资源简介

论文目录
1．《浅谈平面几何复习课选题的有效性原则》
2．《中考数学复习中的“专项训练”设计刍议》
3．《计算器在三角函数中的巧妙应用——分析2008年绍兴市中考压轴题有感》
4．《亲近生活 注重实践 提炼能力----2008年绍兴市学业考试数学试题浅析》
5．《善把握 求实效 促提高——谈新学业考数学复习教学策略》
6．《“别具一格”的另类“压轴题”》
7．《立足四基 注重能力 凸显新课程理念——2008年绍兴市初中毕业生评价考试数学试卷评析》
8．《在实践中反思，在反思中成长——谈在新课程下，如何搞好初中数学总复习》
9．《从2008，看2009——2008年中考数学试卷给我们的启示》
10．《2009年中考数学复习建议》
11．《纵观近三年我市学业考试数学试卷谈初三复习对策——06、07、08绍兴市中考数学试卷对比
分析》
12．《2008年中考试题评析——函数、一次函数、反比例函数部分》
13．《2008年中考数学方案设计型试题专题解析》
14．《探究“投影”类中考题》
15．《中考数学函数类应用题解题策略》
16．《窥一斑知全豹----由一类全等三角形的中考题看中考之发展》
17．《数学学业考试复习之浅见》
18.《中考复习课的几点思考》
19.《关于中考数学有效复习的探讨》
20.《固本求新促能力 夯实基础应万变----也谈中考数学的复习思路上》
21.《做深做透例题文章　提高中考复习效益——以近三年中考为例》
2008年中考数学方案设计型试题专题解析
【方案设计型试题的特点】
方案设计型试题是通过设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，运用数学知识设计恰当的解决方案，以求得最好的实用效果或最大的经济效益的试题形式。方案设计型试题是近几年中考的热点问题之一，它贴近生活，具有较强的操作性和实践性，解决此类问题时，要注意先思考，后动手，防止盲目尝试，问题的结果不一定唯一，但必须符合实际情况。方案设计型问题能培养学生的自信心、科学精神、创造意识和实践能力，可以改变以往单纯的依赖模仿与记忆的学习方式，有利于形成“动手实践、自主探索与合作交流”的新的学习方法。
【方案设计型试题解题策略】
方案设计型试题不仅要求学生有扎实的数学基础知识，而且能够把实际问题转化、抽象成具体的数学问题；它综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力和动手能力等．能与初中所学的重点知识进行联结．
具体解法可灵活选择建立方程模型，不等式模型，函数模型，几何模型，统计模型等，依据所建的数学模型求解，从而设计方案，科学决策。
【方案设计型试题归类探究】
一、利用不等式进行方案设计
不等式（组）方案设计应用题，涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能性；涉及我们日常生活的广告宣传，经济决策，文化娱乐，商品买卖，物贸分配等多个方面，解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程，代数等方面的知识.
1、（2008·青岛）2008年8月，北京奥运会帆船比赛将在青岛国际帆船中心举行．观看帆船比赛的船票分为两种：A种船票600元/张，B种船票120元/张．某旅行社要为一个旅行团代购部分船票，在购票不超过5000元的情况下，购买A、B两种船票共15张，要求A种船票的数量不少于B种船票数量的一半．若设购买A种船票x张，请你解答下列问题：
（1）共有几种符合题意的购票方案？写出解答过程；
（2）根据计算判断：哪种购票方案更省钱？
解：设 A种票x张，则B种票（15-x）张.根据题意得：
解得5≤x≤
∴满足条件的x为5或6.
∴共有两种购买方案：
方案一：A种票5张，B种票10张，
方案二：A种票6张，B种票9张。
（2）方案一购票费用：600×5+120×10=4200（元）
方案二购票费用：600×6+120×9=4680（元），
∵4200<4680，∴方案一更省钱.
2．（2008·怀化）5·12四川地震后，怀化市立即组织医护工作人员赶赴四川灾区参加伤员抢救工作． 拟派30名医护人员，携带20件行李（药品、器械），租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，日夜兼程赶赴灾区．经了解，甲种汽车每辆最多能载4人和3件行李，乙种汽车每辆最多能载2人和8件行李．
（1）设租用甲种汽车辆，请你设计所有可能的租车方案；
（2）如果甲、乙两种汽车的租车费用每辆分别为8000元、6000元，请你选择最省钱的租车方案．
解：(1)因为租用甲种汽车为辆，则租用乙种汽车辆．
由题意，得
解之，得
即共有两种租车方案：
第一种是租用甲种汽车7辆，乙种汽车1辆；
第二种是全部租用甲种汽车8辆
（2）第一种租车方案的费用为
第二种租车方案的费用为
所以第一种租车方案最省钱
3、（2008·扬州）某校师生积极为汶川地震灾区捐款，在得知灾区急需帐篷后，立即到当地的一家帐篷厂采购，帐篷有两种规格：可供3人居住的小帐篷，价格每顶160元；可供10人居住的大帐篷，价格每顶400元。学校花去捐款96000元，正好可供2300人临时居住.
（1）求该校采购了多少顶3人小帐篷，多少顶10人大帐篷；
（2）学校现计划租用甲、乙两种型号的卡车共20辆将这批帐篷紧急运往灾区，已知甲型卡车每辆可同时装运4顶小帐篷和11顶大帐篷，乙型卡车每辆可同时装运12顶小帐篷和7顶大帐篷。如何安排甲、乙两种卡车可一次性将这批帐篷运往灾区？有哪几种方案？
（解略）
二、利用函数进行方案设计
此类问题的一般步骤：（1）根据题意建立一次函数关系式；（2）根据实际意义建立不等式组，求不等式组的正整数解；（3）根据求到的解，利用一次函数的性质求最大最小值。
1、（2008·连云港）“爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务．
（1）在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？
（2）现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的两地，由于两市通住两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同．已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：
地
地
每千顶帐篷
所需车辆数
甲 市
4
7
乙 市
3
5
所急需帐篷数（单位：千顶）
9
5
请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少．说明理由，并求出最少车辆总数．
解：（1）设总厂原来每周制作帐篷千顶，分厂原来每周制作帐篷千顶．
由题意，得
解得所以（千顶），（千顶）．
答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、6千顶．
（2）设从（甲市）总厂调配千顶帐篷到灾区的地，则总厂调配到灾区地的帐篷为千顶，（乙市）分厂调配到灾区两地的帐篷分别为千顶．
甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为辆．
由题意，得．
即．
因为，所以随的增大而减小．
所以，当时，有最小值60．
答：从总厂运送到灾区地帐篷8千顶，从分厂运送到灾区两地帐篷分别为1千顶、5千顶时所用车辆最少，最少的车辆为60辆。
2、（2008·双柏）我县农业结构调整取得了巨大成功，今年水果又喜获丰收，某乡组织30辆汽车装运，A、B、C、三种水果共64吨到外地销售，规定每辆汽车只装运一种水果，且必须装满；又装运每种水果的汽车不少于4辆；同时，装运的B种水果的重量不超过装运的A、C两种水果重量之和.
（1）设用x辆汽车装运A种水果，用y辆汽车装运B种水果，根据下表提供的信息，求y与x的函数关系并写出自变量取值范围.
水果品种
A
B
C
每辆汽车运装量（吨）
2.2
2.1
2
每吨水果获利（百元）
6
8
5
（2）设此次外销活动的利润为Q（万元），求Q与x之间的函数关系式，请你提出一个获得最大利润时的车辆分配方案.
解： （1）由题得到：2.2x+2.1y+2(30-x-y)=64.
所以，y=-2x+40.
又x≥4，y≥4,30-x-y≥4,得到14≤x≤18.
（2）Q=6x+8y+5(30-x-y)=x+3y+150=-5x+270.
Q随着x的减小而增大，又14≤x≤18，所以当x=14时，Q取得最大值。
即Q=-5x+270=200（百元）=2万元
因此，当x=14,y=-2x+40=12，30-x-y=4.
所以，应这样安排：A种水果用14辆车，B种水果用12辆车，C种水果用4辆车。
3、（2008·徐州）为缓解油价上涨给出租车待业带来的成本压力，某巿自2007年11月17日起，调整出租车运价，调整方案见下列表格及图像（其中a,b,c为常数）
行驶路程
收费标准
调价前
调价后
不超过3km的部分
起步价6元
起步价a 元
超过3km不超出6km的部分
每公里2.1元
每公里b元
超出6km的部分
每公里c元

设行驶路程xkm时，调价前的运价y1（元），调价后的运价为y2（元）如图，折线ABCD表示y2与x之间的函数关系式，线段EF表示当0≤x≤3时，y1与x的函数关系式，根据图表信息，完成下列各题：
①填空：a=______,b=______,c=_______.
②写出当x＞3时，y1与x的关系，并在上图中画出该函数的图象.
③函数y1与y2的图象是否存在交点？若存在，求出交点的坐标，并说明该点的实际意义，若不存在请说明理由.
解：(1) a=7,　b=1.4,　c=2.1
（2）
（3）有交点为其意义为当时是方案调价前合算，当时方案调价后合算.
三、利用几何作图进行方案设计
利用几何作图进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练的运用几何的有关性质，并注意充分发挥分类讨论，类比归纳，猜想验证等数学思想方法进行解题.
1、（2008·莆田）某市要在一块平行四边形ABCD的空地上建造一个四边形花园，要求花园所占面积是ABCD面积的一半，并且四边形花园的四个顶点作为出人口，要求分别在ABCD的四条边上，请你设计两种方案：
方案（1）：如图（1）所示，两个出入口E、F已确定，请在图（1）上画出符合要求的四边形花园，并简要说明画法；
方案（2）：如图（2）所示，一个出入口M已确定，请在图（2）上画出符合要求的梯形花园，并简要说明画法．
解：方案（1）
画法1： 画法2： 画法3：
（1）过F作FH∥AD交 （1）过F作FH∥AB交 （1）在AD上取一点
AD于点H AD于点H H，使DH＝CF
（2）在DC上任取一点G （2）过E作EG∥AD交 （2）在CD上任取
连接EF、FG、GH、 DC于点G 一点G
HE，则四边形EFGH 连接EF、FG、GH、 连接EF、FG、GH、
就是所要画的四边形； HE，则四边形EFGH HE，则四边形EFGH
就是所要画的四边形 就是所要画的四边形
方案（2） 画法：（1）过M点作MP∥AB交AD于点P，
（2）在AB上取一点Q，连接PQ，
（3）过M作MN∥PQ交DC于点N，
连接QM、PN、MN
则四边形QMNP就是所要画的四边
（本题答案不唯一，符合要求即可）
2、（2008·江苏无锡）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：
（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？
（2）至少需要选择多少个安装点，才能使这些点安装了这种转发装置后达到预设的要求？
答题要求：请你在解答时，画出必要的示意图，并用必要的计算、推理和文字来说明你的理由．（下面给出了几个边长为30km的正方形城区示意图，供解题时选用）
解：（1）将图1中的正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，此时，每个小正方形的对角线长为，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，故安装4个这种装置可以达到预设的要求．（图案设计不唯一）
（2）将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，设，则，．
由，得，
，，
即如此安装3个这种转发装置，也能达到预设要求．
或：将原正方形分割成如图2中的3个矩形，使得，是的中点，将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，则，， ，即如此安装三个这个转发装置，能达到预设要求．
要用两个圆覆盖一个正方形，则一个圆至少要经过正方形相邻两个顶点．如图3，用一个直径为31的去覆盖边长为30的正方形，设经过，与交于，连，则，这说明用两个直径都为31的圆不能完全覆盖正方形．
所以，至少要安装3个这种转发装置，才能达到预设要求．
四、利用正方形网格进行图案设计
几何图形的分割与设计在中考中经常出现，有时根据面积相等设计，有时根据图形变换设计，做此类题目，借助网格上的格点，比较容易设计。
1、（2008·湖北荆州）正方形绿化场地拟种植两种不同颜色的花卉，要求种植的花卉能组成轴对称或中心对称图案．下面是三种不同设计方案中的一部分，请把图①、图②补成既是轴对称图形，又是中心对称图形，并画出一条对称轴；把图③补成只是中心对称图形，并把中心标上字母P．（在你所设计的图案中用阴影部分和非阴影部分表示两种不同颜色的花卉．）
解：如图所示。
 2、（2008·福建宁德）在边长为1的正方形网格中，有形如帆船的图案①和半径为2的⊙P．
（1）将图案①进行平移，使A点平移到点E，画出平移后的图案；
（2）以点M为位似中心，在网格中将图案①放大2倍，画出放大后的图案，并在放大后的图案中标出线段AB的对应线段CD；
（3）在（2）所画的图案中，线段CD被⊙P所截得的弦长为______．（结果保留根号）
解： （1）平移不难画，AB=5，相应的可以将B点平移后的点画出，再找帆船上另一个顶点G，画出对应点就可以了，如图所示；
（2）放大后的图案，如图所示；
（3）线段CD被⊙P所截得的弦长为.
五、测量方面的方案设计题
设计测量方案题渗透到几何各章节之中，例如：测量底部不能直接到达的小山的高，测量池塘的宽度，测量圆的直径等，可利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识来解决.此类题目解法不唯一，是典型的开放型试题．
1、（2007·湖北潜江）经过江汉平原的沪蓉(上海—成都)高速铁路即将动工.工程需要测量汉江某一段的宽度.如图①，一测量员在江岸边的A处测得对岸岸边的一根标杆B在它的正北方向，测量员从A点开始沿岸边向正东方向前进100米到达点C处，测得.
（1）求所测之处江的宽度（）；
（2）除(1)的测量方案外，请你再设计一种测量江宽的方案，并在图②中画出图形.
解：（1）在中，，
∴（米）
答：所测之处江的宽度约为248米
（2）从所画出的图形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三角形的知识
来解决问题的，只要正确即可得分.
六、统计知识中的方案设计题
1、（2007·江西）某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）：
方案1 所有评委所给分的平均数．
方案2 在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．
方案3 所有评委所给分的中位数．
方案4 所有评委所给分的众数．
为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：

（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；
（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．
解：（1）方案1最后得分：；
方案2最后得分：；
方案3最后得分：；
方案4最后得分：或．
（2）因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，
所以方案1不适合作为最后得分的方案．
因为方案4中的众数有两个，众数失去实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案.
2008年中考试题评析
——函数、一次函数、反比例函数部分
课标要求
了解函数的概念及三种表示方法：解析法、列表法、图象法；
能确定函数自变量的取值范围，会求函数值；
能探索具体问题中两个变量的数量关系和变化规律，特别能用图象法近似地刻画某些实际问题中两个变量之间的关系；
理解一次函数(包括正比例函数)、反比例函数的意义，理解正比例函数与一次函数的关系；
能根据已知条件确定一次函数、反比例函数的表达式；
会画一次函数、反比例函数的图象；
根据一次函数的图象和解析表达式y=kx+b （k≠0）探索并理解其性质（k>0 或k<0时，图象的变化情况），根据反比例函数的图象和解析表达式y= （k≠0）探索并理解其性质（k>0 或k<0时，图象的变化情况）；
能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解；
能用一次函数、反比例函数解决实际问题。
考点分析
一）几份抽样试卷分值分析：
题号和分值
知识点
绍兴卷
13(5分),
22（12分）共17分
一次函数图象与不等式结合，数形结合思想
一次函数概念，正比例函数概念，求一次函数
丽水卷
9(4分)
12(5分)
24（1）（3分）共12分
反比例函数图象性质与一次函数的图象性质，用到数形结合思想
一次函数求值
求直线解析式
宁波卷
6(3分)
12（3分)共6分
反比例函数
由一次函数图象判别相关性质
湖州卷
11(3分)
23（隐含）
从一次函数图象判别相关性质
求交点
函数部分知识的考查多以填空题、选择题的形式出现。常见的考查内容有以下两个：
求函数自变量的取值范围
例1、（2008年芜湖市）函数中自变量x的取值范围是 ．
例2、（2008年上海市）函数y=的定义域是
分析：求函数自变量的取值范围，如果题目不涉及实际意义，主要从两个方面考虑：一是分式的分母不能为零，二是二次根式的被开方式为非负数。
探索具体问题中两个变量的数量关系和变化规律，能用图象法刻画两个变量之间的关系或者根据图象信息解题
例3、（2008年湖州市）．解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾．前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往．若部队离开驻地的时间为（小时），离开驻地的距离为（千米），则能反映与之间函数关系的大致图象是（ ）
例4、（2008年宁波市）12．如图，某电信公司提供了两种方案的移动通讯费用（元）与通话时间（元）之间的关系，则以下说法错误的是（ ）
A．若通话时间少于120分，则方案比方案便宜20元
B．若通话时间超过200分，则方案比方案便宜12元
C．若通讯费用为60元，则方案比方案的通话时间多
D．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分
分析：例3是根据题中的信息，来选择合适的图象；例4是根据图象来获取有关信息。解这类问题要注意两个变量的变化趋势及实际取值范围。
（三）一次函数、反比例函数部分，单独考查的题目较简单，如求函数解析式、画函数图象、或者利用函数的性质解题等，一般为填空题或选择题。如：
例5、（2008福建福州）一次函数的图象大致是（ ）
例6、（2008年南京市）5．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于（ ）
A．第一、三象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
例7、（2008年?南宁市）图5是反比例函数的图象，那么实数的取值范围是
例8、（2008黄冈市）已知反比例函数y=，下列结论中，不正确的是（ ）
A．图象必经过点(1，2) B．y随x的增大而减少
C．图象在第一、三象限内 D．若x＞1，则y＜2
例9、（2008年西宁市）已知函数中，时，随的增大而增大，则的大致图象为（ ）

(四)、对于一次函数、反比例函数的综合题、应用题则出现在解答题较多，由于二次函数内容要求的降低，一次函数和反比例函数有关的综合题、应用题常承担起押轴题的角色。主要有以下几种类型：
Ⅰ、一次函数、反比例函数与其他函数之间的综合
例10、（2008年郴州市）已知一次函数y=ax＋b的图像与反比例函数 的图像交于A（2，2），B(－1，m)，求一次函数的解析式．
例11、（云南省2008年）．（本小题8分）已知，在同一直角坐标系中，反比例函数与二次函数的图像交于点．
（1）求、的值；
（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.
例12、（2008年芜湖市）在平面直角坐标系中，直线向上平移1个单位长度得到直线．直线与反比例函数的图象的一个交点为，则的值等于 ．
例13.(2008年扬州市)函数的图象与直线没有交点，那么k的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
Ⅱ、一次函数、反比例函数与方程组、不等式的综合
例14、（2008恩施自治州）如图5,一次函数ｙ=ｘ－1与反比例函数ｙ=的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使ｙ＞ｙ的ｘ的取值范围是（ ）
A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0
C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1

例15、（2008年贵阳市）（本题满分10分）利用图象解一元二次方程时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线和直线，两图象交点的横坐标就是该方程的解．
（1）填空：利用图象解一元二次方程，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线 和直线，其交点的横坐标就是该方程的解．（4分）
（2）已知函数的图象（如图9所示），利用图象求方程的近似解（结果保留两个有效数字）．（6分）
例16（2008年绍兴）13如图，已知函数和的图象交点为，
则不等式的解集为 ．

分析：两个函数的交点坐标，就是把两个函数解析式联成一个方程组的解；函数与不等式的综合题要注意数形结合。
Ⅲ、一次函数、反比例函数与几何问题、运动问题的结合
例17、（2008年巴中市）如图8，若点在反比例函数的图象上，轴于点，的面积为3，则 ．
例18、(2008年宁波市)如图，正方形的边长为2，反比例函数过点，则的值是（ ）
A． B． C． D．
例19、（08河南试验区）如图15，直线(＞0)与双曲线在第一象限内的交点面积为R，与轴的交点为P，与轴的交点为Q；作RM⊥轴于点M，若△OPQ与△PRM的面积是4：1，则
（2008年温州）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90o，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动．设BQ＝x，QR＝y．（1）求点D到BC的距离DH的长；（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）是否存在点P，使△PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．
例21、（2008年绍兴）将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
分析：运动类问题是中考的常见题型，常把函数、方程、图形面积、三角函数、相似三角形等重要知识加以综合运用。常成为一张试卷的押轴题。
Ⅳ、一次函数、反比例函数的应用
例22、（2008年自贡市）抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库。已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨。从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币）
（1）若甲库运往A库粮食吨，请写出将粮食运往A、B两库的总运费（元）与（吨）的函数关系式
（2）当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
例23、（2008年遵义市）25．（10分）小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入（元）与销售重量（千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题：
（1）求降价前销售收入（元）与售出草莓重量（千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；
（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？
例24、(2008年安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4＋a）千米/时。
⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？
⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小时？
⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千米)和时间x(小时)的函数关系，请写出你认为所有可能合理的代号，并说明它们的实际意义。
分析：应用题中常见的有方案设计、选优、行程等问题，常以解答题形式出现。
亮点扫描
2008年各地中考试卷中，涌现了许多好题、新题。
例25、（2008年绍兴市）（满分12分）定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．
分析：此题引入并定义了一个新的数学符号：[p，q]，考查了学生的阅读理解能力，又把一次函数与二次函数、面积等方面的知识紧密结合，可谓一石两鸟。
例26、（2008年杭州市）（本小题满分6分）如图，水以恒速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，
（1）请分别找出与各容器对应的水的高度h和时间t的函数关系图象，用直线段连接起来；
（2）当容器中的水恰好达到一半高度时，请在各函数关系图的t轴上标出此时t值对应点T的位置。
分析：此题是探索具体问题中两个变量的变化规律，怎样用图象来描述，它从题型上跳出了选择题、填空题等题型的限制，它既要连线，又要画图。
例27、（2008福建福州）如图，在反比例函数（）的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ．

分析：本题把反比例函数与图形面积综合，考查了学生分析问题、解决问题的能力。
例28、（2008年衢州市）已知n是正整数，Pn（xn，yn）是反比例函数y＝图象上的一列点，其中x1＝1，x2＝2，，…，xn＝n，记T1＝x1y2，T2＝x2y3，…，T9＝x9y10；若T1＝1，则T1·T2·…·T9的值是_________．
复习注意点
培养学生养成利用数形结合的思想来解决问题；
要注意具体问题中，函数自变量和应变量的取值范围；
一次函数、反比例函数除了抓好解析式、图象、性质的落实以外，尤其要关注它们与其它知识点的综合运用及实际应用；
对于每个函数的性质，特别是增减性，一定要熟记、熟练应用，如反比例函数的增减性中：对于y= （k≠0），当k＞0时，在各个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在各个象限内，y随x的增大而增大；特别注意加着重号的这几个字。
把反比例函数解析式y= （k≠0）变形为x·y=k （k≠0），表示反比例函数图象上每个点的横坐标、纵坐标之积为一个常数，它又体现了反比例函数的一个面积不变性：即过反比例函数图象上任意一点作两条坐标轴的垂线，与两条坐标轴围成的矩形面积不变。这是今年中考的一个热点。
自创新题
1、如图，在函数y=上，有两点A、B，过A、B分别作AA1⊥X轴于A1，BB1⊥X轴于B1，其中AA1与OB相交于E点，
⑴、试找出图中面积相等的两对图形；
⑵、证明第（1）小题中的一个结论；
⑶、若A、B两点的横坐标分别为1与2，另外图象上还有一点C的横坐标为3，OC与AA1相交于F点，与BB1相交于G点，求△OEF，四边形EFGB的面积。

