到大排列为
5.97%,6.25%,6.35%,6.81%,6.96%,6.98%,7.01%,7.01%,7.09%,7.11%,7.11%,
因为11×80%=8.8,所以80%分位数为7.09%.故B正确;
对于C,由图可知,2023年9,10月的每百元营业收入中的成本呈递减趋势,故C不正确;
对于D,这11个月的每百元营业收入中的成本的平均数≈83.77,
因为(84.30-83.77)2+(83.48-83.77)2=0.280 9+0.084 1=0.365,所以这11个月的每百元营业收入中的成本的方差不可能大于1,故D不正确.故选B.
8.BD　[解析] 设申请法学院的男生人数为x,女生人数为y,则x+y=200,则法学院的录取率为==0.7-0.001x.设申请商学院的男生人数为m,女生人数为n,则m+n=300,则商学院的录取率为==0.9-0.001m.因为(0.9-0.001m)-(0.7-0.001x)=0.2-0.001(m-x)=0.001(200-m+x),该值的正负不确定,所以A错误,D正确;这两个学院所有男生的录取率为,这两个学院所有女生的录取率为,因为-=-<0,所以B正确,C错误.故选BD.
9.ABC　[解析] 61-(19+18+14)=10,该队除这3人外,剩余7人共得到10分,存在该队上场的10名球员都有得分的可能,故A正确;该队除这3人外,剩余7人共得到10分,若极差为17,则剩余7人最低得分为2分,这种情况不存在,即上场的10名球员得分的极差不可能为17分,故B正确;该队上场的10名球员得分的平均数为=6.1,按照分数从小到大排序,则第8个、第9个、第10个数据一定是14,18,19,若中位数大于或等于平均数,则第5个、第6个数据之和应大于或等于12.2分,这与7人得到10分不符,故C正确;根据已知条件,上场的10名球员得分情况可能为0,0,0,1,3,3,3,14,18,19,即3可能是中国队上场的10名球员得分的众数,故D错误.故选ABC.
10.[0,176]　(176,230]　[解析] 因为70%分位数为176,90%分位数为230,所以用电量在[0,176]内为第一阶梯;用电量在(176,230]内为第二阶梯.
11.　[解析] 由题意得x=20-(2+3+5+4+2)=4,样本中数据落在[10,50)内的频率为=,所以估计总体中数据落在[10,50)内的概率为.
12.不公平　将规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”
[解析] 列表如下:
　　　B 和 A　　　 3 4 5 6
1 4 5 6 7
2 5 6 7 8
3 6 7 8 9
由表可知,样本空间包含12个样本点,两个数字和为6包含的样本点有3个.
因为P(和为6)==,所以甲、乙获胜的概率不相等,所以这个游戏规则不公平.如果将游戏规则改为“和是6或7,则甲胜,否则乙胜”,那么此时游戏规则是公平的.
13.解:(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不低于60的频率为
(0.02+0.04+0.02)×10=0.8,
故从500名学生中随机抽取一人,估计其分数不低于60的概率为0.8.
(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为
(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,
分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
所以总体中分数在区间[40,50)内的人数约为500×=25.
(3)设3名男生分别为a1,a2,a3,2名女生分别为b1,b2,则从这5名同学中选取2人的样本空间为Ω={(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2)},共包含10个样本点.
抽取的2人中男、女生各1人包含的样本点有
(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个.
所以抽取的2人中男、女生各1人的概率是=.
14.解:(1)选乙参加数学竞赛较合适.理由如下:
由题知==83,则甲数学成绩的方差=50.8,
乙数学成绩的方差=48.8,
∵>,∴乙的成绩比甲稳定,故选乙参加数学竞赛比较合适.
(2)5道备选题中乙能答对的3道分别记为a,b,c,答不对的2道分别记为E,F.
方案一:乙从5道备选题中任意抽出1道,样本空间中包含的样本点有a,b,c,E,F,共5个,其中答对备选题包含的样本点有a,b,c,共3个,
∴选择此方案乙可参加复赛的概率P1=.
方案二:乙从5道备选题中任意抽出3道,样本空间中包含的样本点有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(a,E,F),(b,c,E),(b,c,F),(b,E,F),(c,E,F),共10个,其中至少答对2道备选题包含的样本点有(a,b,c),(a,b,E),(a,b,F),(a,c,E),(a,c,F),(b,c,E),(b,c,F),共7个,
∴选择此方案乙可参加复赛的概率P2=.
∵P115.解:设该市的出租车有1000辆,那么依题意可得信息如下表所示.
实际数据 证人眼中的颜色
蓝色 红色
真实 颜色 蓝色 850 680 170
红色 150 30 120
合计 1000 710 290
从表中可以看出,当目击证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.

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