2009年中考数学复习建议

九年级毕业班总复习教学时间紧，任务重，要求高，如何提高数学总复习的质量和效益，怎么提高复习课的有效性，这始终是每位毕业班数学教师必须思考的问题。下面就结合自己的九年级数学教学和绍兴市近年来的学业考试数学命题情况，谈谈2009年中考数学复习的几条建议，供大家参考。
一、第一轮复习的安排和做法：
1、第一轮复习的形式
第一轮复习的目的是要“过三关”：（1）过基础知识关：目的是夯实基础，使已学知识系统化和网络化。复习中我们要对初中阶段的核心概念、重要的性质、定理和公式等进行系统的整理，要求学生在理解的基础上加以记忆和运用，这样才能在解题做到快速而正确。（2）过基本技能关：目的是结累解题经验，让学生在解题实践中获得经验和教训，复习中特别要注重解题后的反思，通过反思，使学生在练习中得到感悟。如，对这个题，我是如何找到它突破口，解题中用到了哪些知识点，归纳它的解题思路和方法，总结它的解题规律，形成解题的技能。（3）过基本方法关：目的了解和掌握初中阶段所常用的数学思想方法：方程思想、函数思想、转化思想、分类讨论思想、数形结合思想等，配方法、待定系数法，换元法等。数学思想方法是数学教学中的灵魂，是数学解题教学的关键。如：用待定系数法求一次函数解析式是中考中的热点，是必考内容之一，分类讨论思想、数形结合思想是解决中考综合题主要手段。第一轮复习的主要目的是：使课本知识系统化，解题思路经验化、思想方法渗透化。这一阶段的复习教学是把教材中的知识进行归纳整理、分线或组块，使之形成网络结构。我们可将代数部分分为四个单元：数与式、方程与不等式、函数、统计与概率；将几何部分分为六个单元：相交线和平行线、 三角形、 四边形、圆、图形的变换、解直角三角形。复习时要以某本复习用书为主线，按计划进行复习教学，复习完每个单元后，要进行一次单元测试，重视查漏补缺和信息反馈工作。
2、第一轮复习应该注意的几个问题
（1）必须扎扎实实地夯实基础。每年绍兴市的中考试题按难：中：易=1：2：7的比例，基础分占总分（150分）的70%，因此使每个学生对初中数学知识都能达到“理解”和“掌握”的要求，在应用基础知识时能做到熟练、正确和迅速。
（2）中考有些基础题是课本上的原题或改造，必须深钻教材，绝不能脱离课本。
（3）不搞题海战术，精讲精练，举一反三、触类旁通。注重有效训练，加强习题有效性的研究，题目要有针对性、典型性、层次性、切中要害，提高效益。
（4）复习教学中，更要重视学生的作业，讲究作业的有效性，对学生的作业要及时反馈，及时查漏补缺。教师对于学生作业、练习、测验中的问题，应采用集中讲授和个别辅导相结合，或将问题渗透在以后的复习教学过程中。这样进行反馈、矫正和强化，有利于大面积提高教学质量。
（5）从班级学生实际出发，复习教学务必做到，面向全体学生，因材施教，即分层次开展教学工作，全面提高复习效率。课堂复习教学实行“低起点、缓坡度、多归纳、快反馈”的方法。
（6）注重思想和心理教育，激发学生学好数学的自信心，培养学生良好的学习习惯，及时调整各种消极因素。创造条件，多让学困生展示才能的机会，使他们体验成功喜悦。
案例1：归纳解题方法，开拓解题思路
1、数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），其影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为 米．

2、（2008年绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
3、（2007年宁波市）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )A
(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m
上述几题都是测量中的影子问题，而都不是影子落在平地上的常规性问题，解决问题的关键是如何将实际问题，抽象为数学模型。通过已学的相似三角形的知识来解决。
二、第二轮复习的安排和做法：
1、第二轮复习的形式
第一轮复习是总复习的基础，也是重点，它主要侧重于双基训练。而第二轮复习是第一轮复习的延伸和提高，它侧重于学生数学能力的培养。第二轮复习的时间相对集中，在第一轮复习的基础上，进行拔高，适当增加难度；第二轮复习重点要突出，主要集中在中考试题中的热点、难点和核心内容上；注意数学思想的形成和数学方法的掌握，这就需要充分发挥教师的主导作用。一般按专题复习，如“信息问题”、“阅读理解问题”、“探究性问题”、“运动型问题”、“应用性问题”，“开放性问题题”等问题以便学生熟悉、适应这类题型。
2、第二轮复习应该注意的几个问题
（1）第二轮复习不再以节、章、单元为单位，而是以专题为单位。
（2）专题的划分要合理，要结合学生已有知识基础和生活经验。
（3）专题的选择要准、安排时间要合理。专题要有代表性，切忌面面俱到；专题要由针对性，围绕热点、难点、重点特别是中考必考内容选定专题。
（4）注重解题后的反思，提高学生的学习能力。
案例2：注重数学阅读理解 解答创新型试题
中考中的“新定义”的创新型试题，都是在学生已学数学知识的基础上，通过对旧知识的重新包装后，给出了一个“新概念”，然后要求学生学习和运用这个“新概念”来解决相应的数学问题。这样的试题突出考查了学生较强的数学阅读理解能力、较高的数学抽象概括能力和对“新概念”的实际应用能力。这种新情境下的“新概念”问题的解决与实践过程，能有效地考查出学生良好的数学学习能力。
1、(2008年绍兴市中考试题)定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．
2、(2007年绍兴市中考试题)设关于x的一次函数与，则称函数。（其中）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
3、(2007年宁波市中考试题)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
4、（2006年安徽省中考试题）如图（ l ) ，凸四边形 ABCD ，如果点P满足∠APD ＝∠APB =α。且∠B P C ＝∠CPD ＝β，则称点P为四边形 ABCD的一个半等角点．
( l ）在图（ 3 ）正方形 ABCD 内画一个半等角点P，且满足α≠β。
( 2 ）在图（ 4 ）四边形 ABCD 中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出画法） .
( 3 ）若四边形 ABCD 有两个半等角点P1 、P2（如图（ 2 ) ) ，证明线段P1 P2上任一点也是它的半等角点 。

三、第三轮复习
1、第三轮复习的形式
第三轮复习的形式是中考模拟训练，查漏补缺。
2、第三轮复习应该注意的几个问题
（1）模拟训练关键是命好模拟试题，要按照浙江省初中毕业生学业考试说明要求，结合绍兴市中考数学试卷的结构特点和命题趋势，使模拟试题真正具有模拟性。时间的安排，题量的多少，低、中、高档题的比例，总体难度的控制等都要符合绍兴市中考要求。
（2）模拟测试后，批阅要及时，趁热打铁，有利于及时查漏补缺，复习效果明显提高。评卷时要严格按照中考评分要求，按步骤和知识要点给分，能得的分应给学生分，教师不要随心所欲，看解题结果给分，结果错了全扣，这样不利于学生的思想和心理教育，也不利于学生良好习惯的培养。
（3）试卷的讲评是关键，讲评课要讲究方法和效果，对每道的失分情况和错误原因进行统计分析，不同情况分别处理。对个别学生出错的试题，教师在他们的试卷上面以批语形式给予讲解，这样的题不能再占用课堂上的时间，个别学生的问题，就个别解决。对部分学生同一问题失分情况和学生中的典型错误。这是讲评课内容的主要依据。因为，他们既有代表性，又是提高班级成绩的关键，课堂上应该讲的是学生出错较集中的题，重点归纳学生知识的遗漏点，为查漏补缺积累素材。
（4）处理好讲评与考试的关系。考试是学生掌握知识、学生数学能力和教师教学效果的有效信息反馈，是第三轮复习课中查漏补缺的素材的基点，选准要讲的题，要少、要精、要有很强的针对性。选择的依据是学生考试的失分情况。立足一个“透”字，一个题一旦决定要讲，有四个方面的工作必须做好，一是要讲透；二是要展开；三是要跟上足够量的跟踪练习题； 四要以题代知识。切忌面面俱到式讲评。切忌蜻蜓点水式讲评，切忌就题论题式讲评。
（5）留给学生一定的纠错和消化时间。教师讲过的内容，学生要整理下来；教师没讲的自己解错的题要纠错；与之相关的基础知识要再记忆再巩固。教师要充分利用这段时间，解决个别学生的个别问题。
（6）适当的“解放”学生，特别是在时间安排上。经过一段时间的考、考、考，几乎所有的学生心身都会感到疲劳，如果把这种疲劳的状态带进中考考场，那肯定是个较差的结果。但要注意，解放不是放松，必须保证学生有个适度紧张的精神状态。实践证明，适度紧张是正常或者超常发挥的最佳状态。调节学生的生物钟，尽量把学习、思考的时间调整得与中考答卷时间相吻合，关注学生的心态和信心调整，这也是每位教师的责任，此时此刻学生的信心的作用变为了最大。

“ 别具一格”的另类“压轴题”
纵览近几年的全国各地的中考试题，试题呈现出重基础，重能力立意，总体难度有所下降，且难度有所分散和前移，不再过分集中在最后一道压轴性的大道上，能较好的体现新课程理念。但最后一道填空题往往比较灵活，且分值一般为5分，往往是造成学生失分的主要原因。笔者有幸参加2007年绍兴市中考的填空题阅卷工作，从最后一道填空题抽样的统计结果看，学生的得分率相当低，已成为中考中一个不大不小的另类“压轴题”。这些“压轴性”填空题有着共同的特征：试题的背景丰富，形式多样，信息量大，处理数据的能力要求高。本文拟从不同的层面剖析2007年中考试题中出现的“压轴性”填空题，供参考。
一、图表信息型“压轴题”占有一席之地
所谓图表信息题，是指题目中的信息大多以表格形式或函数图像给出的一类数学问题，其目的是考查学生将实际问题抽象成函数等数学问题的能力及获取数据的能力。这类题型充分体现了新课标的“数学作为一种普遍适用的技术，有助于人们收集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题，直接为社会创造价值”的理念。因此图表信息型填空题往往背景鲜活，贴近生活，关注社会热点问题，时代气息浓厚，呈现形式多样，它要求学生能从所给的图像、表格、文字中获取正确的信息，从而解决问题。
例1：（2007年萧山市） 张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方式如下表所示：
欲购买的
商品
原价（元）
优惠方式
一件衣服
420
每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券
一双鞋
280
每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券
一套化妆品
300
付款时可以使用购物券，但不返购物券
请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际所付出的钱的总数为_________元。
解析：由表格可知，最省钱的购买方案应是尽可能多的使用返还的购物券，故应先买一双鞋，付现金280元，返购物券200元，再买一件衣服只需付现金220元与返还的200元购物券即可，此时还可再返购物券200元，再加上100元即可购买一套化妆品，共用去600元。
例2：（2007绍兴市）绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示． 某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 ___条．
解析：由图1可知每条灌装生产线每小时灌装650瓶，由图2可知每条装箱生产
线每小时装750瓶，由图3可知8:00～11:00这个时段内未装箱的瓶装黄酒为每小时（700-400）÷（11-8）=100瓶，故可设灌装生产线有x条，则装箱生产线有（26-x）条.
由题意得：650x-750(26-x)=100
解得： x=14
所以灌装生产线有14条.
评注：例1是最近比较热门的“满就送”、“满就减”等商场打折为背景，计算要求不高，只需一些生活常识即可.例2表面上好像是函数问题，而实际上是方程问题，函数图像只不过提供了关于生产中的一些信息.
二、阅读探究型“压轴题”崭露头角
所谓阅读探究题，是指给出一定的文字或给出某个数学概念或命题或解题过程，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。这类题型充分体现了“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者和合作者” 这一新课程理念。通过这类题型的教学有助于培养学生阅读理解、收集信息、处理信息及自学能力。
例3：（2007年杭州市）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解。”提出各自的想法。甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 。
解析：所求方程组的未知数太多，不可能直接求解，因此参考三人讨论去寻找思路较为科学，显然甲与乙的讨论价值不大，只有丙的说法可以参考：
方程组的解是 （1）
故把方程组变形得 （2）
比较方程组（1）与（2）得
例4：（2007年江西）某化工厂2006年12月在制定2007年某种化肥的生产计划时,收集了如下信息:
(1)生产该种化肥的工人数不能超过200人;
(2)每个工人全年工作时数不得多于2100人;
(3)预计2007年该化肥至少可售销80000袋;
(4)每生产一袋该化肥需要工时4个;
(5)每袋该化肥需要原料20千克;
(6)现库存原料800吨,本月还需用200吨,2007年可以补充1200吨.
根据上述数据,确定2007年该种化肥的生产袋数的范围是_____________.
解析：设2007年生产该化肥x袋，从工时上、从原料上、从销售量上分别进行考虑有
解得：
2007年该种化肥的生产袋数的范围是8万到9万袋之间
评注：例3是要求通过对一个“讨论情景”的阅读，模仿它提供的的方法进行求解，此类题型有时是通过阅读相关内容以后进行公式套用，或概念辨析，再结合合已学知识解决有关问题。例4要求从“阅读理解”的基础上会进行多角度考虑问题。
三、规律探索型“压轴题”宝刀不老
规律探索是历年中考的考查重点，起到“拉分”作用，可谓宝刀不老。它有利于对学生数感的培养，数形结合能力的提高。
例5：（ 2007年德阳市）如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0）根据这个规律探索可得，第个点的坐标为____________．
解析：由图可知规律一：横坐标为1的点有1个，横坐标为2的点有2个，横坐标为3的点有3个，依此类推……
规律二：横坐标为偶数，则箭头向上；横坐标为奇数，则箭头向下.
1+2+3+…+13=91<100<1+2+3+…+13+14=105
第92个点到第105个点的横坐标均为14，且箭头向上.
第100个点的横坐标为14，纵坐标为100-91-1=8
即第100个点的坐标为（14，8）.
评注：规律探索作为压轴性的填空题时，它往往是以数字规律为主要背景，出现的形式有：数字规律，周长规律，面积规律等等，尤其值得关注的是由于新课程中增加了《图形与坐标》这一块内容，因此类似于例5的有关点坐标的规律探索正在逐年加强。
四、函数、几何综合型“压轴题”风光依然

随着新课程理念的逐步深入，函数与几何综合题已从“知识立意”向“能力立意”转变，作为填空题时则更注重基础与能力的结合，渗透了数形结合的思想方法．
例6：（2007年眉山市）如图，已知等腰直角的直角边长与正方形的边长均为20厘米，与在同一直线上，开始时点与点重合，让以每秒2厘米的速度向左运动，最终点与点重合，则重叠部分面积（厘米）与时间（秒）之间的函数关系式为 ．
解析：在运动过程中, 重叠部分的图形始终为等腰直角三角形,当运动t秒时，则AN=2t，从而AM=20-2t，故
例7：（2007年诸暨市）小明设计了一个电子游戏：一电子跳蚤从横坐标为t(t＞0)的P1点开始，按点的横坐标依次增加1的规律，在抛物线＞0)上向右跳动，得到点P2、P3，此时△P1P2P3的面积为 。
解析：显然△P1P2P3是不规则三角形，因此它的面积无法直接计算，注意到三个点的横坐标依次增加1，过，，三点分别作，，垂直x轴（如图），则坐标为（t,at2），点坐标为（t+1,a(t+1)2），点坐标为（t+2,a(t+2)2）
=--
=a
评注：函数与几何综合性填空题往往是以“动点”的形式出现，例6是以图形的变动产生函数问题，此类问题有时还要求求出变动过程中的周长或面积等的最大（小）值；例7是函数图像中几何图形的面积计算，涉及一定的计算要求。
五、几何操作型“压轴题”备受青睐
所谓几何操作题，就是指利用指定的工具和材料，动手操作，自主探究，适当猜想，而后验证猜想，最终解决问题的一种题型。通过对三角板的操作，探索图形中存在的变化规律，让学生亲身经历知识的发生、发展过程，有效地考查了学生发现问题和解决问题的能力，同时，也使学生在探索和解决问题的过程中感受数学的美妙，领略数学的魅力。
例8：（2007年泰州市）如图在2×2的方格纸上，有一个格点△（即顶点均在格点上的三角形，下同）则在图中可以找到________个三角形，使其与△成轴对称
解析：通过画图或三角板的摆放，可以找到以下4种符合要求的图形（阴影部分的三角形）
例9：（2007年金华市）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点是正六边形的一个顶点，以点为直角顶点作格点直角三角形，请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．
解析：由于每个等边三角形的内角均为，要产生以P为顶点的角，因此必须把其中一个等边三角形的内角平分，如图所示，连接PA并延长至B点，则=，从而符合要求的斜边有AC，AD，BC，BD，由勾股定理可知AC=2，AD=，BC=， BD=4
评注：通过以上两例不难发现，作为几何操作性填空题，它往往以格点（或点阵等）为背景数符合要求的图形个数，计算的要求并不高，但有一个难点那就是要求做到不重复也不遗漏。
六、立体几何“压轴题”初露端倪
新课程中，初中几何已打破了原有的平面几何一统天下的局面，逐步增加了立体几何，更是增加了一些基本的立体几何（如正方体、长方体、圆柱体、圆锥体等）的展开图以及规则几何体的三视图和投影问题，以增加几何的直观性和实用性，由于它是初高中的衔接内容，后续学习要求高。因此作为具有选拔性的中考来讲，这部分内容正在逐渐被重视，以它为载体的综合性“压轴题”也在推陈出新。
例10：．（济南市2007年）如图所示是某种型号的正六角螺母毛坯的三视图，则它的表面积为 ．
解析：由正六角螺母毛坯的三视图可知它的上、下底面是两个全等的正六边形，六个侧面是全等的矩形，故它的表面积为= cm2
例11：（2007年河北省）图1是三个直立于水平面上的形状完全相同的几何体（下底面为圆面，单位：cm）．将它们拼成如图2的新几何体，则该新几何体的体积为 _______ cm3．（计算结果保留）．
解析：由题意知要求出图2的体积必须求出图1中的一个几何体的体积，不难发现图1中两个几何体可以拼成一个高10cm ，底面直径为4cm的圆柱体，从而图2的几何体的体积为3×= 60cm3
评注：立体几何的压轴性填空题往往把立体图形与其表面展开图、视图等有机地结合起来，以求表面积与体积为主，体现了二维与三维的相互转换与对应，融考查数学知识、基本技能、数学思想方法、空间想象能力及应用探究能力于一体。
中考复习课的几点思考
数学学习是创造性的的思维活动,在课堂教学中,我们在帮助学生认识、分析数学现象的同时，应该深入到数学知识的本质，在中考复习中尤其要做到这一点.
下面就中考复习课谈几点粗浅的看法.
一.概念复习，要深入透彻
概念教学是在复习课中较难处理的，由于时间紧，任务重，概念复习往往一带而过，视已掌握．但由概念的特殊地位，应加以重视．再加上学生认识水平的提高，已能从更高的角度来理解，概念复习不是简单的陈述和重复．引导学生揭示概念的内涵，抽象出本质，准确把握其外延，理解掌握各种变式，具有重要意义．
如函数的概念，在平时练习和中考都不泛它的身影．
１．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件，如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
这里没有明确出现函数概念，其中每星期的销量与定价、每星期的利润与定价其实就是一种函数关系，当然，学生用代数方法解决时并不一定非得从函数角度去理解．
２．（2008年贵阳市）某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
设每个房间每天的定价增加元．求：
（1）房间每天的入住量（间）关于（元）的函数关系式．（3分）
（2）该宾馆每天的房间收费（元）关于（元）的函数关系式．（3分）
(3）该宾馆客房部每天的利润（元）关于（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，有最大值？最大值是多少？（6分）
这里明确提出要求函数关系，若对函数概念不熟悉或心存疑惑的话，恐怕就不会明白，所谓的函数关系其实就是用ｘ来表示ｙ、ｚ、ｗ．
３．（2008年泰安市）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数（亩）与补贴数额（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益（元）会相应降低，且与之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．
（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？
（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数和每亩蔬菜的收益与政府补贴数额之间的函数关系式；
（3）要使全市这种蔬菜的总收益（元）最大，政府应将每亩补贴数额定为多少？并求出总收益的最大值．
这里的ｙ、ｚ与ｘ的函数关系是用图象给出的，进一步考查了对函数概念的理解掌握．
３.（2006 青岛）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，得到如下数据：
销售价 x（元/千克）
…
25
24
23
22
…
销售量 y（千克）
…
2000
2500
3000
3500
…
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对
（x，y）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，
判断y与x之间的函数关系，并求出y与x之间的函
数关系式；
（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润
P（元）与销售价x (元/千克)之间的函数关系式，
并求出当x取何值时，P的值最大？
这里ｙ与ｘ的函数关系，则是由表格　　 图象
　解析式对函数进行了全面的考查．
在一次复习研究课上，上课老师在复习等腰三角形概念时．画了两种类型的等腰三角形如图，老师问为什么要画两个等腰三角形，学生答曰在等腰三角形问题里如果没有出现图形，那么应该分等腰锐角三角形和等腰钝角三角形这两种类型讨论．这一方面贯彻了概念教学中的变式教学，同时也培养了学生思维的严密性．这节课中，象＂如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，求这个等腰三角形的各个内角＂这类易错题学生都理解掌握了，说明概念复习非常到位。
二．得出判断，要探根寻源
判断可以看作是压缩了的知识链，数学定理、性质、法则、公式、规律等结论都是一个个具体的判断．一方面我们要在教学中引导学生积极参与这些结论的探索、发现、推导的过程，另一方面我们要把这种探根寻源的方法用到平时的学习和复习中来．复习阶段对一些简单的结论，我们不妨停下来探探根，寻寻源，多问几个为什么．一些中等生往往缺乏这样的主动性，知之不深，在练习考试中屡屡受挫，但又不知源由．若在课堂中，把探根寻源变做一种习惯，一种常态，可以帮助这类学生的提高．
如《立方体的展开图》一节中，当师生共同合作得出如图的十一种不同情形后，
引导学生掌握＂一四一＂，＂二三一＂，＂三三＂，＂二二二＂模式，并注意归纳这些模式的特点和变式，那么掌握立方体的展开图是不难的．
在历次考试中，总有学生把解方程与代数式化简混淆，如果我们在课堂解答过程中，多讲讲步骤及依据，这样的错误应该会减少.
三．推理分析，要融会贯通
推理分析，就要使已有的结论上下贯通，前后迁移，左右逢源，尽可能从已有条件生发众多的思维触角，促成思维链条的高效运转．使所学的知识融会贯通，形成一个知识整体．
2004年绍兴中考23题:
如图CB、CD是⊙O的切线,切点分别为B、D,CD的延长线与⊙O的直径BE的延长线交于A点,连OC、DE
(1)探索OC与ED的位置关系,并加以证明;
(2)若AD=4,CD=6,求tan∠ADE的值.
这道题是由华师大九年级第六章第四节作业题的改编而来,第(1)小题可由初中几何中的任意一块知识加以解答.无论是运用特殊三角形知识,还是全等三角形知识,抑或相似三角形知识都可以解决,当然你也可以利用圆的知识,线段中垂线性质,中位线等知识解决.第(2)小题或转化或构造，在求tan∠ADE的值时八仙过海，各显神通.但在改卷过程中,这道题的出错还是比较多的,不少人牵强附会,一厢情愿地证DE为△ACO中位线,也有的路走对了,却走不到终点.
思维的发散性和多样性,注定了解法的多样性.
浙教版九下作业本第四章复习题:
如图,直接测量路灯的高度OP有一定困难,于是小李将一根2米长的竹竿竖要路灯旁的A处,量得竹竿AE的影长AC为1米;然后小李沿着竹竿影子的方向走了3米到达B处(即AB=3米),竖起竹竿,此时竹竿BF的影长BD为1.8米.求路灯的高度.
这道题的一般做法是利用△CAE∽△CPO，△DBF∽△DPO得到PO，PA的关系式或方程组，然后求出PO，但一些同学独辟蹊径，连结EF，先利用△OEF∽△OCD求出OE：OC=3：3.8,从而得出CE：OC=0.8：3.8,再利用△CAE∽△CPO,求出PO.这样避免了繁琐的解方程组,把已知条件用最直接的方式加以利用.
四．问题剖析，要重思想方法
通过问题解决，培养数学应用意识，构造数学模型，提供数学想象．问题解决是学生学习数学的主要方式，也是教师的重要教学手段．当遇到新问题时，首先把已知和未知与原有的认知结构进行同化，再在数学思想的指导下选择适当的方法加以解决．遇到问题，运用数学思想揭示、沟通，然后选择方法进行解决，这是一种由高层次到低层次的掌握运用的方案．
特级教师孙维刚在《孙维刚导学初中数学》一书中介绍了14岁的李毅对题“a、b、c、x都是实数，并且a＜b＜c，试求|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值”给出的解法：如图, |x-a|、|x-b|、|x-c|表示了点ｘ到点ａ，ｂ，ｃ的距离，欲使距离和|x-a|+|x-b|+|x-c|最小那么三线段必须没有重叠部分．显然当ｘ＝ｂ时，其距离和最小，为|ｃ-a|．这与数学思想数型结合是密不可分的，与其说是解法巧妙，到不如说是在数学思想的的巧妙．
（07杭州）三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解。”提出各自的想法。甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替换的方法来解决”。参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 .
若不是掌握了换元思想,这道题是不可能得分的.
五．课堂小结，要纵横深化
课堂小结是揭示知识之间的内在联系、总结知识要点和注意点、深化知识的必要环节．教师应该要纵横两方面整理出数学思想方法及其系统，及时深化．譬如，在三角形全等判定的总结，在理解掌握ＳＡＳ，ＡＳＡ，ＡＡＳ，ＳＳＳ定理及直角三角形的ＨＬ定理的基础上，不妨对ＳＳＡ的不成立加以深刻分析，并在限定三角形类型的前提下，再探讨命题的成立与否．
(1)要证明命题“SSA”是假命题,只需举出反例:如图△ABC与△ABＣ＇, 有AB=AB,BC=BＣ＇，∠A=∠A,但△ABC与△ABＣ＇不全等.
(2)SSA在直角三角形中是成立的.
(3) SSA在锐角三角形中也是成立的.
(4)若钝角三角形中有两边和其中一边的对角对应相等,且另一边所对的角同为锐角(或钝角),则SSA在钝角三角形中是成立的.
六． 自主创新，要养成习惯
要新课程改革的今天，创新题层出不穷,不仅考知识的掌握和运用,,更是在考数学的本质.
（2006绍兴）如图，正方形OABC，ADEF的顶点A，D，C在坐标轴上，点F在AB上，点B，E在函数y=的图象上，则点E的坐标是( )
A． B．
C． D．
虽说是简单的考坐标与函数关系,其条件的分析运用却见功力, 习惯于从概念到概念,从公式到公式, 长期局限于书本或依赖老师的学生,就力不从心了.
例如对上面的命题“SSA”,我们还可以继续研究：
⑸上图中的反例当且仅当∠A为锐角,且BC满足条件 ABsinA⑹观察上图发现,满足条件“SSA”但不全等的三角形发生在:①一个锐角三角形(上图中△ABC的∠ABC为锐角时)与一个钝角三角形之间; ②两个钝角三角形(上图中△ABC的∠ABC为钝角)之间.
⑺推广：“有一组对边相等和一组对角相等的四边形是平行四边形”的反例可以用上面反例中的“一个锐角三角形与一个钝角三角形”拼成，如把上图中的△ABC＇先沿BD翻折再绕BC的中点旋转180°后得到的三角形与△ABC而成的四边形虽符合命题条件，但显然不满足命题结论.
(8) 如图1,在梯形ABCD中,已知AB∥CD,E为BC边的中点,且AE平分∠BAD.在AD上取AF=AB,连结EF,问△DFE是否与 △DCE全等?
如果你以为△DFE与 △DCE满足的条件为“边边角”一定不全等,那就错了.
同样,下一题你会选谁呢?
根据下列条件, 能唯一画出△ABC的是:( )
A、AB=3,BC=4,AC=8. B、∠A=30°，AB= 3，BC= 4
C、∠C=90°,AB=6. D、AC=6,AB=10.
要让自主创新，成为一种习惯,这样才能在中考中取胜.
在2006年绍兴市中考我们看到了这样的题:
我们知道,两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等,那么在什么情况下,它们会全等?
阅读与证明:
对于这两个三角形均为直角三角形,显然它们全等.
对于这两个三角形均为钝角三角形,可证它们全等(证明略).
对于这两个三角形均为锐角三角形,它们也全等,可证明如下:
已知: △AB C、△A1B1C1均为锐角三角形, AB =A1B1, B C=B1C 1 ,∠C=∠C1.
求证: △AB C≌△A1B1C1.
(请你将下列证明过程补充完整.)
证明:分别过点B, B1 作BD⊥CA于D, B1D1⊥C1A1于D1,
则∠BDC=∠B1D1C1=90°，
∵B C=B1C 1 ,∠C=∠C1 ,
∴△B CD≌△B1C1 D1,
∴B D=B1D 1 .
归纳与叙述:
由(1)可得到一个正确结论,请你写出这个结论.
中考数学函数类应用题解题策略
从近几年各地的数学中考试卷来看，我们发现函数类（尤其是一次函数）应用题所占的比例相当大，函数类应用题，已成为各地中考命题的热点。这类问题通常是从函数图象或图表中得出需要的信息,然后利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式解决问题。下面笔者试从以下几个方面谈一下中考函数应用题的命题特点，与各位同仁共同来探讨：
1．日常生活类　　主要指与人们生活密切相关的问题（如储蓄、股票、电信、水电、保险、煤气开放、纳税等）
例1．（07南京市）某市为了鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20时，按2元／计费；月用水量超过20时，其中的20仍按2元／收费，超过部分按元／计费．设每户家庭用用水量为时，应交水费元．
（1）分别求出和时与的函数表达式；
（2）小明家第二季度交纳水费的情况如下：
月份
四月份
五月份
六月份
交费金额
30元
34元
42.6元
小明家这个季度共用水多少立方米？
解：（1）当时，与的函数表达式是；
当时，与的函数表达式是
，
即；
（2）因为小明家四、五月份的水费都不超过40元，六月份的水费超过40元，
所以把代入中，得；
把代入中，得；
把代入中，得．
所以．
答：小明家这个季度共用水．
例2．（07聊城市）2005年10月27日全国人大通过《关于修改〈中华人民共和国个人所得税〉的决定》，征收个人所得税的起点从800元提高到1600元，也就是说，原来月收入超过800元的部分为全月应纳税所得额，从2006年1月1日起，月收入超过1600元的部分为全月应纳税所得额．税法修改前后全月应纳税所得额的划分及相应的税率相同，见下表：
全月应纳税所得额
税率（%）
不超过500元的部分
5
超过500至2000元的部分
10
超过2000至5000元的部分
15
某人2005年12月依法交纳本月个人所得税115元，假如本月按新税法计算，此人应少纳税 80 元．
点拨：以上两个题目都是与我们日常生活密切联系的，也是近几年中考题中经常出现的分段函数应用题，由于中考具有一定的选拔功能，时常会出现一些与高中知识的衔接点作为立意的中考题，这种知识点的衔接，主要是一种“渗透”，而非纯高中知识的应用，它限定于初中生所能接受的范围之内，体现出数学知识之间的变通性和统一性，借以考查学生思维的灵活性、综合性和深刻性、创造性。
2．经济决策类　　经济决策类应用问题是运用数学知识对已知的信息进行分析处理，从而作出合理的判断和科学决策的一类问题．
例3．（07孝感市）我市一水果销售公司，需将一批孝感杨店产鲜桃运往某地，有汽车、火车运输工具可供选择，两种运输工具的主要参考数据如下：
运输工具
途中平均速度
（单位：千米/时）
途中平均费用
（单位：元/千米）
装卸时间
（单位：小时）
装卸费用
（单位：元）
汽车
75
8
2
1000
火车
100
6
4
2000
若这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为150元/时，那么你认为采用哪种运输工具比较好（即运输所需费用与损耗之和较少）？
解：设运输路程为x(x>0)千米，用汽车运输所需总费用为y1元，
用火车运输所需总费用为y2 元.
y1=(+2) ×150+8x+1000 ∴ y1=10x+1300
y2=(+4) ×150+6x+2000 ∴y2=7.5x+2600
（1）当y1> y2时，即10x+1300>7.5x+2600 ∴x>520；
（2）当y1= y2时，即10x+1300=7.5x+2600 ∴x=520；
（3）当y1< y2时，即10x+1300<7.5x+2600 ∴x<520.
∴当两地路程大于520千米时，采用火车运输较好； 当两地路程等于520千米时，两种运输工具一样；当两地路程小于520千米时，采用汽车运输较好。
点拨：这是一题以表格形式提供信息的函数应用题，根据题意，抓住运输所需总费用等于运输所需费用与损耗之和列出一次函数，然后利用不等式的知识来解决问题 。这类题目在近年的中考数学应用题中出现得最多，它不同于单纯的一次函数，其自变量的取值范围往往有较多的限制条件。同时，在运用一次函数的性质解决问题时，还往往涉及到分类思想。这是近年中考数学应用题的新热点。
3．市场营销类　　这类问题是指在市场营销活动中关于产品成本、价格、利润、销售盈亏活动合理组织安排等方面的分析计算问题．
例4．（07贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．
（1）求平均每天销售量（箱）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．
（2）求该批发商平均每天的销售利润（元）与销售价（元/箱）之间的函数关系式．
（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）化简得：
（2）
（3）
，抛物线开口向下．
当时，有最大值
又，随的增大而增大
当元时，的最大值为元
当每箱苹果的销售价为元时，可以获得元的最大利润．
点拨：通过分析题中的数量关系直接得出函数解析式，再进行应用，这种数量关系型的函数应用题在近几年的中考试卷中也经常出现。.
4．学科渗透类
这类问题是指在数学问题中渗透了其他学科的知识，利用数学知识来解决问题。
例5．（07盐城市）如图所示，小华设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，改变弹簧秤与点O的距离x（cm），观察弹簧秤的示数y（N）的变化情况。实验数据记录如下：
x（cm）
…
10
15
20
25
30
…
y（N）
…
30
20
15
12
10
…
（1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在坐标系中
描出相应的点，用平滑曲线连接这些点并观察所得的图象，
猜测y（N）与x（cm）之间的函数关系，并求出函数关系式；
（2）当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是多少cm？
随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤上的示数将发生怎样的变化？
解：（1）画图略
由图象猜测与之间的函数关系为反比例函数
∴设
把代入得：
∴
将其余各点代入验证均适合
∴与之间的函数关系式为：
（2）把代入得
∴当弹簧秤的示数为24N时，弹簧秤与O点的距离是12.5cm
随着弹簧秤与O点的距离不断减少，弹簧秤上的示数不断增大。
点拨：这是一题探究杠杆平衡条件的实验题，很好地进行了学科之间的渗透，试题还考查了学生的动手操作、猜测、验证等能力，是近几年中考函数类应用题的又一亮点。
以上几个例题都是各地的中考试题，解决这些问题，涉及到的知识有一次函数（包括正比例函数），二次函数，反比例函数。但我们也应该清醒认识，并非所有这类问题都必需用函数知识去解决，有时也可以用方程、不等式或列算式来解，或许会更简单。如：
例6．（07大连市）星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发2小时到达目的地，游玩3小时后按原路以原速返回，小强离家4小时40分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图，是他们离家的路程y(千米)与时间x(时)的函数图像。已知小强骑车的速度为15千米/时，妈妈驾车的速度为60千米/时。
（1）小强家与游玩地的距离是多少？
（2）妈妈出发多长时间与小强相遇？
解：（1）15×2=30 （千米）
（2）方法一：（利用函数方法）
由于小强从家出发2小时到达目的地，所以按原路以原速返回也需要
2小时，所以直线BD经过点（7，0），又B（5，30），这样可求出直线BD
的解析式是，因妈妈驾车的速度为60千米/时，所以到5时妈妈行使了20千米，故直线CD经过点（5，20），又C（）可求得直线CD的解析式是，然后求得直线BD与直线CD的交点D（），（小时），所以妈妈出发小时与小强相遇。
（2）方法二：（利用列算式）
=（小时）
点拨：有些函数问题其实不需要用函数知识去解，关键我们在解函数应用题时，能否能从所提供的函数图象中去获取我们所需要的一些有用信息，如上题的第（2）小题用列算式更简单。
　　函数知识几乎涉及到现实生活的方方面面，从各地的中考试题来看，能利用鲜活的实际背景命题，体现了数学知识的实用性，有利于考查和培养学生“用数学”的意识。同时近几年的中考应用题比较重视对学生收集处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力等能力的考查。随着中考命题改革的不断深化，它会呈现出更加多姿多彩的特点，适应素质教育和时代发展的要求。
中考数学复习中的“专项训练”设计刍议
美国杰出的数学家波利亚指出，“任何学问都包括知识的积累和能力的训练两个方面．”“在数学上，能力的训练比起单纯的知识的堆积重要得多．” 而“中学数学教学的首要任务就是加强解题的训练．”在新课程改革日益向纵深阶段推进的今天，教师们都在积极思考一个问题：如何有效提高课堂效率，培养和提高学生分析、解决问题的能力？特别是在中考数学复习教学过程中，教师可以利用的课堂教学时间十分有限，既要引导学生全面复习所学知识，又要切实提高分析、解决数学问题的能力，如何进行具有较强针对性的复习教学设计显得尤为重要．笔者认为，九年级数学教师在进行常规复习教学的同时，应该安排“专项训练”以增强复习教学的效果．
所谓“专项训练”，是指教师组织学生进行以提高解题能力的核心目标的一系列有针对性的训练．包括考查基础知识的诊断性训练，提高解题速度的限时性训练，把握易错易混知识的辩析性训练，综合运用知识、思想方法的分析性训练，解决典型性问题的指向性训练以及迅速从信息型问题中提取数学关系的提炼性训练．其原理和作用就犹如竞技体育中教练为运动员设计制订一系列的专项训练一样．教师设计开展此种训练，对提高学生分析、解决问题的能力具有特别的作用．设计专项训练的主要原则是针对性，也就是教师应围绕训练的核心目的，设计具有较强针对性的教学内容，并引导学生积极参与到训练过程中去．这样才能保证“专项”训练的“专门”效果．
1 考查基础知识的诊断性训练
经过第一阶段对整个初中阶段所学知识的全面梳理，学生较为系统地复习了基础知识，这比新授课时的掌握情况有了新的提高．如何诊断学生的复习效果，教师宜设计编制一些基础知识的诊断性训练（也可以回归课本，选用一些课本中的典型例、习题），难度不宜过大，知识的综合程度不宜过高，重点是让学生根据问题条件熟练地重现所涉及的基础知识，准确地解决问题．这类问题在中考试题中所占比重很大，教师和学生都要引起足够重视．
例1 计算：．（绍兴市2008年中考试题17（1），主要考查算术平方根、负整数指数、绝对值、特殊角的三角函数值等）
2 提高解题速度的限时性训练
中考要求学生在规定时间内解答给定的问题，对学生解题速度提出了相应的要求．常有学生抱怨平时数学“学得还可以”，就是到了考试就手忙脚乱，甚至来不及做完整份试卷．避免这种现象的一个好方法是教师在复习阶段设计开展一些以提高解题速度为目的的限时性训练．教师可以设计编制一些难度并不太高的试题，要求学生在规定时间（如10分钟或20分钟）内解决，题量可视难度、计划时间等因素而定（如设计5~8个选择、填空题，或1~2个解答题让学生在10分钟内完成）．这类训练的试题设计可与基础性诊断训练相仿，但训练目的不同，从难度上讲也基本相当，但限时性训练难度可稍低一些．
3 把握易错易混知识的辩析性训练
初中数学中有许多知识教师强调了多次，而学生仍然容易犯错或混淆，也就是我们通常所说的“陷阱”．为避免学生在同一地方摔倒两次以上，教师可以设计专项训练题，在课堂上专门安排时间让学生训练，可以明确告诉学生本次训练的都是“陷阱”题，就是要考察学生的观察和辩析能力，以此来提高学生的警惕性．
例2 的平方根是____________________．（需要计算=2，再求其平方根，易与4的平方根混淆）
例3 等腰三角形的两边长分别为3和4，则它的第三边长为__________________．（需考虑3和4都可作为腰长，易遗漏情况）
例4 将根式外的a移入根号内的结果为______________________．（需考虑隐含条件a＜0，易想当然地认为a＞0）
4 综合运用知识、思想方法的分析性训练
综观历年中考试题，总有3~5个题目属于综合性问题．这类试题常将多个知识点和数学思想方法综合在一起，有一定的难度，要求学生能综合应用所学知识和思想方法求解，学生常感到无从着手，甚至“望题兴叹”．在复习阶段，教师不妨选择1~2个综合问题，引导学生一起分析，体会“分析问题——联系知识——转化迁移——逐步求解”的解题过程，不断提高综合解题能力．其重点应放在如何分析、寻找正确的解题思路，当得出思路以后，后续工作可让学生独立思考解答．
例5 如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A、C的坐标分别为（2，0）、（1，）．将△OAC绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置．抛物线y=经过点A，点D是该抛物线的顶点．
（1）求a的值，点B的坐标；（2）若点P是线段OA上的点，且∠APD=∠OAB，求点P的坐标；（3）若点P是x轴上的点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．写出点P的坐标（直接写出答案即可）．（绍兴市2007年中考试题24）
分析：（1）“将△OAC绕AC的中点旋转1800，点O落到点B的位置”四边形OABC为平行四边形BC∥OA，BC=OAyB=yC=，xB=xC+2=3；“抛物线y=经过点A ”将A点坐标代入可求得a=；（2）“点D是该抛物线的顶点”D（1，）；tan∠OAD=tan∠AOB=∠OAD=∠AOB=600；△APD∽△OAB，进而可求得点P坐标；（3）“以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上”点P（-1 ，0）或（1，0）或（3，0）．
5 解决典型性问题的指向性训练
中考数学试题的类型极为丰富，题型繁多，但绝不是无章可循．有些问题作为初中数学的常考必考题，多年来基本以某种相对固定的模式呈现．对此类问题，教师一方面在平时教学中就应对学生提出模式化的解题意见，就如体操、跳水比赛中的规定动作，要做到准确到位，另一方面应该在复习过程中作针对性的呈现，可以明确告诉学生是典型的问题，考察学生能否在最短时间内重现解题思路．
例6 如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正方形AEDB和正方形ACFG，连结CE，BG．求证：BG=CE．（浙教版八年级下册P147作业题）
本题是初中数学中极为常见的典型问题，其关键是先得到∠EAC=∠BAG，然后利用“边角边”证明△EAC≌△BAG．初中数学中有许多以本题为原型的变式题，教师可以引导学生举一反三地加以比较、类比分析，形成系统．
变式1 如图，分别以△ABC的边AB，AC为一边向外作正三角形ADB和正三角形ACE，连结CD，BE．求证：CD=BE．
变式2 上述第1题中求证：BG⊥CE；第2题中求CD与BE所成的角．
变式3 已知：如图，△ABC是锐角三角形．分别以AB，AC为边向外侧作等边三角形ABM和等边三角形ACN．D，E，F分别是MB，BC，CN的中点，连结DE，FE．求证：DE=FE．（浙教版八年级下册P119作业题）
6 迅速从信息型问题中提取数学关系的提炼性训练
随着新课程改革的深入，数学教学与生产生活实际的联系日渐突出，大量的背景被充入数学问题之中，成为中考数学命题的一个方向，成为情景性问题．对这类问题，教师要重在引导学生如何迅速准确地从大量信息中提练出蕴含其中的数学关系，将问题“数学化”，从而给出解决．在设计这类问题的教学时，我们关注的重点不应是问题解决的全过程，教师一定要弄清训练目的．在提炼出数学关系后，后续工作可让学生在课外求解．如
例7 地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区求援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在A处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄C在北偏西260方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达B处，GPS显示村庄C在北偏西520方向．（1）求B处到村庄C的距离；（2）求村庄C到达该公路的距离．（结果精确到0.1km）（参与数据：sin260≈0.4384，cos260≈0.8988，sin520≈0.7880，cos520≈0.6157）（绍兴市2008年中考试题19）
本题显然结合了2008年我国四川汶川大地震中军民抗震救灾的感人心扉的背景，但教师要引导学生从中提取出数学信息，将其转化为数学问题：已知，如图：∠A=260，∠NBC=520，AB=70km，求BC的长以及点C到直线AB的距离．学生就容易集中注意力解决一个基本的解三角形问题．
亲近生活 注重实践 提炼能力
-------2008年绍兴市学业考试数学试题浅析
08年的绍兴市学业考试试题在总体保持稳定的前提下，局部进行了改革和创新，并且呈现出了中考命题的一些新思路。试题注重对基础知识、基本能力的考查，侧重社会实际与学生生活的紧密联系，注重对学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力以及动手操作能力的考查，尤其是培养学生的创新意识与实践能力的试题在试卷中有较大的渗透。
一、从直接提问走向情境展现，切实考查学生的分析概括能力
直接提问的试题虽然可以考查学生的基础知识，但它只要求知道是什么，不要求知道为什么．长期大量使用直接提问式的考题，容易导致数学教学只重视得到知识结论，而忽视知识形成过程的教学，甚至导致学生死记硬背知识结论，使学生觉得学习数学枯燥乏味，从而对数学失去信心。试题在这方面作了有效的探索，很多知识点的考查都有一定的情景材料。
11．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，那么258000用科学记数法可表示为 ．
20．开学前，小明去商场买书包，商场在搞促销活动，买一只书包可以送2支笔和1本书．
（1）若有3支不同笔可供选择，其中黑色2支，红色1支，试用树状图表示小明依次抽取2支笔的所有可能情况，并求出抽取的2支笔均是黑色的概率；
（2）若有6本不同书可供选择，要在其中抽1本，请你帮助小明设计一种用替代物模拟抽书的方法．
评析：第11题考查的是科学记数法，命题者不是直接的让学生回答258000用科学记数法可表示为多少，而是通过以北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为问题的情境来考查。本题是当前社会热点问题，所选数据真实，体现了北京奥运场馆的雄伟壮观，激发了学生的名族自豪感；引导学生从实际生活中发现数学问题，它把真实的建筑面积与科学记数法的表示方法组合到一起，落实了义务教育的基础性和对学生数学素养的基本要求．第20题以学生熟悉的商场购物为背景，既考查了学生对概率知识的掌握程度，同时也说明了数学知识在现实生活中的应用无处不在。
二、关注生活热点，考查学生学用结合的能力
2008年是不寻常的一年，许多大事在这一年中发生：南方雪灾、汶川地震、北京奥运。这些事件的发生不仅给我们带来了灾难和考验，而且也给我国的发展带来了机遇。在试题中出现了许多贴近生活、联系实际的新颖情境题。这些试题很好地考查了学生观察、想象的能力；这类试题有利于激发学生对数学的好奇心，也有利于培养学生对学习数学的兴趣以及独立思考的能力。
11．北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，
那么258000用科学记数法可表示为 ．
19．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向．
（1）求处到村庄的距离；
（2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km）
（参考数据：，，，）
21．在城关中学开展的“我为四川地震灾区献爱心”捐书活动中，校团委为了了解九年级同学的捐书情况，用简单的随机抽样方法从九年级的10个班中抽取50名同学，对这50名同学所捐的书进行分类统计后，绘制了如下统计表：
捐书情况统计表
种类
文学类
科普类
学辅类
体育类
其它
合计
册数
120
180
140
80
40
560
（1）在右图中，补全这50名同学捐书情况的频数分布直方图；

（2）若九年级共有475名同学，请你估计九年级同学的捐书总册数及学辅类书的册数．
评析：第11题以与北京奥运有关的国家体育场“鸟巢”的建筑面积为问题的情境，命制简单的科学记数法，图文并茂，富有情趣，不仅贴近学生生活，还有效地激发了同学们的爱国热情，使试题具有了时代性。第19、21题考查学生应用三角函数和统计抽样等知识，命题者均以四川地震为背景，表现了中华民族在灾难面前心相通、爱相连的传统美德，进一步激发了学生用爱心去关心他人，为社会做贡献。这些试题既显示了数学的教学价值，同时也是对学生的一次很好的德育教育。符合新课标的育人要求，体现了数学与生活的息息相关。
三、设计剪、折、展等操作型问题，考查学生的空间观念和动手操作能力
为了落实课程标准中对学生空间观念和推理论证方面的要求，绝大多数中考试卷中都设计一些剪、展、折、截、切、拼、接等类问题，让学生通过观察和动手操作等活动，来考查学生的空间观念和动手操作能力。解决操作型问题，首先要求同学们能够深刻地理解并熟练地掌握轴对称、中心对称等的基本性质；其次要求同学们能够仔细阅读，审清题意，并学会运用图形的平移变换、翻折变换和旋转变换寻找变与不变的量；再次要求学生运用分类讨论、类比猜想、验证归纳等数学思想方法，灵活地解决问题。在试卷中好几题都体现了这一思想。
3．如图，沿虚线将剪开，则得到的四边形是（ ）
A．梯形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形
8．将一张纸第一次翻折，折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2），第三次翻折使与重合，折痕为（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
评析：第3题通过剪把平行四边形剪成两个梯形，主要考查学生对梯形概念的理解；第8题通过四次翻折后求，难度较大，但如果平时加强这方面题训练的同学，通过仔细审题，利用翻折变换的对称性不难发现的大小。操作型问题不仅能考查学生的空间观念，对图形的直觉判断，而且还能考查学生的分析综合、抽象概括与逻辑推理的能力，是学生充分展示自己、积极创新的一个很好的平台。
四、重视自主探究，考查学生数学探究能力
培养学生的自主探究精神，一直以来是广大数学教师的不屑追求，同时也是命题人员积极探索并且努力追求的目标之一。试题在这方面也作了有效的探索。探究性试题具有一定的难度，它主要考查学生的阅读理解、探索发现、推理论证、归纳猜想等各种能力，与其它试题相比，探究性试题更有助于培养学生发散性思维能力和逻辑思维能力，有助于克服思维定势，同时更有助于培养学生的创新意识。
23．学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点分别在正三角形的边上，
且，交于点．求证：．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出
了许多问题，如：
①若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点分别移动到的延长线上，是否仍能得到？
③若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别在正方形的边上”，是否仍能得到？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
评析：本题从最基本的数学问题“三角形的全等”开始，一步一步地深入，先由直接证在等边三角形中的全等推广到在延长线上证全等，从而得到；再进一步推广到正方形中是否也具有相似的结论。整道试题构成了一个有机联系的问题链，实质上展示了数学思考的过程和方法，而且容易使学生产生联想：在正五边形、正六边形等中的情形。虽然作为一道中考试题，但是它既考查了学生的数学基础知识，同时也是对学生数学思维的考验和训练，具有很强的探究性。
五、压轴题难度适当，适合考查不同学生的数学学习水平
试卷注意到数学学业考试的目的和性质，精心设置压轴题，综合考查学生的各种数学能力，区分不同学生的数学学习水平，为高一级学校的选拔创造一定的条件。
24．将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
评析： 本题从动点、动线或动图角度切入的常规方法，先从P、Q两点的移动得到，再将沿翻折从而展开题意，是集代数、几何于一体的综合题．构思新颖，开放性较强 ，本题涉及到了三角形相似的判定与性质、勾股定理、平行线、方程思想、化归思想、函数思想等知识．该题从命题技术上采用“低起点、宽入口、坡度缓、步步高、窄出口”的分层考查的手段，因此能完整得分的学生十分不容易，突出了本题的“选拔”功能。
综观这些考题要求学生在平时的学习过程中，要重视对数学本质的理解，切实落实基础知识与基本技能，打好扎实的基本功。教育学生不仅要学会解题，更要学会思考和质疑，培养数学学习的能力。同时还要关注社会生活经历，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，进而获得对数学的理解，最终在思维能力、价值观等方面取得进步和发展。
从2008，看2009
——2008年中考数学试卷给我们的启示
仔细分析绍兴市2008年的中考数学试卷，我们可以看到现在的学业评价考试，注重体现学科特点和新课程理念。可以看出它有以下几个特点：着重考查数学的基础知识、基本技能和基本的数学思想方法，并注重通性通法，淡化特殊技巧；加强了对数学应用意识和用数学观点分析解决问题能力的考查，问题设计体现时代要求，贴近生活实际；适当地体现对动手实践能力和数学探究能力的考查；从2008年的命题情况，我们可以看到2009年的命题方向。
2008年的中考数学试卷一个很明显的特点是：统计概率的题量加大，难度加大。试卷上有2个选择题，2个解答题，共26分，占总分的17.3%，这与现在初中数学中加大统计的份量，增加概率的内容已成共识有关，并且考查难度比前两年有所增大。选择题第10题考查可能性大小的比较：10．本学期实验中学组织开展课外兴趣活动，各活动小班根据实际情况确定了计划组班人数，并发动学生自愿报名，报名人数与计划人数的前5位情况如下：
小班名称
奥数
写作
舞蹈
篮球
航模
报名人数
215
201
154
76
65
小班名称
奥数
舞蹈
写作
合唱
书法
计划人数
120
100
90
80
70
若用同一小班的报名人数与计划人数的比值大小来衡量进入该班的难易程度，则由表中数据，可预测（ ）
A．奥数比书法容易 B．合唱比篮球容易
C．写作比舞蹈容易 D．航模比书法容易
这个统计概率题它作为选择题的压轴题出现，学生普遍反映题目理解上有难度，难在哪里呢？主要是除了题目给我们的一些信息以外，我们还要合理的猜想出表中没有列出的班级的报名人数和计划人数，学生不会合情猜想，导致这一题的得分率不高。解答题20题的第2小题考查设计一种用替代物模拟实验，这刚好是我们数学教学中的软肋，我们在平时的教学中不重视这种替代物模拟实验，课堂上没有进行充分的演练，而且在复习阶段也会忽略这一方面的内容教学，所以在中考试卷中出现，学生在用文字描述这个实验上都出现问题，导致这个替代物模拟实验表述不清楚，学生无谓失分较多。
2008年的中考数学试卷第二个明显特点是：几何题的考法有新的动向，它来源于课本，且高于课本。试卷的倒数第二题的证明题来源于课本习题：
23．学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点分别在正三角形的边上，
且，交于点．求证：．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出
了许多问题，如：
①若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点分别移动到的延长线上，是否仍能得到？
③若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别在正方形的边上”，是否仍能得到？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
这个题的图形我们很熟悉，在平时练习中经常出现，中考试卷中的第2小题是对这一图形进行合理的探究变形，并且解答形式适度开放，体现学生的个性差异。
又如选择题9题，9．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
投影问题也是一个很基础的题型，中考试卷的投影问题同样来自我们课本习题的改编，它的投影不仅落在地面上，而且还有一部分落在台阶竖面上，又是一个课本题的改编和提高。
这类几何题，它来源于课本，且高于课本，这样的试题既能使学生快速熟悉题目，让学生看得眼熟，同时又有探索性，又能有利于引导教师在平时的教学中要认真研究教材、吃透教材。
最后解答题的压轴题以动点几何、坐标几何的形式出现。动点几何、坐标几何可能又会成为近几年中考的新热点，这其实是中考压轴题的循环回归。
2008年的中考数学试卷另一个特点是：操作性题目的加入，通过设计图形操作，来体现对学生动手实践的考查。如第8题，8．将一张纸第一次翻折，折痕为AB（如图1），第二次翻折，折痕为PQ（如图2），第三次翻折使PA与PQ重合，折痕为PC（如图3），第四次翻折使PB与PA重合，折痕为PD（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
学生通过对图形的想象很难把这一题做出来，但只要能按照图示信息，动手折叠一下纸片就可以得到答案。又如第6题，6．如图，量角器外缘边上有A，P，Q三点，它们所表示的读数分别是，，，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
能看懂这个题目的同学解答应该没有什么问题，其实这一题还有一种动手操作的求解方法，只要用圆量角器，在纸上按样画一下图形，测量得到的度数就可以得到答案。
2008年的中考数学试卷还有一个特点是：设计新的信息，考查学生的学习能力。从2007年起，绍兴市的中考试题都出现了与函数相关的阅读理解题，07年出现一个新的概念“生成函数”，08年的试卷中同样是第22题定义了“一次函数的特征数”： 定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．
同样是一个阅读理解题，来考查学生的后续学习能力，现在的阅读理解题与过去的信息阅读题相比，不仅仅再是阅读有关信息，直接套用信息，而需要学生深入理解其中的思想方法，并把这种方法迁移到新的问题解决中去，因而较好地考查了学生后续的学习能力。
今年的中考数学试卷自行编拟创新题，并通过对课本教材中例题、练习题的改编或改造，来关注对解决问题能力的考查，有较好的区分度、效度和信度，对初中数学教与学两方面都起到了良好的导向作用。从2008年的命题情况、试卷特征，我们可以看到2009年的中考数学的命题方向。

做深做透例题文章　提高中考复习效益
——以绍兴市近三年中考为例
怎样科学地设计，精心地组织课堂教学，使复习取得实效，是每一个初三教师一直关注并倾心研究的课题。笔者联系自己的教学实践和参加近三年中考阅卷的体会，觉得做深做透例题文章是提高总复习的质量和效益的关键。现就精选例题、讲解例题、提高解题效能的角度谈自己很肤浅的几点体会，供同行参考。
一、精选各类例题
随着新课改的不断深化，试题一改以往“苦涩”的面孔，越来越贴近实际。同时呈现方式也在不断变化，如采用对话、游戏、表格等新颖的方式。切实加强各种类型的例题教学，对于学生理解和掌握基础知识、培养能力、发展智力、训练思维是至关重要的。教师要认真学习中考说明，研究近几年题型，挑选适宜的试题作为例题，努力让自己的复习教学既做到“温故而知新”，又能收到事半功倍的效果。所说的适宜，就是要看是否有利于学生的“消化”、“吸收”，是否着眼于学生长久的发展。
1、精选“概念型”例题。数学概念教学既是数学教学的重要环节，又是数学学习的核心，是学生思考问题、推理证明的依据。对于建立概念的例题，教师必须抓住例子的特征，突出概念本质，讲清概念的形式，使学生不但掌握它的本质，而且掌握它与其它概念的联系与区别，同时掌握表示这个概念的数学符号。
2、精选“基础型”例题。由于中考采用两考合一的形式，首先要强调的是它的水平测试功能，必然面向全体学生，注重对数与代数、空间与图形、概率与统计、函数与方程这四个板块的基础知识、基本技能的考查，其中容易题、稍难题、较难题的比为7：2：1，基础题所占比重很大，如果把这部分分值全部拿到,中考数学得分就不会太低。但学生对基础知识印象不深、理解不透，运用不灵，却是历年中考中普遍存在的现象。因此，在基础知识教学中，教师要注意所举的例子，必须要有一定的基础性和代表性，在对例题进行分析引导时，要紧扣定义、定理、法则、公式，并善于指出学生容易出错的地方。
3、精选“应用型”例题。近几年来的中考更加关注数学与现实的联系，涌现了许多立意新颖、应用性较强的试题，试题取材于生活背景，并多以图表信息题的形式出现，凸现着试题的教育价值。有些具有鲜明的时代气息：如08卷中涉及地震灾区救援、捐书，奥运会国家体育场“鸟巢” 的面积。有些具有地方特色，如07卷第16题黄酒生产问题。有些贴近学生生活实际，如06卷第22题寄信问题，第24题住校生打水问题。07卷第20题建自行车车棚问题。因此，在复习教学中教师要选取有代表性如：经济投资类中的利润资费问题、运动变换类中的位置面积问题、方案设计类中的最优化（最值）问题等，引导学生通过表格、图象和图形观察、提炼信息，进行数学化设计，即建立数学模型, 如方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型，最终促成问题解决。
4、精选“综合型”例题。此类题型以直角坐标系为载体，融函数、方程、几何为一体，综合性强，往往要用到函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合等数学思想方法，对学生的思维能力要求也较高，常被冠以“压轴题”的头衔。因此，教学时教师一定要有针对性地选好题型，利用知识的内在联系，引导学生寻找解决问题的方法，应从数学的基本方法、基本联系、基本思想抓起 ，切实提高学生数学知识的综合应用能力。
5、精选“探究型”例题。中考试题中，开放性、探索性试题频频出现，已然成为一道亮丽的风景线。
（1）规律性探究型。如：06卷第8题正方形翻转问题。08卷第16题求正三角形外的阴影部分面积问题。
（2）阅读探究型。该类型是指给出一文字或给出某个数学概念或命题或解题过程等，在阅读的基础上要求对其本质作描述性的回答或进行判断、概括或让学生在变化了的新环境中运用新知识解决新问题。如：06卷第22题，08卷第23题。
（3）新定义型。如06卷第8题“共边三角形”，07卷第22题“生成函数”、 08卷第22题“一次函数的特征数”。
（4）实验型。突出对学生参与数学活动和动手能力的考查。常以学生熟悉的三角形、平行四边形、矩形、正方形、梯形为背景，通过裁剪、折叠、平移将给出的几何图形进行变换。如06卷第19题拼轴对称图形；07卷第7题用折纸来说明画平行线的依据，第10题研究图形变换方式，第19题涂成轴对称图形；08卷中考中的第3题和第8题，其中第8题经历四次翻折后仍要将纸复原，对学生来说是个不小的考验，第18题画对称后的图形。其它如：06卷年第4题、07试题第5题，分别用“吋”、“拃”来估计物体的长度； 07卷第9题测玻璃球的体积；
课堂教学中，在强调落实“三基”的同时，注重知识形成过程，注重使学生经历观察、操作、猜想、推理等探索过程。使他们在碰到此类型题目时能冷静处理，进行有条理的思考，寻找解题的途径和方法。
6、尝试改编例、习题。中考中的某些大题源于教材中的例题、习题，如08卷第23题、第24题可以分别在《数学作业本》、《初中生学业评价指导用书》中找得到原型，这种现象在基础题中更是普遍。因此，教学中应特别重视对课本中典型问题与习题进行二次开发，或引申发散，或加工改造，或建立关联题组。要让学生通过对课本重点题型的研究，对教材有总体的把握，对知识点有整体的梳理。
二、有效讲解例题
在精选各种例题的基础上，提高中考复习效益的关键在于有效讲解例题。复习教学中有的教师只讲解题目该如何做，有几种方法，而忽略了通过复习课讲解这类问题的解题策略，因而导致学生遇到类似问题，不会思考，还是不会做。事实上，复习课不是对新课的简单重复，它是在具备一定基础知识的前提下，对于基础知识进行重新整合，学生通过复习，建立知识之间的联系，提升解决数学问题的能力。
要做到有效讲解例题，首先，教师要解放思想，更新应试辅导教学形式，要从“题海”里跳出来，这既解放学生，也解放自己。在讲解辅导时，既要重视学习结果，更要重视学习过程；既要重视知识获得，更要教给学生获得知识的方法。
其次，在讲解例题过程中，注重题型变式，题型归纳，努力挖掘学生的创造性思维，培养学生的创造能力。要引导学生寻求不同解题途径与思维方式，加强对解题思路优化的分析和比较，鼓励学生大胆质疑，对于合理成分要及时进行鼓励，对于不合理成分，教师因势利导，要有意识地激发和保护创造性火花的产生，从而使学生创造性思维有发育的土壤。教师可以通过改变命题的条件，或变换几何图形的位置、形状和大小，激发学生的学习兴趣，培养学生思维的灵活性和深刻性，提高学生研究和探索问题的能力。对于某些问题可以建立题组，比如判断两个三角形全等、求函数的解析式、解直角三角形等，通过一组题目的讲解，学生不仅学会了一个题目的解法，而且还学会了一类题目的解法，并且这此基础上融会贯通，还能让学生知道，如何去思考和解决一个数学问题，这才算得上是高效的。
再次，我们更要注重创新的教学方式，去引导学生，去挖掘学生的开发学生的智力。如讲解综合题时不妨“大题小做”， 即将一个大题分解成若干个小问题，然后逐步探索各小问题之间的联系，形成一个知识纽带。在这个分解过程中，应注意理顺关系，设计层层递进的“问题串”，让学生在问题的解答中暴露思维过程，进行深入的分析，最终使整个问题得到解决。与此同时，考虑学生的实际情况，要和学生多讨论，多归纳，多总结，使学生掌握一定的条理性和规律性。总之，教师应把要复习的知识进行重新整合，体现层次性、典型性，发挥典型例题的辐射作用。
三、提高学生解题的效能
复习状态的好坏，学习效率的高低的根本原因是取决于学生解题效能的高低。教学实践也使我们体会到，学生听懂了的不一定会做，学生会做的不一定不会出错。因此，提高学生解题效能至关重要。数学中考复习中如何提高学生解题效能呢？
1、注重分层练习
每个人由于自身潜能和爱好等因素，学习能力一般是不平衡的。这就要求教师对学生的学习情况有一个全面、客观的了解和评价。对不同层次的学生应有不同的复习要求，布置不同难度的练习。基础薄弱的学生复习起点应低点，重点放在抓好基础知识，以中低档题训练为主。中等学生除抓好基础知识外，适当拓宽深化。学有余力对数学有浓厚兴趣的学生，要重点发展他们的思维能力，教师可为他们提供资料，并正确指导，发展学生的个性特长。
2、重视落实基础知识
复习时要以课本为主导，即回归课本，对知识点逐一进行认真的梳理，形成清晰的脉络。概念越清晰，对公式、定理和规则越熟悉，解题速度自然就越快。要鼓励学生追求最大的“性价比”，这儿的“性”是指“解题质量”，“比”是指“解题时间”。要告诉学生避免盲目做考纲之外的题目，造成不必要的时间精力浪费．同时教师对现行教材上所没有的内容，也不要盲目地补充，以免增加学生学习的负担。
3、注重落实相应的解题方法
我们也不时抱怨：自己刚讲过的题目，学生为什么还不会做？为什么学生这次做错的题目，下次照样做错？有些学生解题不少，成绩却不好。其实数学学科有其自身的特点和规律，如果忽视解题方法的归纳，解题能力也就难以提高。试想：如果学生连最常规的解题方法也没有掌握，那他能够解决什么数学问题呢？更谈不上能力的培养了。因此教师在教学中应该重视常规解题方法的教学，选择一些典型性的练习和问题，有针对性地落实相应的解题方法，如反证法、换元法、待定系数法、配方法、消元法、因式分解法等等。这样，在解决问题中学生就有了更多的方法与手段，能在比较短的时间里确定合适的解决问题的方法，能够举一反三、一法多用。
4、注重培养学生良好的数学素养
（1）严密细致的审题
审题就是要弄清楚已知是什么？求证或求解的问题是什么?然后去思考，需要用哪些数学知识和思想方法去解决问题？本问题有几种方法解?哪种方法较简便?
有些同学读题浮光掠影，一知半解。做代数题时，忽略隐含条件。做几何题时把从图形中“看”出来的信息误认为是已知条件，如把不是特殊三角形“看”成特殊三角形的，把未知的位置关系“看”成平行、垂直的，把要推理之后才知道是圆直径的“看”成是圆直径的等等，结果可想而知。08卷第23题的第（1）小题，有许多同学居然没有看到有这个题，以至白白失去宝贵的6分，令人惋惜。
（2）规范严谨的书写表达
解题的规范性和严谨性首先教师要给学生一个好的示范。其次在平时训练中，要求学生准确运用数学语言、简洁地表达自己的观点和思想，加强解题的规范性，摒弃平时的陋习。
从中考阅卷情况看，不少学生基础题、会做的题得不到满分，出现了很多不应有的失误。主要表现在数学语言的表述不规范、表达不完整、表达太繁琐，有些是丢三落四，“笔误”太多。与“基本题不失分”的目标尚有差距。
（3）平和向上的心态
对基本题千万不要放松，首先从心理上要重视，避免眼高手低，争取不失分。然而中考毕竟是一种选拔性的考试，做到难题也是在所难免的事。可是有些同学对综合题、阅读量大的试题存在一种本能的畏惧心理。只看一下复杂的题目，便认定自己解不了。其实难题无非是综合了许多知识点，如果能对每个知识点进行认真分解，还是可以找到解决问题的突破口的。所以，在平时的综合题教学中，要锻炼学生克服困难的勇气和毅力，告诫学生不轻言放弃。
（4）解题后的反思
每个学生都有自己的“软肋”。在循环复习中，他们也会随时意识到自己的弱点。老师要让学生明白：有错误并不可怕，怕的是没有正视这些错误并下决心去攻克它；解题所犯的错误恰恰是自己学习中最大的财富，要想方设法找出造成错误的根源，对症下药。每次解题后问问自己：我的解法有没有不合理的地方？需要改进吗？与以前学的哪类题有相似之处？发现了解决这类问题的某些规律？倘若能坚持进行这样的反思，必然会受益无穷。
关于中考数学有效复习的探讨
中考复习是初中数学教学的一个重要组成部分，中考是对初中阶段教学效果的检验，中考成绩的好坏不仅取决于平时的刻苦与否，还取决于是否在考前进行了认真、扎实、有效的总复习。数学教学内容繁多、知识点分散，复习时间短暂，无形之中增加了师生双方的精神负担和备考压力。教师希望最后的复习能为中考“锦上添花”，学生渴盼能在最后的复习中看到前方胜利的曙光，以优异的成绩结束初中数学的学习。因此，如何引导学生进行行之有效的中考复习，是我们所有初中数学教师所面临的最重要的问题。大家一直在探索“事半功倍”的崭新的复习训练模式，把学生的“要我复习提高”变为“我要复习进步”，笔者任教初三数学多年, 对此，根据多年的教学实践和体会，就如何有效地复习提出如下几点看法供同行们一起探讨。
一、注重复习教法和学法，改变固有的教学观念是搞好复习的前提
复习教学中重之又重的是要求我们教师要更新教学观念，改变固有的教学方式方法。多年来,许多教师都采用以课课练、单元练和模拟考试为主的中考训练模式，整天埋头让学生做大量的课外习题，使老师和学生都身不由己地陷入“疲劳战术”和“题海战术”之中，虽然也取得了一定的效果,但其效值肯定存在问题。老师不厌其烦地讲，学生无可奈何地听，学生有着做不完的题，老师有着讲不完的卷。就这样周而复始，年复一年，渐渐使中考复习变得呆板、枯燥和单调，从而使老师的讲课热情衰退，学生的学习热情淡漠，复习过程中产生了严重的两级分化现象，从而使老师失望，学生伤心。因此，我们应从更新教学观念、注重新的教学模式、优化课堂复习入手，培养学习能力，充分调动学生的主动性，以此来提高复习质量。在复习中，要求学生掌握各知识点之间的内在联系，理清知识结构，形成整体的认识，并能综合运用。例如九年级（下）中的p67一元二次方程的根与二次函数图象与x轴交点之间的关系，函数y=x2+2x-10，是求图像的近似值，是以前中考有所涉及的内容，在复习时可以用2007年丽水市的一道中考题目，应从整体上理解这部分内容，从结构上把握教材，达到熟练地将这两部分知识相互转化。[案例1:丽水市中考题23].又如一元二次方程与几何知识联系的题目有非常明显的特点，应掌握其基本解法。每年的中考数学会出现一两道难度较大，综合性较强的数学问题，解决这类问题所用到的知识都是同学们学过的基础知识，并不依赖于那些特别的，没有普遍性的解题技巧。因而在复习时应引导学生对数学例题、习题多思考，多反思,多探索,多问一个为什么,做到对各知识真正理解，会灵活运用，老师在选题时，也可多对课本题目进行适当的改变或在此基础上创新，并鼓励学生进行探索。
同时,复习课要适应信息时代学生学习的特点，不仅需要改变我们的教法，也要求我们引导学生改变学习习惯、方法和态度，要求教师在中考复习课堂教学 中创设一些开放性问题情景，并在情境中引导学生主动探求知识，使学生围绕这类主题调查、搜索、加工整理、系统归纳所得信息，自行回答或解决现实问题，在此过程中采用“竞赛”的方式，充分调动学生的积极性，鼓励学生敢于用多种思维方式探讨所学的东西，使学生在理解记忆式学习和接受式学习的同时激活已有知识和经验，变被动为主动，提高“阶段复习”效果。
二、注意培养学生合作意识与合作能力，是搞好复习的有效措施
在中考复习的教学实践中我们要努力创设合作式学习的情境，切实为培养学生合作意识和发展协作能力搭建舞台。在复习课堂上，教师不要一言堂式地讲授学过的知识点，应该给学生创设相互交流、小组合作和共同切磋的机会，应更多地为学生创设相互协作、共同参与的环境，创设多层次复习课堂。要让学生通过合作参与或交流而成为学习的主人；让其主动自觉地去发掘数学知识点之间的内在联系与规律，让学生学会在平等民主的基础上与他人相互合作，发挥同学间相互影响相互启发的教育作用；让每一个学生都能在合作中主动探索，积极影响与被影响，分享合作成功的喜悦，提高学生复习热情以达到提高复习效果的目的。例如下面这一例题通过学生合作交流,可以复习到许多知识点：
用一张矩形纸 ,你能折出一个等边三角形吗 ?如图 ,先把矩形 ABCD纸对折 ,设折痕为 MN;再把点 B叠在折痕线上 ,得到 Rt△ABE,沿着 EB 线折叠 ,就能得到等边 △EAF。想一想这是为什么 ?
这是一个典型的折叠图形问题,能很好的培养学生的动手操作能力、分析推理能力、图形的直觉判断能力和书面表达的数学素养。利用这一题可以复习平行线、三角形中线、三角形中位线 ,还可以复习对称的有关性质 ,能起到以点带面、举一反三的作用。对这一题还可以进行适当改编:对于任一矩形 ,按照上述方法是否都能折出等边三角形 ? 请说明理由(某年山西中考题 )。这有利于培养学生的探究问题的能力以及思维的严密性。
三、创设开放性课堂，激发学生主动参与是提高复习效率的法宝
传统的复习教学模式采取教师传授知识的方法，学生一般处于被动接受的状态，学习的行为没有预定的方向和要求，学生的主观能动作用不能得到很好的发挥。所以我们在课堂上，教师不必急于整理，可以先放手让学生自己梳理知识，由学生个体或学习小组通过阅读课本，回忆、再现所要复习的主要内容；通过讨论交流，捕捉知识间的联系与区别，并利用文字、图表等表现形式，将所学过的知识进行梳理归类，形成网络。教师在整个过程中注意引导与启发，切忌急于求成。待学生们形成网络后，引导学生介绍各自的整理意图、表现形式、整理内容，再通过师生之间、生生之间相互质疑、相互补充、相互评价，完成知识网络的建构。在知识通过梳理得以系统化、网络化后，有针对性进行训练。最后对学生进行针对性训练与拓展练习。这种方式有利于学生将“知识点”纳入到自己的知识体系中，便于学生“温故知新”“举一反三”，也便于学生主动去探究。
例如以前在复习 “直角三形”这章节,我的复习思路是这样展开引导：
1． 边：三边关系；勾股定理，并列举它们的应用，并引导学生思考。
2． 直角三形中重要的线段：斜边上的中线等于斜边的一半，并加以证明，进而利用数学的“构造思想”，构造一矩形，从而很容易引导学生证明这定理的正确性，进而还引导学生对斜边上的中点是中心对称点的认识；由斜边上的高，引出射影定理，并引到三角形似，和边的比例关系等。
3． 角：三角形内角和定理；两锐角互余；
4． 边角关系：30度角所对的直角边是斜边的一半；三角函数，结合勾股定理和特殊法引导学生如何去记忆和应用。
通过课后的交流，我发现学生能把各章节的内容有机的联系起来，同时又能把各种数学方法和数学思想渗透到平时的教学内容中。这种复习引导，有利于教师主动、准确、有机地调动和协调好整个教学大系统与各子系统之间的关系，有利于准确可靠地实现教学目标，优化教学内容，发挥教师的主导作用和学生的主体作用，提高教师的教学能力和学生的自学能力，提高教学质量和效率，有利于在限定的单位时间内拓宽教学的视野和知识面，并能够有效地减轻学生的学习负担。这样学生的积极性被充分调动起来，教师的角色也由“独奏者”转变为“伴奏者”，学生成了课堂的主体，老师起到了引导和监督的作用。
四、充分利用几何画板,重视问题变式探究训练,是提高复习效率的重要手段
1、几何画板的动态解题分析
心理学家认为：越是新异的、直观形象的、灵活多样的刺激物或手段越能引起学生的注意，唤起学生的兴趣，激发他们良好的学习情绪。适当利用多媒体中几何画板的复习手段就能达到生动、直观的效果，并且容量大，效率高。在教学中我们利用学生好奇、好动、好胜的心理，挖掘复习知识点中有趣的素材，以文字、图象、动画等多媒体辅助教学形式，采用多种激情引趣的方法，创设出一个个引人入胜的情境，来调动学生复习旧知的积极性和主动性。由于几何画板的运用使教学方法显得灵活多变，学生们在复习的时候不觉得枯燥和乏味，因此便有了学习的兴趣和回答问题的激情，不知不觉被老师带进了精心营造的复习氛围之中。从而使旧知复习一样变得生动，达到了预期的复习目的。
在复习课的探究活动中我们应该做到：构造、运用基本图形，启发学生的思维，激发学生的想象，找出解题思路，充分利用几何画板进行验证，反思提升思维。
这是一道中考压轴题，几何画板的运用使教学方法显得灵活多变，学生们在复习的时候不觉得枯燥和乏味，因此便有了学习的兴趣和回答问题的激情，不知不觉被老师带进了精心营造的复习氛围之中。通过直观、形象、生动的演示，不仅可以激发学生的兴趣，开阔学生的视野，而且可以丰富学生的想象力，拓展学生的思维空间，加深对图形动态变化规律的理解，培养学生的探索创新精神。
2、变式训练的能力培养
当然在复习教学中我们更要重视问题的变式训练，挖掘复习知识点中动态素材[例]，这样的变式训练不但有利于学生更好地把握数学知识的本质内涵，而且也是培养学生思维能力的有效途经，从而可以有效地提高解决开放探究性问题的能力。
一图多变——培养探究能力
一题多解——提高解题能力
一法多用——培养举一反三的能力
（2006年浙江省）如图，在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=2，∠DAB=45°，以AB所在直线为x轴，A为坐标原点建立直角坐标系，将等腰梯形ABCD绕A点按逆时针方向旋转90°，得到等腰梯形OEFG.　　　　　
（1）写出C、F两点的坐标；　　　　　　　　　　　　　　　
（2）将等腰梯形ABCD沿x 轴的负半轴平行移动，设移动后的OA=x，如图2 ,等腰梯形ABCD与等腰梯形OEFG重叠部分的面积为y，当点D移动到等腰梯形OEFG的内部时，求y与x之间的函数关系式；（3）在直线CD上是否存在点P，使△EFP为等腰三角形，若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由。

(1)将条件中的等腰梯形改为平行四边形
等腰梯形改为菱形，边长为6
(3) 等腰梯形改为矩形
(4)等腰梯形改为正三角形，边长为6
以上这些题目，虽然图形在变，但证明的思想则是通用的，类似与以上变题的讲解，可使学生透彻地理解知识、掌握技能，做一题会一片，对培养学生的探索、创新能力有极大的帮助！
五、中考模拟、锤炼学生考试心理，是检验复习效果的有效方法
在学习活动中通过不断的训练和测试 ,可以培养学生在思维上的流畅性、灵活性和独特性。我们都知道,在中考复习的最后阶段[考前一个月]学生心理和迎考状态非常重要。基础知识和重点内容复习完后,做些模拟试题检查复习效果 ,可以让学生调整心态 ,振作精神 ,教师要认真分析试卷 ,找出学生存在的问题加以解决 ,并加强这方面练习。数学知识在于点点滴滴的积累 ,考试时遇到不会做的题时要学生学会镇定 ,回想学过的各种方法 ,从条件入手 ,挖掘隐含的已知条件 ,或从结论入手寻找解题途径 ,从而争取中考取得优异成绩。尤其是学习困难学生在数学学习上既有困难又有潜能 ,因此教学的首要问题是转变观念 ,正确对待学习困难的学生 ,认真分析产生困难的原因 ,有意识地“偏爱差生 ”,允许学生在数学学习上的态度存在反复 ,不断激发他们学好数学的自信心 ,并创造条件 ,让他们体验成功。学习困难生在过去数学中受到的肯定、鼓励相当少 ,因此要抓住他们的闪光点积极鼓励和肯定 ,促使他们对数学产生兴趣 ,让他们在数学学习上取得成功 ,使他们感到自己能学好数学。要从学生的实际情况出发 ,降低和调整某些教学要求 ,以满足某一层次学生的需要 ,促使教与学相适应 ,教与学相促进 ,教与学相统一。
总之，复习的方法是多种多样的，不论采用哪一种方法，都得跟上时代的步伐，更新教育观念，培养学生的学习能力，提高复习质量。探讨初三数学复习是十分复杂的问题，许多问题还有待于我们在今后的教学实践中不断地探索。
善把握 求实效 促提高
———谈新学业考数学复习教学策略
随着新课程的实施，新学业考也在稳定中求创新，着重考查数学的基础知识、基本技能、基本的数学思想、常规方法以及数感、符号感、空间观念、统计观念等数学思考和解决问题的能力，对有效实施“轻负担、高质量”的教学起到了很好的导向作用。结合我们绍兴市近两年的数学学业考试题，对新学业考数学复习教学谈一些粗浅的认识。
1、要把握好复习的要求、内容和对象。
1.1、研究新课程标准，搞清初中数学内容的脉络，把握好复习要求，不随意拔高。做到一个“准”字。实践说明：我市学业考试题能严格按照新课程标准，严格控制难度系数，有效地减轻了教师和学生的负担。
1.2、切实巩固基础知识，主抓“核心数学”，把握好复习内容，做到一个“细”字。复习的内容应涵盖数学新课程的四大领域，并且通过复习，使学生做基础题时应达到熟练、正确、迅速。
1.3、坚持面向全体学生，关注学有困难的学生的提高，把握好复习对象，做到一个“全”字。努力做好培优辅差工作，全面提高教学质量。
1.4、重视对中考创新题的研究，把握好“新”的题型。从近几年的中考创新题来看，具有难度低、题型新、灵活性的特点，要求学生多思考、多反思、多探索。
例1．（绍兴07年）设关于x的一次函数与，则称函数
（其中）为此两个函数的生成函数．
（1）当x=1时，求函数与的生成函数的值；
（2）若函数与的图象的交点为，判断点P是否在此两个函数的生成函数的图象上，并说明理由．
简析：这是一道定义数学概念题，要求学生具有对新概念的理解能力，体现了从特殊到一般的数学思想，引导学生学会自主性学习。
2、要采取多种措施，提高复习的有效性，努力减轻学生的学业负担。
2.1、重视学生的听课习惯，对于典型性例题要求学生作好笔记。
2.2、为学生选择少而精的课外复习资料，坚持做到一本复习用书，一套练习卷，提高习题品位，反对题海战术，避免机械化的重复练习。
2.3、规范学生作业，做到分层布置，严格控制每天的作业量，坚决杜绝 “广种薄收” 式的作业布置。努力提高双休日练习卷质量，每周由专人负责，从中考复习开始集中出十张左右的综合练习卷，精选最近几年课改实验区的中考题。这些练习卷尽量做到涉及新课标的各个知识点，题型新，有梯度，满足各层面学生练习的需要。通过前几年的实践说明这种方法还是有效的。
2.4定期检查，增强练习的针对性。充分发挥备课组集体力量，精心命制高质量的各次月考、模拟考卷，突出诊断和激励功能，达到查漏补缺的作用，增加学生实战经验。
2.5重视学生解题中的错误，建立错题档案，抓及时订正、反思的习惯。加强个别辅导，从细微入手，帮助学生分析题意，找到解决问题的方法，总结解题的规律。纠正数学复习中“埋头做题不反思”的习惯。
2.6注重学生对数学基本概念的理解和运用。
例2．（绍兴07年）甲、乙两人各射击6次，甲所中的环数是8，5，5，Ａ，Ｂ，Ｃ, 且甲所中的环数的平均数是6，众数是8；乙所中的环数的平均数是6，方差是4．根据以上数据，对甲、乙射击成绩的正确判断是（　　）
Ａ．甲射击成绩比乙稳定 Ｂ．乙射击成绩比甲稳定
Ｃ．甲、乙射击成绩稳定性相同 Ｄ．甲、乙射击成绩稳定性无法比较
简析：这是统计知识中的概念考查题，考查学生对平均数、众数、方差概念的理解。
3、中考复习还要特别注重学生数学能力的提高。
3.1、增强学生数学应用的意识，教会学生透过现象看本质的本领，学会寻找问题的切入口和数学建模的本领，提高分析问题解决问题的能力。
例3．（绍兴07年）某校为了解决学生停车难的问题，打算新建一个自行车车棚，
图1是车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面
的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部的截面示意图，
弧ＡＢ所在圆的圆心为ＡＢ，半径ＡＢＡ为3米．
（1）求的度数（结果精确到1度）;
（2）学校准备用某种材料制作车棚顶部，请你算一算，需该种材料多少平方米？（不考虑接缝等因素，结果精确到1平方米）．
（参考数据：sin53．1o≈0．80,Ｃos53．1o≈0．60，取3．14）


简析：这道题引导学生用数学的眼光来看待现实生活问题，并将实际问题转化为数学模型，从而用数学知识解决问题，考查了学生分析问题、解决问题的能力。
3.2、改进学生的运算习惯，提高运算能力。对于学生出现的计算错误，不能笼统地归咎于运算马虎，实质是计算能力问题。
3.3、渗透数学思想方法，注重知识点的整合，促使数学思维能力的提高。
“数学教学的有效性,关键在于数学本质的把握、揭示与体验　——张奠宙”
初中数学中常用的基本方法有：配方法、换元法、待定系数法、代入法、消元法、观察法等等。基本的数学思想有：函数方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、整体思想、转化与化归思想、概率与统计思想等等。
例4．（绍兴07年）绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示． 某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条．
简析：这是一道以绍兴地方特产黄酒的生产为背景的数学问题，通过运用图象获取数据，再运用列方程的方法解决问题，体现了方程思想。
例5．（绍兴07年）如图，在平面直角坐标系中，ＡＢ为原点，点Ａ、Ｃ的坐标分别为（2，0）、（1，）．将绕ＡＣ的中点旋转1800，点ＡＢ落到点Ｂ的位置．抛物线经过点Ａ，点D是该抛物线的顶点．
(1) 求A的值，点B的坐标；
(2) 若点P是线段ABA上一点，且
，求点P的坐标；
(3) 若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平
行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上．
写出点P的坐标(直接写出答案即可)．
简析：这道压轴题渗透了数形结合、分类讨论的数学思想。
3.4、重视实践，加强动手操作，提高学生对数学活动的参与性，培养学生的探究能力。
例6．（绍兴06年）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次，点P依次落在点P1，P2，P3，P4，…，P2006的位置，则P2006的横坐标x2006=__________．
简析：这是一道在图形的运动中探索点坐标的规律题，通过学生对操作的思考，得出正确的结果，考查了学生的探究能力。
教学有法，但无定法。实践说明：只要把握好中考复习的导向，提高复习的针对性和有效
性，一定能得到事半功倍的效果。
固本求新促能力 夯实基础应万变
-------也谈中考数学的复习思路

【摘 要】 中考优异成绩的取得关健在于：勤奋努力＋科学的复习方法＋临场的最佳发挥。而中考前的复习则是最为关键的一环，把握好这个环节就能在中考中出奇制胜，大多数老师都认为考前进行系统复习和有效调节是帮助同学们获得好成绩的条件之一。
【 关键词】 中考数学复习 固本求源 夯实基础
“陈老师，数学是我的弱势科目，我一直想通过自己的努力把它给补上来。但最近，我感觉数学复习起来越来越困难了，我每天都花大量的时间做题，可是效果并不明显，不该错的题还是做错。我对自己很失望。”到了初三许多同学都对我诉说着自己的苦恼，还有许多同学在中考复习时都由于缺少经验而效率不高。
我们知道中考是同学们一次参与激烈竞争的升学考试，来自各方面的压力都比较大，实践证明，中考优异成绩的取得关健在于：勤奋努力＋科学的复习方法＋临场的最佳发挥。而中考前的复习则是最为关键的一环，把握好这个环节就能在中考中出奇制胜。而数学复习有着异于其它学科的自身特点，即数学中考复习开始进展不如政治等学科，但随着复习的深入，有的学科很难再有所提高，但数学，特别在后一阶段，学生数学能力水平开始突飞猛进，提分幅度加大。在这个过程中，我们要改变观念，至始至终要以学生为主体，在学生最需要的时候——中考复习中关注每一个学生，“大河涨水小河满”，只有每一个学生的进步，才能有整个班级中考数学的成功！
作为多年从事初中数学教学的一线老师，在此我愿把自己对中考数学复习一点点理解和大家共享，并真诚地希望各位能见仁见智从中汲取于己有用的东西，使复习有的放矢，事半功倍：?
调整好心态，认识自我，建立自信
作为教师，我们不要给学生太多的压力，中考毕竟不是高考，它的主要职能是了解学生在义务教育阶段的数学学习历程，评价学生的基本数学水平，其次才是作为高中招生的主要依据；作为考生则要调整好心态，在中考复习时避免因过度的紧张而给自己造成过多的压力。正确对待压力与挫折，正确看待成绩，增强自信，发挥学习的最佳效能。随着复习的深入，数学复习题的深度和广度也会增大，考生一次考试没考好或遇到不懂不会的问题是很正常的，如果一味地着急、焦虑，往往会一无所获，考生应把这些做错的题目和不懂不会的题目当成再次锻炼自己的机会。纵观几年来的中考试题，其试卷的难度分布大多控制在7：2：1（容易题：中等题：难题），所以考生大可不必因为不会解部分数学题而怀疑自己的数学能力和水平，甚至可以这样说，只要在这学期的复习阶段奋发努力，中考也不会走大样。?
二、制定科学合理的复习计划，分阶段安排好复习
切实可行的复习计划能让复习有条不紊地进行下去，起到事半功倍的效果。中考的数学复习通常是分三个阶段进行。
第Ⅰ阶段：把握双基，固本求源，加强复习的针对性
从数学科的中考题型可以看出，基础知识、基本技能、基本思想和方法以及创新意识始终是中考重点考查范畴。总体来说，中、低档题占总分的90%左右。这就告诉我们在中考复习第一阶段时必须狠抓基础，要特别注重对基础知识理解的准确性、完整性与系统性。只有打好基础，做中、低档题才会得心应手，做难题和综合题才能思路清晰、推理顺畅、运算准确。因此，这个阶段的复习应以夯实基础为主，对知识网络上的每个知识点都要弄清概念。对课本中的例题、知识点加以概括和延伸，使之达到举一反三、触类旁通的效果。中考中这类试题较多，形式与课本例题、练习题、习题相似或能看出源于教材的踪迹。
例如（2008年吉林省长春市）抛物线的顶点坐标是 【 】
A.（－2，3） B.（2，3） C.（－2，－3） D.（2，－3）
又如 (2008年宁波市)解不等式组；
（2008年义乌市）不等式组的解集在数轴上表示为( )
“双基”的复习主要放在总复习的第一阶段 ，复习时应该注意以下几点：
1．过好学生关
即改变观念，九年级学生进入中考总复习阶段是思想最为复杂和不稳定的时期，教师要细致入微地关爱学生，了解学生的思想动向，在数学学生上的个性特别，更要关注学生在数学上未来的发展。
2．过好双基关
即抓落实构建数学知识结构网络，使学生知识条理化，系统化，促进学生全面掌握“双基”。
3．过好训练关
即结合知识点和内容要求，有针对性地抓好基本训练，做到训练量适度，善于将教材中的试题、中考试题进行变式，最好在一堂课中从简单到综合进行变式教学，给课堂注入新意，让学生感到数学复习内容“旧貌变新颜”。
4．过好评价关
在总复习中要将过去只从分数上评价学生的能力，变为从情感、态度、行为等多角度评价学生的进步与否。评价还包含对学生复习过程中，依不同内容的掌握情况的进行动态评价。
第Ⅱ阶段：专题复习，重视思想与方法，提高解题的思维能力
常用的数学思想与方法思路、函数与方程的思想，分类讨论思想，数形结合思想以及配方法、换元法、待定系数法等。这些基本思想与方法分散渗透在整个初中数学的教材中，因此，要在复习基础知识的同时，有意识地掌握基本数学思想和方法，在中考中才能灵活运用所学的知识，将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用，进而获得对数学的理解，同时在思维能力、价值观等方面取得进步和发展。
例如（2008年庆阳市） 兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/平方米）随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．
如（2008年浙江省嘉兴市）一个函数的图象如图，给出以下结论：
①当时，函数值最大；
②当时，函数随的增大而减小；
③存在，当时，函数值为0．
其中正确的结论是（ ）
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
这些题重点考查了函数的数形结合思想，所涉及的内容又是初中初中阶段的核心知识，解法上也能很好地展示学生的学习成果，第一题可以建立二次函数的模型直接写出结果，体现了数学与实际生活的有机结合，第二题与二次函数形似但又有区别，考查了学生处理数学问题的能力。
第Ⅲ阶段：与时俱进，关注热点，提高解决实际问题的能力
数学来源于生活，又应用于生活，能运用数学的思维方式观察、分析、解决日常生活和其他学科中的相关问题是每个中学生应具备的基本素养。为此、学生能否结合具体情境发现并提出问题，能否尝试从不同角度分析和解决问题，能否解释结果的合理性，能否对解决问题的过程进行反思等，都将会受到命题者的关注。同时，社会热点问题往往是命题者创设应用性问题情境的首选素材。如：能源开发、环境保护、经济发展等。
例如1.利用本地特产为背景：
包装机
甲
乙
丙
方差（克2）
1.70
2.29
7.23
如(2008年金华市)金华火腿闻名遐迩。某火腿公司有甲、乙、丙三台切割包装机，同时分别装质量为500克的火腿心片。现从它们分装的火腿心片中各随机抽取10盒，经称量并计算得到质量的方差如表所示，你认为包装质量最稳定的切割包装机是（ ）
A、甲 B、乙 C、丙 D、不能确定
2．利用社会热点事件为背景：
比如去年的奥运题材和汶川地震等等。
如（08绍兴）19．地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向．
（1）求处到村庄的距离；
（2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km）
（参考数据：，，，）
学数学的目的是为了用数学，近年来各地中考涌现出了大量的形式活跃、趣味有益、启迪智慧的好题目，各位考生应在老师的指导下，对这些热点题型认真复习，专项突破，让学生在探索过程中体会数学来源于生活，又应用于生活。培养学生的应用意识和实践能力，创设情境，引导学生积极思考，逐步发展应用意识，形成基本的实践应用能力。
三、中考复习还要处理好几个关系
1、教师、教材与学生的关系——学生为主。
教学是教与学的统一过程，在这个过程中，学生是主体，教材是客体，教师是媒体，教师起着沟通学生与教材的作用。就全班而言，有的学生学得好，有的学生学得不好；就知识而言，有的知识学得扎实，有的知识学得不扎实。教师应做到心中有数，以便在复习课上有目的、有准备地让学生参与课堂活动。
2、讲与练的关系——以练为主。
在复习阶段应充分体现“有讲有练，精讲多练，边讲边练，以练为主 ”的原则。练的方法要灵活多样，。例如：提问、讨论、小测验、作业等形式。培养学生的基本技能，也不排斥设计一些一题多解、一题多变、多题一法的题目，训练学生的发散思维、求异思维的能力。
3、课内与课外的关系——课内为主。
复习课上教师注意合理安排讲练时间，注重知识的纵横联系，注重教学基本思想的渗透，注重数学基本方法的训练，充分发挥课堂效益，尽量把问题在课堂上解决。课外是课内的继续和深入，课内打基础，课外去巩固。课内与课外相结合，互为补充。
4、课本与资料的关系——课本为主。
在复习中，要立足于课本。课本是知识与方法的重要载体。离开课本的复习必然是无源之水，无本之木，所以复习中教师要充分挖掘和发挥课本中的例题、习题的潜在功能，教给学生通过类比、延伸、拓展出一些新颖的变式题，并加以解决，从中归纳整理出基础知识、基本技能、基本方法，掌握教材中的通性通法，从而使学生对课本知识有一定的发散能力、迁移能力和应用能力。复习不要使学生陷入资料之中，盲目做题，题海战术是不可取的。
5、通法与特法的关系——通法为主。
所谓通法，就是具有普遍意义的方法。在数学复习中要注重通法，要着眼于培养学生解决某一类问题的一般方法，从而提高学生的一般解题能力。
正确处理好以上几种关系，对复习也可起到不可估量的作用。
总之，每个人都有自己独特的复习方法，在借鉴他人经验的基础上，坚持自己正确的复习才是获得成功的秘诀，我们当教师的也只能与时俱进，开拓创新，用新观点、方法去引导学生，在学生最需要的时候关注每一个学生，使学生学习得法，增强自信，培养兴趣，做到事半功倍，当学生在数学中考中充满信心地答卷，当中考之后捷报频传时，我们也将都能收获到真正的属于数学教师的一点点快乐。
【参考文献】
（1）《基础教育改革学科培训资料（初中数学）》 浙江省教育厅教研室编印
（2）《与你同行—优秀教学案例集》 杭州出版社
（3）《2007中考备战策略》 山西教育出版社
（4） 08年各地数学中考卷等
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在实践中反思，在反思中成长
——谈在新课程下，如何搞好初中数学总复习
【摘 要】初三数学复习的内容面广量大，知识点多，要想在短暂的时间内全面复习初中三年所学的数学知识，形成基本技能，提高解题技巧、解题能力，并非易事。因此，本文就如何提高初三数学的复习的效率和质量，突出在教学活动中学生的主体作用，激发学生的兴趣，充分发挥学生的潜能作了一些粗浅的探索。
【关键词】新课程 素质教育 复习
一、传统的数学复习课现状
　　在大力推进素质教育进课堂的今天，以教师为主体，总结概念、精讲例题来完成初中数学章节复习课，能起到一定的教学效果，然而根据多年初中数学教学实践体验，本人认为由此造成的一些弊端也是不容忽视的。
1、传统固定的座位排法，将学生“封闭”在有限的空间内，束缚了学生互相交流与合作，不利于学生情感交流和人际关系的和谐发展。
2、以教师为主体的讲解式，缺少调动学生情绪、进入“习者”角色的兴奋点，不利于学生学习兴趣的激发和求知欲望的发生与发展，也不利于开展“探索性”学习所需创设的环境氛围。
3、限制了相当部分学生的“表现欲”和“成就感”，也造成了一些学生（慢智思维型学生）“被排斥感”和“失落感”，不利于学生人格发展和个性发展。
4、缺乏活力的“组织形式”易使部份自觉性较差或接受能力弱的学生得不到应有的帮助而“沦落”为差生，不利于全班学生智能水平的平衡发展。
二、新课标下的初三数学的总复习的探索与研究
1.加强集体研讨，促进教学反思
1.1研究中考，把握方向
首先，要认真研究“考试说明”、“中考试题评价报告”,从了解、理解和掌握，灵活和综合运用三个层次提出了明确的要求，是指导初三数学复习的依据，是指导中考的纲领性文件，每年的考题是落实考试说明的载体，要特别关注今明两年考试说明的变化，今年中考数学考试说明有变动的地方是什么，不变的地方是什么。预计今年中考命题的总体发展趋势是什么。比如：不回避以前考过的重要内容、逐渐减少运算量加大思维量、降低试题的入口难度、考查知识的主干内容、注意通性通法淡化特殊技巧等等。
1.2紧扣课程标准，精心编制复习计划
数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。由于义务教育的数学课程突出体现的基础性、普及性和发展性决定了数学教育必须面向全体学生。不管学生是否升学深造都应使他们在数学上得到不同的发展，因此，教师必须依据课程标准精心编制复习计划。计划要有可操作性、时效性。所以，制定计划之前可先向学生了解本班数学知识掌握情况，然后结合所教班级在作业中反应出来的问题制定复习计划，确定复习的重点。特别要注意复习例题的选择，作业的筛选，力求做到作业少而精，习题具有典型性、规律性、启发性、灵活性、新颖性。复习计划制定好后要交给学生，同时要求学生按自己的学习实际制定具体的复习规划，确定自己的奋斗目标。
1.3加强集体研讨，促进教学反思
教师要经常反思教学。通过一阶段的复习，利用备课组活动，共同反思教学中的问题，教法、重点难点、测试有无不妥之处，反思教学的成败，同时教会学生学会反思，反思学法，反思总结解题过程的来龙去脉，反思解决这类问题有无规律可循，反思解错题的原因，反思考试的得失成败，通过反思，避免走弯路，通过微调，不断优化教法和学法。如南安市九中的“校本教研”机制：“以备课组为单元的教师挂钩相互听课、评析、反思的教学行动研究方式，每单元的教师挂钩互动，每学期相互听课10节以上，并做到"即时教学问题"形成小的研究课题，及时采取行动研究和实践”。
随着课程改革的不断深入，新的教育教学问题不断出现，这就需要人们自觉地低下头研究和探索这些现实问题。这种以备课组为单元的“真、实、小”的日常问题研究即小课题研究也就成了教师教学研究的有效行为，这种以备课组为单元的校本教研以其解决问题时效性强、获得效果佳而有效地架起了理论与实践的桥梁。在改善教学实践、提高教学质量、提高教师教学水平等方面，具有特殊的作用。它的基本流程是：深入课堂——发现问题——提出困惑——形成小课题——研讨对策——教学实践。
[案例1]：初三数学备课组在期末复习时，相互听课时，发现各师复习总是把基本知识回顾一遍后讲解例题最后巩固训练，这样对知识的简单重复，学生的学习热情和学习兴趣得不到充分的调动，学生的知识得不到升华，忽视了学生自我学习的能动性和对知识探究的体验过程，教师成了知识的灌输者，学生成了“知识的容器”。 “如何提高数学复习的有效性”就成为备课组的即时行动研究小课题。鉴于此，备课组五位老师对数学复习课进行创新设计，然后进行再实践再思考，达成数学复习课的一种方式：问题结论开放，拓宽探索空间。
如：复习圆的有关性质时，提出问题：已知CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，且CD⊥AB于E，连结OA、OB、AC、BC、BD，∠CAB=∠CBA,结合图形和题目的已知条件,你能得到一些与线段、角、弧有的结论吗,为什么?
圆是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形；在同一个圆内，圆周角、圆心角、弧、弦之间存在着相互联系，我们利用问题探索圆周角、圆心角、弧、弦之间关系和垂径定理来得到线段或角的相等关系。较好地落实了“自主、合作、探究的学习方式，改变传统的记忆、理解、被动接受知识的学习方式；改变了以往偏重知识传授、重技能训练的教学方式，充分发挥学生的主动性、创造性，又采用新型的复习方式。
2.探索育人为本的课堂教学模式
教育、教学应提倡育人为本，素质教育的主阵地是课堂教学，初三复习的最终目的是全面提高学生的素质，学生的综合素质提高了，就能取得考试的高分，最终效果要体现在学生身上，在目前大力提倡素质教育、创新教育的形势下，中考的考题也发生了很大的变化，从“知识立意”到“问题立意”再发展到“能力立意”，陈旧的题海战，满堂灌已不适应形势，每年中考下来我们总有一种感觉，好象一年中做了很多无用功，事实上只有立足课堂教学，才能起到事半功倍的效果，在课堂教学中我们认为要力求做到以下几点：
2.1渗透数学思想,重视观念教育。如果用以往那种就事论事,把学生投入题山解海中，只能使他们见树不见林，成为解题机器。因而教学中要强化三个层次的思想方法，一是基本的数学方法：如配方法、换元法、比较法等，二是科学思维方法与严谨的数学逻辑方法，三是数学思想，如数形结合思想、分类讨论思想、等价转化思想，教会学生从思想方法的高度审时度势，培养分析、归纳探索的能力。
2.2注意知识生长过程的教学。要深入地理解概念，必须了解它产生、发展、形成的历史过程；要掌握命题、法则、公式，必须弄清归纳、猜想、发现和发明的过程，从一定意义上讲，“过程”对于人发展的教育、培养的意义，也许比结果更大，所以我们在教学中,总是通过创设情境、精心设问,选编题组，引导学生参与,动手,动脑,动口,亲历知识的再创造、再发现过程.切忌把知识轻易地塞给学生。
2.3把研究性学习引入课堂。研究性学习注重学习的过程、注重学习过程中学生的感受和体验以及思维方法的学习和思维水平的提高。复习课不能由教师包讲，更不能成为教师展示自己解题“高难动作”的“绝活表演”，而要让学生成为学习的主人，让他们在主动积极地探索活动中实现创新、突破，展示自己的才华智慧，提高数学素养和悟性。作为教学活动的组织者，教师的任务是点拨、启发、诱导、调控，而这些都应以学生为中心。复习课上有一个突出的矛盾，就是时间太紧，既要处理足量的题目，又要充分展示学生的思维过程，二者似乎是很难兼顾。我们采用“焦点访谈”法较好地 解决这个问题，大多数题目其解法是“入口宽，上手易”，但在连续探究的过程中，常在某一点或某几点上搁浅受阻，这些点被称为“焦点”，其余的则被称为“外围”，我们大可不必在外围处花精力和时间去进行浅表性的启发诱导，好钢要用在刀刃上，而只要在焦点处发动学生探寻突破口，通过访谈，集中学生的智慧，让学生的思维在关键处闪光，能力在要害处增长，弱点在隐蔽处暴露，意志在细微处磨砺。通过访谈实现学生间、师生间智慧和能力的互补，促进相互的心灵和感情的沟通。
2.4处理好知识、能力和情感三个课堂目标的关系。课堂教学的效果好不好，主要是看学生有没有活动起来，有没有激发学生的学习情感?学生有没有讨论意识？有没有问题意识？敢不敢对老师的解法提出质疑？敢不敢上台发表自己的见解？有没有跃跃欲试的冲动？有没有探索的亲身体验？会不会自己小结？课后会不会追上来刨根问底？会不会自己提出新的问题？学生有没有学习的小群体？会不会争论不休？师生、生生有没有互动？能否学会与他人交流合作与分享？
2.5激活课堂,课堂激情是指教师对课堂教学的投入程度，以自己特有的个人风格感染学生，让学生喜欢你的课。我们常对自己确立这样一个目标，即力争使我们的课堂成为学生身心愉悦，乐学求知的场所，不管数学课排在第几节，我们要尽量使每个学生情绪激昂，没有人想睡觉，一堂风趣、幽默、妙趣横生的课多么受人欢迎，如果我们上课有激情，那么再枯燥的课也会生动起来，学生就会乐学，好学。比如：
[案例2]：在数学教学中，经常遇到讲评练习题或评讲试卷等，课堂上老师讲学生听成为惯例，学生深信老师的答案，也急于抄录老师的解题答案，课堂上多了等待，少了思考，多了深信，少了怀疑，多了传授吸收，少了发散思维，多了同一答案，少了一题多解，课堂上缺少了激情和高效。因此“数学习题课怎么上？”又成为备课组行动研究的小课题。在相互听课时老师请一位学生上台演示解题，另一位学生向台上的同学提出质疑，台上的同学给予回答，这样几经交流问答，参与的学生增多了。听课教师捕捉这一亮点后，在备课组研讨时提出可否充分利用“小老师”上台评讲，通过不断的尝试后觉得让“小老师”上台评讲，教师在台下有意识地对题目的思路、重点、关键点加以强调，让台下的同学提问，讲出自已的思路方法，由于台上台下的学生知识水平相当，思维方式相近，质疑的声音多了起来，解题的方法也多了起来，课堂的交流和思维碰撞得到充分调动，课堂气氛活跃，课堂效果良好。因此，评讲习题或试卷时，适当地利用“小老师”的角色使得课堂更有实效
3.科学训练、精心批改、认真讲评
训练是检测和提高学生能力的重要环节，我们在复习的各个阶段要狠抓基础知识的落实和解题能力的训练，不使用成题、套题，对各地试卷作分析比较后重组，以达通过精选精练更有效地培养学生的应试能力的目的。
测试试卷要以能力立意，突出对基础知识、基本技能和基本方法的考查，切实降低难度，不出偏、冷、怪、繁题，力争做到新题不难，难题不怪，试题切入容易，深入困难，适当增加开放性试题，以逐步增加学生对中考的适应性。要加强试题研究，采用流水阅卷，保证测试的准确性。第一轮复习每次阶段性测试命题的范围：已复习的内容占70%，其它中考内容占30%；难度系数在0.70-0.75之间，不允许低于0.70；分值为150分。
练是基础，评是精华。练习后一定要讲评，只练不评，往往是走过场，收不到实效。练习后的纠错讲评是复习的重要环节，要重视讲评的针对性与时效性，一般来讲重大的考试讲评要进行“冷处理”留给学生分析错因、反省纠错的时间，学生往往自己纠错后的第一感觉是我大多都会做的。有时间的话老师要找学生面谈，但不能用责怪的口气训斥学生，否则会大大挫伤学生的自尊心，帮助学生分析是知识型错误、方法型错误、思维方向型错误、运算错误、应试策略错误还是考试的心理素质问题。
复习课讲评时还要特别做到以下几点：
照顾一般，突出重点。
在评讲试卷时，不应该也不必要平均使用力量，有些试题只要“点到为止”，有些试题则需要“仔细解剖”。只有做到评讲前心中有数，才会做到评讲时有的放矢。
贵在方法，重在思维。
方法是关键，思维是核心，渗透科学方法、培养思维能力是贯穿教学全过程的首要任务。通过试卷的评讲过程，应该使学生的思维能力得到发展，分析与解决问题的悟性得到提高，对问题的化归意识得到强化。有些试题有多种解法，对于这种一题多解的试题，应通过教师评讲的机会向学生予以展示，这样做既可以使学生对的理解更加透彻，应用更加娴熟，还可以使全体学生都有收益。特别是能激发那些“尖子”学生的探索兴趣与思维欲望。为了发挥一题多解的作用，教师除了自我寻找多种解法外，还应注意提取来自学生中的巧妙灵活的解法和独树一帜的思路。在展示一题多解时，切忌只是多种解法的简单罗列，而应重在思路的分析和解法的对比，总结不同解法的特点，比较不同解法操作程序的差异，从而揭示最简或最佳解法。
分类化归，集中评讲。
评讲试卷时，大可不必按题号顺序进行，可以采用分析化归，集中评讲的方法。涉及相同知识点的题，集中评讲，这样做可以强化学生的化归意识，使他们对这些知识点的理解发更深刻、印象更强烈。当然要注意重点突出，兼顾一般，详略得当。形异质同的题，即本质相同或处理方法相似的试题宜集中进行评讲。通过这类试题的评讲可以达到举一反三的目的，使学生真正掌握这一类问题的处理方法。形似质异的题，集中评讲。要指导学生透过表面现象看内在本质，注意比较异同，防止思维定势产生的负迁移。
评后反思，适度拓宽。
引导学生做进一步的反思和探索，以充分扩大试卷讲评课的“战果”。切实做好补练工作。
4.综合训练，克服新题型难、不可攻破的畏惧心理
数学新题型的训练有应用型问题、阅读型问题、探索型问题；数学综合题训练如中考最后三道题的类型，一般来说，在试卷里属于比较难的，难就难在它的综合性、探索性和应用性。还有像方程型综合题训练、三角形综合题、几何型综合题、代数几何综合题、多学科综合题。练综合题的目的是为了提高临场的解题能力，同时也是一个发现弱点及时查缺补漏的机会。这样会从内容到方法、到观点的深层次的提高。通过做综合题同学们一定会积累考试经验，从而会开拓解题思路，提高分析问题、解决问题的能力，更加能够适应题型的不断变化，掌握各种题型的多种解题思路，只有早安排、早动手才能赢得时间。中考所设计的开放型、探究型和阅读理解型的试题，就是考察数学的综合能力。开放型问题有利于考生创造性的发挥，探究型试题着力考察创新意识和实践能力。
5.错题集锦，查漏补缺
收集例题、习题中的错误题进行归类，分析题目，找出错题原因。是知识掌握不到位，还是数学思想方法未掌握，还是新题型的出现感觉陌生，具有畏惧心理等等。针对以上题型让学生与学生、老师共同探讨，寻找解决方法。进而对学生进行学法指导，使学生在学习的每个环节上量力而行，合理利用时间，发挥学习效能。使学生学习得法，做到“一法懂，万法通”、“做一题，解一类”，以少胜多，以精取胜。增强自信，培养兴趣，做到事半功倍
三、回归课本，系统掌握基础知识
不少教师和学生认为复习时不需要教材，再看教材淡而无味，于是千方百计寻找别人的复习题，大搞题海战术，追求新颖题、难题、怪题、偏题。殊不知，没有扎实的基础知识犹如沙滩建房、杀鸡取卵，结果往往劳而无功或者事半功倍。回归课本，就是针对自己的弱点重新翻看教材，使得复习有序，把零散的知识串联成条条框框，编织成网络。这样可在总体上把握教材，明确每一章、节的知识在整体中的地位、作用，以课本为基础，全面复习。章节之间———善于归总；知识之间———善于转化；例题习题———善于变化；分段训练，分类推进。
确实，看课本对我们来说真是太简单，但这却也是一个不可忽视细节。然一项教育改革只有通过教师在课堂上众多细节的演绎而转化为深刻影响学生思维和接受的力量，才有可能是成功的。因此，教学改革，也要从细节做起。
参考文献：
[1]李镇西.做最好的老师.桂林:漓江出版社,2006.5
[2]汪中求.细节决定成败.北京:新华出版社,2007.1
[3]严育红.新课程教学问题讨论与案例分析.北京:北京首都师范大学出版社,2006.4
[4]关文信主编.新课程理念与课堂教学行动策略.北京:北京首都师范大学出版社,2003.5
[5]王晓春.中学:点评100个教育案例:今天怎样做教师.上海:华东师范大学出版社,2005.6
[6]华夏素质教育研究所课题组.2006年全国中考数学考试评价报告.上海:华东师范大学出版社,2007.2
[7]肖川主编.名师备课经验.数学卷.北京:教育科学出版社,2006.3
[8]雷玲主编.品读名师经典课.数学卷:好课是这样炼成的.上海:华东师范大学出版社,2006.6
探究 “投影”类中考题
“投影”是现行初中数学教材新增的一个知识点，也是近几年数学中考中的一个亮点，其解题的核心是抓住某一时刻物高与影长的变化规律，应用所学的有关数学知识进行解决.为帮助同学把握“投影”的实质，本文通过对近几年中考题的剖析，来探究“投影”类中考题的变化，并对其解题方法进行归类分析.
探究一：比例求高“投影”类题
题型1 （2006年成都市）如图1，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙，在阳光下测量了同一时刻他自己的影长和楼房的影长分别是0.5米和15米.已知小华的身高为1.6米，那么他所住楼房的高度为________米.
分析：本题的解题思路是把太阳光线看成平行光线，依据同一时刻物高与影长成正比，很容易求出小华所住楼房的高度为48米.
变化1－1 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在坡面上：
（2007年宁波市）如图2，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD=12 m，塔影长DE=18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为( )
(A)24m (B)22m (C)20 m (D)18 m
分析：本题的关键是仔细观察图形，理解铁塔的影子是由坡面DE与平地BD两部分组成.由题型1的经验得：
塔影落在坡面部分的塔高﹕塔影DE长＝小明的身高﹕小明的影长；
塔影落在平地部分的塔高﹕塔影BD长＝小华的身高﹕小华的影长.
设塔影留在坡面DE部分的塔高为h1、塔影留在平地BD部分的塔高为h2，则铁塔的高为h1+h2.
∵ h1﹕18 m＝1.6m﹕2m h2﹕6m＝1.6m﹕1 m
∴ h1＝14.4m h2＝9.6m ∴塔高AB为24m. ∴ 应选A.
变化1－2 如果物体的投影一部分落在平地上，另一部分落在台阶上：
（2008年绍兴市）兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图3，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
(A)11.5米 (B)11.75米 (C)11.8米 (D)12.25米
分析：由题意画出图4，可知树的影长有三部分BE、DE和CD，延长CD交AB于F后，就将树的这三部分影长转化为两部分高BF和影长CF．因为由矩形的性质得，BE=DF=4.4m，BF=DE=0.3 m，所以，CF=4.4m+0.2 m=4.6 m，再利用高AF与影长CF的比1 m﹕0.4 m，求出AF=11.5 m，最后求出树高AB= AF + BF =11.8 m. 因此应选C.
变化1－3 如果将上题中的DE改为斜坡，再改变部分已知条件：
（2006年梅州市）梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图5，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2 m, DE=4m ,BD=20m，DE与地面的夹角．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆的高度．（结果保留两个有效数字）
分析：根据题意画出示意图6，对照上题，只要过点E作EH⊥BD，垂足为H，延长CE交AB于F，即可将问题转化成了上题的形式，求出旗杆
的高度约为8.4 m.
探究二：三角函数求高 “投影”类题
题型2 （2007年福建龙岩）如图7，当太阳光与地面成角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.16m，则玲玲的身高约为
m．（精确到0.01m）　
分析：由已知条件构建Rt△ABC，如图8所示，则 BC=1.16m, ∠ACB=，由三角函数的定义得，AB=BC tan≈1.66 m，
即玲玲的身高约为1.66 m.
变化2－1如果将太阳光改为照明灯，再适当改变已知条件和问题的形式：
（2007年南宁市）如图9所示，点P表示广场上的一盏照明灯．若小丽到灯柱MO的距离为4.5米，照明灯P到灯柱的距离为1.5米，小丽目测照明灯P的仰角为，她的目高QB为1.6米，试求照明灯P到地面的距离（结果精确到0.1米）．
分析：解此题的突破点是如何将不规则的图形转化为规则的几何图形．先由已知条件在这个图形中构建矩形和直角三角形，过点Q作QE⊥MO于，过点P作PF⊥OB于F，交QE于点D，则PF⊥QE，如图10所示，这样将求照明灯P到地面的距离转化为求PD与DF的和．
在Rt△PDQ中，
由于∠PQD=，DQ= EQ—ED=3m
∴PD=DQ tan=3×tan≈4.3（m）
∵DF=QB=1.6 ∴PF=PD+DF=4.3+1.6=5.9（m）
∴照明灯到地面的距离为5.9 m．.
探究三：相似三角形求高 “投影”类题
题型3 （2007年大连市）如图11，为了测量学校旗杆的高度，小东用长为3.2 m的竹竿做测量工具。移动竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为__________m．
分析：本题用相似三角形的对应边成比例，容易求出旗杆的高为12 m．
变化3－1　如果将上题的太阳光线的平行投影改为灯具的中心投影，再适当改变已知条件和问题的形式：
（2008年聊城市）如图12，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点 ）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
分析：解此题的基本思路是在读懂题目
的基础上，把复式的几何图形拆分成单一的几何图形，弄清小明站在A点的影长是AM，站在B点的影长是BN，两者的差即为问题的答案．
由△MAC∽△MOP，，即，解得．
同样由可求得．所以，小明的身影变短了3.5米．
由上述分析可知，图1、图8、图11是解“投影”类题的基本图形，其解题的对应方法有三种：第一利用同一时刻物高与影长成正比解；第二构建直角三角形用三角函数解；第三构建相似三角形用相似三角形的对应边成比例解．对于这种类型的问题，教师要启发学生善于观察、分析，把握其中的变化规律．
数学学业考试复习之浅见
如何在有限的时间内进行高效的数学学业考试复习，并最终提高学业考试成绩是九年级师生们最关心的问题，也是每个教师经常研究的问题，根据我通过对近几年各地学业考试试题的分析，研究，认为在复习中，应注意以下几个方面。
一、应注重对数学核心内容的复习
我们可以看到近几年各地学业考试试题都比较关注对学生掌握数学核心内容的考查，其中包括了对数学基础知识，基本技能，基本思想方法和基本活动经验的考查。命题形式比较新颖，不落熟套，一改以往有固定模式的倾向，对防止题海训练起到了很好的引导和矫正作用。
例1、（河南省中考题）有一道题“先化简，再求值：÷，其中X的值为－”，小玲做题时把“X＝－”错抄成了“X＝”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么一回事？
解析：∵原式＝X2＋4，∴（±）2=3，∴错抄题后结果未变。
代数中的化简求值问题涉及对运算的理解以及运算技能的掌握。以往大多数以直接考查学生运算技能的掌握情况作为基本命题思路，但本题却以考查对运算原理的理解作为命题的重心，以学生日常学习中抄错数而计算结果正确的现象为背景来引出问题，给人以耳目一新的感觉，不仅没有削弱对运算技能的考查，还隐藏了解决问题的思路，较好地考查了学生对运算原理的理解和运用。
所以学生在平时的学习中要养成爱动脑，爱思考的习惯，避免死搬硬套，题海战术的机械训练，避免只注意偏、难、怪、深的学习。解题时，应真正弄清知识的来龙去脉，达到解一题通百题的效果。
二、注意培养学生的“动手操作”能力
数学学习无论是内容还是方法都要重视“动手操作”的作用，要改变以往数学学习过分依赖模仿与记忆的学习方式，在“动手操作”中使学习活动成为一个生动活泼，主动并富有个性的过程。
例2、（北京市海淀中考题）印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码。如果想设计一本16页的毕业纪念册，请你按图1、图2、图3（图中1，16表示页码）的方法折叠，在图4中填上按这种折叠方法的各页在该面相应位置上的页码。
评析：学生直接填数是有一定困难，如果用一张纸按题中要求进行动手操作，然后填上相应的数字作为页码，问题就解决了。所以可填的数字为如下：
通过动手操作，使复杂的问题简单化，使抽象的问题具体化，看似动手很费时间，实际上可以又快又正确地解答。
三、注重学生的“学习过程”
《数学课程标准（实验稿）》指出“要让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”，数学课程的内容不仅包括数学的一些现成结果，还包括这些结果的形成过程。学生通过这个过程，理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学结论是怎样获得和应用的，学生通过这样的学习，会得到一些对他们终身有用的东西。所以，在学业考试中也出现了考查学生探究问题，发现问题，解决问题能力方面的试题。
例3、（绍兴中考题）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分, , 与互补，
求证：．
小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．
（1）特殊情况入手添加条件：“”, 如图2，可证．（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，
过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
评析：该题模拟数学探究过程，发现问题，解决问题的过程，考查学生在解决该题的过程中，学会一种数学的探究方法，解决问题的方法。同时引导教师注重数学思想方法的教与学，真正体验和经历数学化的过程，获得广泛的数学活动经验。所以教师在平时多给学生一些这样的数学问题，将十分有利于课标中倡导的学生的创新意识与创造能力的培养。
四、注意对学生应用数学能力的培养
学数学主要是为了解决生活，生产当中出现的问题，是为日常生活和工作服务的。新课标指出学生在学习数学过程中应认识到现实生活蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有广泛应用；面对实际问题时能主动尝试着数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略；对新的数学知识时，能寻找实际背景及应用价值。故学业考试中考查学生应用数学知识解决实际问题的较多。
例4、（湖北省十堰市中考题）农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业。他准备用40米的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25米的墙，设计了一个矩形的羊圈。如图
⑴请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
⑵请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计？并说明理由。
评析：试题的背景是长度一定的木栏，围成一个面积最大的羊圈，用到了数学的原理和方法，具有一定的教育价值。
⑴40－25＝15，故矩形的宽为7.5，所以矩形ABCD的面积为7.5×25＝187.5。
⑵设利用X米的墙作为矩形羊圈的长，则宽为米，设矩形的面积为Y平方米，则Y＝X·＝－X2＋20X，∵a＝－﹤0，故张大伯的设计不合理，应设计为长20米，宽10米，利用20米的矩形羊圈。
以上讲到的四个方面是学业考试复习中最应注意的问题，如果能做到以上四个方面，那么学生就能以不变应万变，既能培养学生的素养，为学生终身发展奠定基础；又能很快收到实效，使学业考试取得好成绩。如此好的事情，何乐而不为呢？
浅谈平面几何复习课选题的有效性原则
新课程下的平面几何的教学内容和教学要求都有较大的变化, 新中考中的平面几何题更是旧貌换新颜，新颖的题型层出不穷。因此新中考下的平面几何的复习课，要充分体现新课程的基本理念，把握新中考对平面几何试题的变化和考试要求，关注平面几何教学的本质，结合学生的实际和复习课的特点。在了解学生已有的知识基础和生活经验、钻研教材、研究中考的基础上，重点抓好复习课的选题。选择精彩的例题，并辅之以科学的教学方法，往往是提高平面几何复习课有效性的关键。针对上述情况，在复习过程中我从以下六个原则来编选例题。
一、选题要面向全体学生，根据学生的不同需求，体现层次性原则。
复习课同样也要面向全体学生，针对每一个有差异的个体，适应每一个学生的不同发展的基础，要为每一个学生提供不同的发展的机会和可能，使不同的人在数学上得到不同的发展。
例如下面一组题目：
1.1 如图，是⊙O的弦，于点， 若，，则⊙O的半径为 cm．（2008年福州市中考题）
1.2如图（2），已知⊙O的半径为5，弦AB=6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( C ) （2008年山东枣庄市中考题）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.5
1.3如图（2），己知⊙O的半径为5，弦AB的长为8，P是
弦AB上的一动点，若OP的长为整数，则满足条件的点
P有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 （2）
1.4 如图（2），己知AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径等于 cm。（2005年天津市中考试题）
这组题目的特点是：以课本例题为基础，以试题串的形式组题，做到了由易到难，层次分明，不断深入。它既复习了圆中的垂径定理的基本性质，又训练了学生的基本技能和培养了学生的思维能力。
这组题目的第3、4、题对基础差的学生来说有一定的困难，无从着手。如果先安排第1、2两题的训练，并逐步引伸，这样使学生从中得到启发，使问题得以解决。
二、选题中，应加强熟练巩固定理，灵活应用基础知识，体现针对性原则。
复习课担负着既要复习巩固已学的基础知识，又要把知识整理成线或块的形式.复习课更注重学生数学能力的培养和提高。因此复习课选题时要关注数学核心内容中基本性质。
2.1 （2008年巴中市）已知：如图(3)，在中，点是的角平分线上一点，于点，过点作交于点．求证：点是过三点的圆的圆心．
2.2 如图（4），在△ABC中，已知M是BC边的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于N，AB=10，AC=16，求MN的长。
2.3 如图（5），BC是半圆O的直径，D是弧AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，AE=3，CD=2，求弦AB和直径BC的长。

(3) (4) (5)
等腰三角形的性质定理和判定定理是初中平面几何中的核心内容，它的应用比较基础和广泛。通过这组题的学习，加强熟练巩固对等腰三角形的性质定理和判定定理的理解和应用，并在教学中教师通过这组题让学生理解等腰三角形具有“顶角的平分线垂直平分底边”的性质，反过来，“若在三角形中一个角的平分线垂直于对边，则这个三角形为等腰三角形”，这组题就是依据这个性质，通过添加辅助线构造出等腰三角形的数学模型。
三、在选题时，要发挥基本图形的运用功能，体现代表性原则。
复杂的几何图形，往往是由一些基本图形复合而成，掌握了基本图形的构成、形式及其性质，就能从复杂图形中解脱出来，从而使平面几何证明顺利完成，下面就以“相似形”为例，谈谈基本图形在解题中的应用。
“A”字型和“8”字型是“相似形”中的二个基本图形，它是解决许多几何问题的基础和关键。
3.1 如图（6），已知△ABC中，D在BC上，E在AC上，AD、BE相交于F，BD:DC=2:3，AF=2DF，求BF:FE
分析：AD、BC是“已知”部分的线段，BE是“未知”部分的线段，故过D作DN∥BE交AC于N，则构成了两个“A”字型的基本图形。
3.2 在上例中，若己知不变（如图7），求
分析：这里AC为“未知”部分的线段，故过D作DM∥AC交BE于M，则构成了一个“A”字型，一个“8”字型的基本图形。

（7）
3.3 如图（8），AB是半圆的直径，点C是弧AB的中点，点P是弧AC的中点，连结PB、CA交于点E，则= （ ）
A B C D 3
（8）
分析：以所求比例为基础，结合圆中的基本性质，通过添加辅助线构造一个“8”字型的基本图形，使复杂问题简单化。
这组题是以相似形中常见的二个基本图形为基础，通过添加辅助线，构造“A”字型和“8”字型，并运用基本图形的功能，使问题解决。
四、选题要选一些一题多解、一题多变的题目，体现灵活性原则
在解某些几何问题时，只要正确审题，根据条件和结论从不同的角度去分析、思考、联想，必能突破思维障碍，得以不同思路下的多种解法。引导学生对几何问题进行变式或深化推广引申、创新，让学生进行多角度、多方面的发散思考，培养学生思维的灵活性。
4.1 已知：点C和D点在AB两侧，且∠ACB=∠ADB=90°，E是AB的中点，
（1）如图9，EC与ED是什么关系？为什么？
（2）当点C和D在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？
（3）如图10，连结CD，并且点F是CD的中点，EF和CD具有怎样的位置关系？为什么？
（4）当点C和D点在AB同侧时，上述结论是否成立？为什么？
（5）如图11，若△CED是直角三角形，求∠CAD的度数。
(9) (10) (11)
通过上述这组题的设问，一步一步深入，形成“命题链”，这样不但复习了直角三角形斜边上的中线和等腰三角形“三线合一”的基本性质，而且加强了学生的分类意识，培养了学生的研究性学习的能力。
五、选题时，应注重创新意识和创造能力的培养，体现创造性原则
新课程下的中考试题，更注重学生的创新意识和创造能力的培养，在选题时，要选一些立意新颖的开放性和探索性试题，有利于学生创造能力的培养和全面素质的发展。
5.1 (2007年宁波市中考试题)四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．求证：点P是四边形AB CD的准等距点．
(4)试研究四边形的准等距点个数的情况(说出相应四边形的特征及准等距点的个数，不必证明)．
评析：本题的“准等距点”对学生而言是一个未知的“新定义”概念，这种对学生既新颖又陌生的几何情境对所有的学生都是公平的。因而，这类试题在很大程度上能区分学生思维能力和迁移能力方面的差异，从而确保了同一水平学生的真实水平与考试结果能保持较高的一致性。
六、选题时，要关注操作性和运动型等新颖几何题，体现时代性原则
操作性和运动型几何题是近年来中考的热点问题，它把传统几何的静止状态动起来，使几何试题既新颖又灵活起来，增加了学生的思维空间。
6.1 如图13①所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图18②所示），将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A、D1、D2、B始终在同一直线上），当点D1与点B重合时，停止平移，在平移过程中，C1D1与BC2交
(13)
于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F，P。
（1）当△AC1D1平移到如图13③所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想。
（2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围。
（3）对于（2）中的结论是否有这样的x，使得重叠部分面积等于原△ABC纸片面积的？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由。
这是一题操作性运动型试题，能让学生在运动中，找出图中的不变量，找出图中变量与变量的变化关系。通过这一题组的复习，使学生善于在变化中把握不变量，利用不变量寻找相关问题，能提高学生的综合分析能力。
窥一斑知全豹
-------由一类全等三角形的中考题看中考之发展
摘要：人们常说，给学生一杯水，自己就要有一桶水。文科老师喜欢看一些文学作品，作一些读书笔记，并把好的文章引用到课堂教学中去。他们的课堂因此而变得更加精采。我们数学教师，平时喜欢阅读大量数学题目，并把一些好的题目归类，把它们印在脑海中，有时在上课时，一些题目信手拈来，同样也收到了较好的效果。阅读数学题，也能从中看出中考题历年的发展趋势，发现新课改的方向。下面给大家介绍几个有关于全等三角形的中考题摘记，与大家共享。
关键词：读数学题……做数学题之摘记……
在老的浙江教育出版社数学课本中，有这样一个题目:
正方形ABCD中，O为正方形的中心，以O为顶点的正方形O A’ B′C′绕点O无论怎样转动，它与正方形ABCD的重叠部分的面积总是保持不变.请证明这个结论。
2003年绍兴市中考题：
已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，按以下要求解答问题：
1三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与边OA，OB交于点C，D.
在图甲中，证明：PC=PD；
在图乙中，点G是CD与OP的交点，且PG=PD，求△POD与△PDG的面积之比.
2将三角板的直角顶点P在射线OM上移动，一直角边与边OB交于点D，OD=1，另一直角边与直线OA，直线OB分别交于点C，E，使以P，D，E为顶点的三角形与△OCD相似，在图丙中作出图形，试求OP的长.
点评：这个题目的图甲其实是只截取了课本原题中的重叠部分，近几年的中考数学试题，90％左右的题目均来源于课本，其中，绝大部分是课本题目的改编或延伸．这种命题思路，既给数学教学以及数学总复习以导向，又引导学生在课本习题上多下功夫，学会灵活地运用所学知识解决问题．又如下面一个选择题更是对书本中原题的发展：
将n个边长都为lcm的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，……，An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分(阴影部分)的面积和为（ ）
A．cm。 　　 B．cm2
Ｃ．cm2 　　 D．cm2
如果我们把以上的原题的形状作一改动：把正方形ABCD改为正三角形ABC， O为正△ABC的中心，以O为顶点的扇形OB′C′绕点O无论怎样转动，要使它与正△ABC的重叠部分的面积总是保持不变，问扇形OB′C′应该满足什么条件？试说明你的理由。
这一个题目就成了2005年中出现的一个中考题。
而2007年的绍兴市中考中出现了下面一个证明题，这里的图形又是截取了以上图形的重叠部分。这个题目的全题如下：
课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分, , 与互补，求证：．小敏反复探索，不得其解．她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题．（1）特殊情况入手添加条件：“”, 如图2，可证．（请你完成此证明）
（2）解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F．（请你补全证明）
在这个试题中，命题者创设了一个问题情境，成了一个探索性问题，并包含了分析问题从特殊到一般的思想方法，十分符合当令新课改的方向，看后不仅让人拍手叫绝。以上一些题目一题更比一题新颖，在我看来，好比是一棵小树逐渐开支散叶，最后枝繁叶茂，成了一个系列。
下面我再给大家展示另外一个系列。
在老课程的作业本中经常可以看到以下一个习题：
已知：如图，在等边△ABC中，D、E分别为BC、AC上的点，
且AE＝CD，连结AD、BE交于点P，作BQ⊥AD，垂足为Q．
求证：BP＝2PQ.
这个题目可先证⊿ABD≌⊿BCE，再得到∠BPD=60度而得。
我读了一些中考试题后，发现其中有两个试题对它作了更进
一步的发展。 我把它 摘录如下：
问题背景；课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：
①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN。②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点。BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN。
然后运用类似的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN。任务要求（1）请你从①．②，③三个命题中选择一个进行证明 （2）请你继续完成下面的探索；
①如图4，在正n（n≧3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立（不要求证明）
②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立，若成立，请给予证明。若不成立，请说明理由
（I）我选
证明 ：
如果以一个题目还是在正多边形中内部作图，那下面的题却把它发展到了多边形的外部。这个题目是：
如图12－1、12－2、12－3中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的一边延长线和另一边反向延长线上的点，且BE＝CD，DB延长线交AE于F。（1）求图12－1中，∠AFB的度数；
（2）图12－2中，∠AFB的度数为__________，图12－3中，∠AFB的度数为___________；
（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况。若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由。
以上一些题目都环环相扣，如珠玉一串，形成一个系列。给人以美的享受。
读数学题，作数学摘记，对题目进行归纳整理，是我的一大爱好，这个习惯不仅使我自身得到了提高，同时也给我的数学课提供了大量的素材，使我们的数学课变得更加生动精采。
立足四基 注重能力 凸显新课程理念
——2008年绍兴市初中毕业生评价考试数学试卷评析
2008年绍兴市初中毕业、升学考试教学试题的命制，以《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下记《标准》）的思想理念为指导，以“保持稳定，服务课改，发挥导向”为原则，以“浙江省2008年初中毕业、升学考试说明”及教材为纲领，制定了试题的命制方向。下面分试卷基本情况、试题编制依据、试题特点分析、试题总体评价等四个方面总结如下：
试卷基本情况
1、考试规则
考试采用闭卷笔答形式、试卷称“初中毕业生学业考试试卷”，适用于初中毕业考试和各类高中招生考试。试卷满分为150分，考试时间为120分。
2、试卷结构
考试内容分布：初一、初二内容约占60％，初三内容约占40％。
考试要求分布：考试要求a约占20％，考试要求b约占40％，考试要求c约占40％。
试题类型分布：选择题约占27％，填空题约占20％，解答题约占53％。
试题难度分布：容易题约占65％，稍难题约占20％，较难题约占15％。
3、师生反映
（1）体现学科本质
学生往往多年浸泡于题海之中，虽然掌握了诸多解题技巧，但是对所学学科的本质和基本思想方法却茫然不知。今年试卷中有一道是以数学工具量角器为背景的选择题。
例1 如图，量角器外缘边上有三点，它们所表示的读数分别是，，，则的大小为（ ）
A、 B、 C、 D、
评析　本题以最熟悉的度量工具为背景，具有很强的现实意义和应用价值，抽象出圆的圆心角和圆周角的关系，“一条弧所对的圆周角数等于它所对圆心角的一半”的知识，较好的体现数学题目来源于生活却高于生活的美感。
（2）渗透课改理念
今年的数学试题总体来说体现了“稳中求变、变中求活”，课改理念渗透较多。整张试卷重视对学生数学思维层次和数学方法掌握的考察，强调开放性考察综合实践能力。
（3）充分重视基础
以考查基础知识和基本运算为目的的客观题，占总分值的一半以上，因此也是全卷的重要得分部分。试题降低了门槛，淡化了特殊技巧，平和清新，于常中见新，拙中见巧，平淡中见珍奇。严格按照数学中考说明命题，知识覆盖面广，题目不偏不怪，有助于指导教师把握教学的方向。
（4）注重应用实践
在实际应用背景下的试题，全卷有6道，占总题量的25％、总分值的30％。对考生的创新意识和实践能力的考查，很大程度表现在解答数学应用问题之中。今年的试题对应用问题的考查。注意渗透到社会中的各个方面，特别是一些以“5·12”四川汶川大地震为背景的题目，很有教育意义。
例2 在城关中学开展的“我为四川地震灾区献爱心”捐书活动中，校团委为了了解九年级同学的捐书情况，用简单的随机抽样方法从九年级的10个班中抽取50名同学，对这50名同学所捐的书进行分类统计后，绘制了如下统计表：
捐书情况统计表
种类
文学类
科普类
学辅类
体育类
其它
合计
册数
120
180
140
80
40
560
（1）在右图中，补全这50名同学捐书情况的频数分布直方图；
（2）若九年级共有475名同学，请你估计九年级同学的捐书总册数及学辅类书的册数．
评析　该题以“5·12”四川汶川大地震为背景，考查了统计、概率等知识的掌握程度。考查了学生对图表绘制过程的理解、阅读图表并提取有用信息的技能，借助数据处理结果做合理推测的能力。本题在考核数学知识的基础上向学生渗透爱心教育，是一道很不错的题目。
例3 地震发生后，一支专业搜救队驱车前往灾区救援．如图，汽车在一条南北走向的公路上向北行驶，当在处时，车载GPS（全球卫星定位系统）显示村庄在北偏西方向，汽车以35km/h的速度前行2h到达处，GPS显示村庄在北偏西方向．
（1）求处到村庄的距离；
（2）求村庄到该公路的距离．（结果精确到0.1km）
（参考数据：，，，
）
评析 该题仍以“5·12”四川汶川大地震为背景，考查了解直角三角形的知识。这类题从多个侧面展示数学应用的广泛性，体现出数学与传统的、现代的文化的交融，反映出数学来源于社会现实又为社会实践服务的基本事实。这些应用题的设计和考查，提高了考生学好应用问题的积极性，同时对运用所学数学知识分析问题和解决问题的能力进行了有效的检测。并努力激发学生的学习情感，更好的考查学生的价值取向，即情感、态度、价值观，将数学学习与学生的生活紧密联系起来，使生活经验数学化，数学知识生活化。
试题编制依据
1、明确考试性质
考试根据解释分数的方法中分为常模考试和标准参照考试。常模参照考试在设计题目的难度方面多为中等而不是偏难或偏易的题目，且题量较少，以体现考试的区别、增强选拔功能；而标准参照考试设计题目的难度要或既定的学习任务相匹配，而不考虑题目是偏难还是偏易，且题量较多。本次中考是“两考合一”，同时具有常模参照考试和标准参照考试的特点，需同时利用两者的长处，使考试具有双重性。
2、掌握命题原则
一是适纲性原则，严格按照“考试说明”命题，切合考生实际，发挥导向作用；二是适度性原则，既保持试题的稳定，又坚持改革创新；三是整体性原则，充分运用各种题型的考查功能，发挥每一道题的测试功能；四是规范性原则，语言含义清楚，背景设置公平，不出现科学性错误。
3、发挥试题功能
试题功能，就是试题传递考查信息的功能。一是考查内容的方面，内容应是全部考查内容的合理抽样，可以是具体的知识、技能和方法，也可以是比较抽象的能力、思想和观点；二是考查目标的方面，考查目标与教育目标基本一致，明确目标的分类（考试要求a,考试要求b,考试要求c）,把握命题达标的分寸，确保组卷科学。按照命题双向细日表筛选与完善入选试题，各题间尽量避免考查内容的重复，注意试题的排序，充分重视试题的调整。
试题特点分析
注重实际背景，考查四基掌握
《标准》要求，对基础知识和基本技能和评价应结合实际背景和解决问题的过程，更多地关注对知识本身意义的理解和在理解基础上的应用。全卷24道，其中大部分试题选取了与学生已有知识经验和知识体验密切相关的现实背景，在这些现实背景中考查对基础知识的理解和基本技能的掌握。
例4 北京奥运会国家体育场“鸟巢”的建筑面积为258000平方米，
那么258000用科学记数法可表示为 ．
评析 本题以2008北京奥运会主会场鸟巢为背景，通过鸟巢的建筑面积，引出用科学计数法，侧重对学生基础知识的理解和掌握。
例5 如图，轮椅车的大小两车轮（在同一平面上）与地面的触点
间距离为80cm，两车轮的直径分别为136cm，16cm，则此两车轮的圆心相距
cm．
评析　本题虽只讲到轮椅，但仍间接的以“5·12”四川汶川大地震为背景，具有很强的震撼力，同时又具有现实意义和应用价值。本题由两圆之间的位置关系抽象出直角梯形，从而构造直角三角形来解决问题。
又如第14、20题也是现实生活中学生购买学习用品的问题，贴近学生生活实际，同时又考查了不等式、二元一次方程、概率等知识和方法。
这些试题都创设了一定的情景，且内容丰富，经数学知识赋予充满生机、与生活息息相关的内涵，体现了《标准》中关于“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性”的基本观念，也体现了中考命题原则：试题背景来自于学生所能理解的生活现实，符合学生所具有的数学现实。同时增加了试题的亲和力，试题更具有人性化。
注重知识形成，考查应用意识
《标准》强调，数学的教学应当结合具体的数学内容，让学生经历“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的过程，在经历知识的形成与应用过程中，更好地理解数学，发展应用数学知识的意识和能力，增强学生的信心。
例6 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ）
A．11.5米 B．11.75米 C．11.8米 D．12.25米
评析 该题以树在台阶上的投影为背景，以相似三角形的知识为载体。根据物体在墙上的投影来引出此题，手段较旧，但情景比较新。
注重动手操作，考查探究能力
《标准》强调：“有效的数学学习活动不能靠单纯的模仿和记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。”
例7　将一张纸第一次翻折，折痕为（如图1），第二次翻折，折痕为（如图2），第三次翻折使与重合，折痕为（如图3），第四次翻折使与重合，折痕为（如图4）．此时，如果将纸复原到图1的形状，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
评析 本题采用一种折纸为背景，通过实际操作，动手实践与逻辑推理能力，考查学生对轴对称的本质的理解和掌握，试题设计较新，但难度较大，很多学生都不能很好的解决这个问题。
4、注重对数学学习方式的考查
围绕考查学生的创新意识，体现对主动参与、乐于探究的考查，加大了阅读理解题、归纳猜想题、探索题等题型的比例，强调考查探究能力；关注考查学生观察、抽象、概括、类比、归纳、猜想等思维活动的过程和方法，以及在思维活动中表现出来的思维深刻性、敏捷性、灵活性、严谨性和批判性，特别地突出对创造性思维能力和创新意识的考查.
例8 如图中的圆均为等圆，且相邻两圆外切，圆心连线构成正三角形，记各阴影部分面积从左到右依次为，，，…，，则的值等于 ．
评析 本题由学生比较熟悉的圆和等边三角形构成，但问题的解决却需要学生从具体的几何图形中抽象出数量关系，归纳出变化规律，并能用数学符号表示，最终将问题解决。这是一个逐步符号化、形式化的“数学化过程，需要具备一定的“数学化”能力。
例9 定义为一次函数的特征数．
（1）若特征数是的一次函数为正比例函数，求的值；
（2）设点分别为抛物线与轴的交点，其中，且的面积为4，为原点，求图象过两点的一次函数的特征数．
评析 本题中定义的新概念有一定的抽象性，但可以相信相当一些学生还是能够理解，并且能够解决与此相关的两个小问题。从试题编制方法上来说，这道题主要考查函数的知识；从对学生的思维考查来说，具有一定的挑战性；从大面积的使用效果看，这类抽象性比较大的题目是要慎重的。
5、注重知识联系，考查解题能力
《标准》强调数学中要“引导学生体会数学知识之间的联系，感觉数学的的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力”，这是从整体上理解数学的有效途径，也是提高解决问题能力的有效措施。
例10 将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
评析 本题是一道以折叠、动点为知识背景，容数形结合、分类讨论为一体的压轴题，主要考查学生是否能灵活运用轴对称、解直角三角形、平行四边形、一元二次方程、点的坐标、相似三角形等知识，全面考查学生的想象、分析、综合及探究能力。尤其是第（3）小题，答案不唯一，需进行分类讨论确定。总之，学生在解答过程中，需有扎实的基本功，严谨、认真的科学精神，还要有不畏困难、勇往直前的探究心理。
总之，试题在保持稳定性、连续性的基础上，大胆改革和创新、突出体现了《标准》中基础性、普及性和发展性的精神，是近几年来师生反应较好的一份数学试卷。这样的试题将对初中阶段推进课程改革，培养学生的创新精神和实践能力，减轻学生过重的负担，促进学生主动、活泼、生动地学习，起到很好的导向和促进作用。
四、试题的总体评价
对今年试题的总体评价是：
重视基础——试题注重对基础知识和基本方法的考查，体现义务教育阶段的基础性。
考查应用——试题注重现实背景，加强对应用能力的考查，体现学科知识和应用性。
关注差异——试题注重渗透新理念，关注对不同人进行不同的考查，并有不同的收获，体现学科教育的人文性。
明确导向——试题注重今后的教学导向，进行引领式的考查，体现学科教育的发展性。
综合而言，试卷对数学教学的导向作用非常明确，目标在于实现人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。

纵观近三年我市学业考试数学试卷谈初三复习对策
——06、07、08绍兴市中考数学试卷对比分析
新一轮基础教育课程改革以来，我市已有三届学生是使用华师大版数学实验教材，完成初中数学学科的学习，这种基于《新数学课程标准》的初中生数学学业考试试题都能够按照数学课程标准命题，注意渗透新课程评价理念。试题既能体现学科特点，又落实了课程标准的要求，有利于实施素质教育和学生的发展。无论是试题本身的数学内涵，还是试卷本身的表现形式，关爱学生、人文精神与教育价值都得到了较好的体现。纵观近三年的这三张数学试卷所涉及的评价指标，我们不难发现，近三年的数学试卷既注重考察学生知识与技能的掌握情况，又关注考察学生能力发展状况。本文将对比分析近三年我市的三张数学学业考试试题，希望对我们的数学教学、特别是初三的中考复习有所帮助。
三份试题的范围都覆盖“数与代数、空间与图形、概率与统计”三大领域，分值的分配大致是：代数占50%，几何占38%，统计占12%，08年“概率与统计”所占的比重有所增加，但是很多知识都是以综合题的形式呈现。
我们发现三年的试卷有很多类似之处，试卷的题量、题型、各知识块的考查重点、试题的形式都有相同之处。如06、07年数学试卷的选择题、填空题、解答题三大题型中都安排有“概率与统计”题各一题， 08年“概率与统计”的题量有所增加，有选择题4、10题，解答题20、21题共4题。
选择、填空题中“数与代数”、“空间与图形”的内容各占一半。解答题方面，第一题计算06年计算：，07年计算：，08年计算：都考到了零指数、负指数、三角函数、绝对值的运算。第二个计算题都是与分式运算有关，06、08年是解分式方程，07年是对分式的化简求值。第三题，06、07年都是关于轴对称图形的拼法设计的开放题，08年是作中心对称图形，再平移。而后面的解答题依次是解直角三角形和统计概率题。连续几年类似的命题方向对我市今后的数学教学及课程改革将起到良好的导向和促进作用。
下面结合绍兴市近三年的学业考试数学试卷的特点，来谈谈我们初三中考复习的对策：
一、立足基础考查，形式具有创新性，我们要梳理概念，夯实基础，形成结构
数学基础知识、基本技能以及数学思想方法仍是命题的重点，是构成试卷主体的主要内容。近几年的试卷都设计了较多的基础题，如几何体的正视图、摸球的概率、切线的性质简单应用、不等式的求解、列方程解应用题，图形变换、几何证明、函数等常规内容的考查。
08年6题，如图，量角器外缘边上有A，P，Q三点，它们所表示的读数分别是180°，70°，30°，则∠PAQ的大小为（ ）
A．10° B．20° C．30° D．40°
本题实质是考同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，但试题的呈现形式相当新颖，考查了考生对图形的分析能力。
07年11题，写出一个图象在第一、三象限的反比例函数的解析式 ．
本题以开放题的形式出现，所求结论开放的，获得结论的途径更是开放的——这说明它主要关注对其中数学知识的理解。其新意是渗透对基础知识的一种新的考查方法，即让学生在尝试性活动中表现出对基础知识（反比例函数）的理解水平。
我们平时做题时应做到深刻理解知识本质，加强审题能力的锻炼，适当练习热点题型，才能做到变更命题的表达形式后不慌不忙，得心应手。
06年19题，如图，在网格中有两个全等的图形（阴影部分），用这两个图形拼成轴对称图形，试分别在图（1）、（2）中画出两种不同的拼法。
07年19题，如图甲，正方形被划分成16个全等的三角形，将其中若干个三角形涂黑，且满足下列条件：
（1）涂黑部分的面积是原正方形面积的一半；
（2）涂黑部分成轴对称图形．
如图乙是一种涂法，请在图1～3中分别设计另外三种涂法．（在所设计的图案中，若涂黑部分全等，则认为是同一种涂法，如图乙与图丙）
这两题都是通过翻折、旋转等几何变换设计轴对称图形，这是学习几何是新教材的一个亮点，试题体现了几何知识的运用。这些题求解不一定需要严格的几何论证，而依赖于识别一些基本的全等图形，事实上，更多考查的是对图形“变换”前后状况的把握。
二、贴近生活实际，注重数学应用能力的考查，我们要准确阅读，提高信息处理的能力。
应用数学解决问题的能力既是《新数学课程标准》中的一个重要的课程目标，也是学生对相关教学内容理解水平的一个标志，《新数学课程标准》明确指出，中学阶段的数学教学应结合具体的教学内容采用“问题情境——建立模型——解释、应用与拓展”的模式展开，教学中要创造这种模式的教学情境，让学生经历数学知识的发生、形成与应用过程，新课程标准特别强调数学背景的现实性和“数学化”。因此，密切联系生活实际，以学生熟悉的题材为背景的试题备受青睐。这三年的试卷都编制了与生产和现实生活相关的应用试题。
08年第10题，本学期实验中学组织开展课外兴趣活动，各活动小班根据实际情况确定了计划组班人数，并发动学生自愿报名，报名人数与计划人数的前5位情况如下：
小班名称
奥数
写作
舞蹈
篮球
航模
报名人数
215
201
154
76
65
小班名称
奥数
舞蹈
写作
合唱
书法
计划人数
120
100
90
80
70
若用同一小班的报名人数与计划人数的比值大小来衡量进入该班的难易程度，则由表中数据，可预测（ ）
A．奥数比书法容易 B．合唱比篮球容易
C．写作比舞蹈容易 D．航模比书法容易
07年16题，绍兴黄酒是中国名酒之一．某黄酒厂的瓶酒车间先将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再将瓶装黄酒装箱出车间，该车间有灌装、装箱生产线共26条, 每条灌装、装箱生产线的生产流量分别如图1、2所示． 某日8:00～11:00，车间内的生产线全部投入生产，图3表示该时段内未装箱的瓶装黄酒存量变化情况，则灌装生产线有 条．
06年24题，某校部分住校生，放学后到学校锅炉房打水，每人接水2升，他们先同时打开两个放水笼头，后来因故障关闭一个放水笼头。假设前后两人接水间隔时间忽略不计，且不发生泼洒，锅炉内的余水量y（升）与接水时间x（分）的函数图象如图。
请结合图象，回答下列问题：
（1）根据图中信息，请你写出一个结论；
（2）问前15位同学接水结束共需要几分钟？
（3）小敏说：“今天我们寝室的8位同学去锅炉房连续接完水恰好用了3分钟。”你说可能吗？请说明理由。
这类试题充满生活气息，体现数学知识的应用价值。通过这类试题的考查，充分让学生体会数学与人类的关系，增强学生对数学的理解和学习数学的信心。同时，还启迪学生平时应关心生活，用数学的眼光对生活中的现象进行观察、感悟、内化和概括，形成学数学、用数学的意识和能力。在解此类问题时，首先一定要认真阅读、理清材料的脉络，然后再寻找数量之间的关系，并建立恰当的数学模型(如方程、不等式，函数)，在复习中必须改变只重形式题、证明题，忽视实际情景的状况，加强解实际问题的适当训练。
三、关注活动过程，注重探索性思维能力的考查，我们要大胆猜测，仔细求证
这三年数学试题都精心设计问题，让学生通过观察、实验、探索等活动获得数学猜想，并寻求证明猜想的合理性；让学生使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思维过程；让学生积极有效的观察所探索的对象——通过对具体情况的观察发现存在于探索对象背后的数学现象；让学生采用某种明确而有效的思维方法研究这些数学现象之中的规律；让学生有恰当的数学语言表达自己的探索与论证过程。
08年23题，学完“几何的回顾”一章后，老师布置了一道思考题：
如图，点分别在正三角形的边上，
且，交于点．求证：．
（1）请你完成这道思考题；
（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出
了许多问题，如：
①若将题中“”与“”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
②若将题中的点分别移动到的延长线上，是否仍能得到？
③若将题中的条件“点分别在正三角形的边上”改为“点分别在正方形的边上”，是否仍能得到？
……
请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：① ；② ；③ ．并对②，③的判断，选择一个给出证明．
07年23题，课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：
如图1，己知四边形ABCD中，AC平分, ,
与互补，求证：。
小敏反复探索，不得其解。她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题。
（1）特殊情况入手
添加条件：“”, 如图2，可证
。（请你完成此证明）
（2）解决原来问题
受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：
如图3，过C点分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F。（请你补全证明）
06年23题，我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？
（1）阅读与证明：
对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等。
对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）
对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB= A1B1，BC= B1C1，∠C=∠C1，
求证：△ABC≌△A1B1C1
（请你将下列证明过程补充完整）
证明：分别过点B、B1，作BD⊥CA于D，B1D1⊥C1A1于D1，
则∠BDC=∠B1D1C1 =90o，∵BC= B1C1，∠C=∠C1
∴△BCD≌△B1C1D1 ∴BD= B1D1
（2）归纳与叙述：由（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论。
06、07、08年的23题都考查学生的数学证明能力，但这种数学证明不仅仅局限于按照逻辑程序，从一个（或几个）结论出发，推出一个新的结论。事实上，获得命题的过程与证明命题常常同样重要，而且，获得的具体过程也可以对证明带来启示。数学证明的过程，常常伴随着归纳、猜想等获得进行，而不仅仅是纯粹的逻辑证明。
四、重视思想方法，注重对学生数学素养的考查，我们要重视对数学思想方法的归纳
数学思想方法是《标准》规定的重点内容之一，也是反映学生数学素养的重要指标。因此，试卷设计了大量的试题来考查数学思想方法的掌握情况。具体见下表：
序号
思想与方法
06年试题号
07年试题号
08年试题号
1
转化思想
4、5、6、15、16
5、7、15、16、22
6、8、9、13
2
分类讨论思想
16、22、23、24
7、9、24
9、22
3
函数与方程思想
6、10、15、21、24
9、15、16、21、22、24
7、13、14、22、24
4
数形结合思想
9、10、13、15、16、24
15、16、21、24
7、9、13、22、24
5
特殊与一般思想
23
23
23
6
统计思想
2、13、20
8、14、21
4、10、20、21
数学思想方法是数学的精髓，虽然教材中没有专门的章节介绍，但却渗透在初中三年数学的全过程之中，是以数学知识为载体的更高层次的数学。近三年我市数学的中考试题非常重视对数学思想方法的考查，包括：数形结合思想、函数与方程思想、转化思想、类比联想类比归纳的思想、分类讨论思想、统计思想。忽视数学思想方法的复习和整理，这是很多同学复习中成绩总是上不来的根本原因之一。这也启示我们在今后的教学中在重视知识传授的同时，更要重视数学思想和方法的渗透，培养学生提出问题、分析问题、探究问题和解决问题的能力，培养学生从宏观上审视考题，抓住问题的实质，对试题提供的信息进行分拣、加工、组合，寻找解决问题方法的能力。发展学生的创新意识和应用意识。我们在总复习时，应该对每一种思想方法的实质，它所适用的题型，包括解题的步骤都要熟练掌握。
06、07、08年绍兴市的学业评价数学试卷，既体现了数学学科的基本特点，又给学生创造了灵活、综合地运用基础知识、基本技能、基本数学思想和方法进行探索、思考的空间与机会。今后的学业评价试卷会延续这几年的命题思路，重视从整体上把握数学，灵活应用数学，重应用、重能力、重创新，实现和新课程标准的无痕迹的“软对接”。在整个总复习过程中，要不时对照我市近几年的数学试卷命题方向，反思自己的复习内容，防止走偏，随时、及时调整复习的方向。好好研读近几各地的中考试卷，对我们的教学和复习都会有所启迪和帮助。
计算器在三角函数中的巧妙应用
——分析2008年绍兴市中考压轴题有感
教育部《全日制义务教育数学课程标准》把计算器的教学和使用作为中学数学教育改革的“六大理念”之一，提出数学课程的设计与实施，应重视运用现代信息技术，特别要充分考虑计算器对数学学习内容和方式的影响，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力的工具，致力于改革学生的学习方式，使学生乐意并有更多的精力投入到“现实的，探索性的数学活动”中
绍兴的中考试卷中，每年都会出现应用计算器解决的操作性的题目，但是在压轴题中，能够运用计算器巧妙解决的，还为数不多，下面我们就来看一下2008年的压轴题题
24．将一矩形纸片放在平面直角坐标系中，，，．动点从点出发以每秒1个单位长的速度沿向终点运动，运动秒时，动点从点出发以相等的速度沿向终点运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点的运动时间为（秒）．
（1）用含的代数式表示；
（2）当时，如图1，将沿翻折，点恰好落在边上的点处，求点的坐标；
（3）连结，将沿翻折，得到，如图2．问：与能否平行？与能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．
教研室给出的参考答案如下
解：（1），．

（2）当时，过点作，于，如图1，
则，，，．
（3）①能与平行．
若，如图2，则，即，，而，．
②不能与垂直．
若，延长交于，如图3，则．，
．
．
又，，，
，而，不存在．
此题为综合题目，涉及到代数知识与几何知识的综合，涉及到函数，方程，相似分类讨论，运动变化等多个知识点，能综合考查学生分析问题与解决问题的能力，对学生的能力要求较高，很有区分度，是个很好的压轴题。
但是在实际改卷过程中，得分率很低，特别是第三小题的第②问，答对者更是寥寥无几，参考答案运用了两次三角形的相似，通过相似对线段进行转化，表示过于复杂，笔者给出了一种较为简单的证明
若，QE∥AC，
，
，根据倍角的三角函数公式，我们可以计算出，但是这个公式是高中数学的内容，初中的学生是不知道的，所以这个时候，我们可以巧妙运动计算器，用计算器计算出，，
，注：输入过程，显示
，
，而，不存在．
这种解法思路清楚，把第一个问题表示的线段，一直作为解决问题的关键，用到最后，当然计算器在这里的应用可谓是这种巧妙解法的关键吧
这种解法的灵感其实就来自于课本的中的一个简单的例题，浙教版九上1.2有关三角函数的计算（2）中的例3：如图，一段公路呈圆弧形，测得弯道弧AB两端的距离为200m，弧AB的半径为1000m,求弯道的长（精确到0.1m）
分析：因为弧AB的半径已知，根据弧长公式，要求弯道弧AB的长，只要求出弧AB所对的圆心角的度数。做OC⊥AB，垂足为C，则OC平分。在中，，，于是就有
，利用计算器，输入，就得到了
某次月考中，也出现了类似的试题，已知等腰中，AB=AC=5，BC=6，求
分析：过点C作AB的垂线，垂足为E，所以
过点A作AD垂线，垂足为D，根据等腰三角形的性质，得到AD=4
然后通过面积法，，得到，所以
上面的解法比较常规，但是过程比较繁琐，在这里介绍一种利用计算器的巧妙方法，因为，且，所以在计算器中输入，便能得到的正确答案
上面两个例题和中考压轴题的解法有着异曲同工之处，所以说在平时的简单例题的教学过程中，教师应该渗透一些数学思想方法的讲解，例如在这里就可以教会学生，利用计算器，通过三角函数的计算，角之间的关系，求出未知角或者未知角的三角函数，让学生把这个思路当成一种常见的解题思路，从而应用到平时的练习和考试中去。
总而言之，教学“用计算器计算”，老师们不但要教会学生正确使用计算器的各种功能。我们更要体验到：使用计算器的教学不单是知识与技能的教学，它也是发展数学思考、培养解决问题能力和形成积极的情感态度的教学。

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