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2025.10.27初四上数学阶段测试-张店八中
一．选择题（共10小题）
1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A．B．C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA＝（　　）
A． B． C． D．
3．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）
A． B．
C． D．
4．若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．m＝0 B．m＝1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或1
5．下列选项是对二次函数y＝2（x﹣3）2+1的描述，其中正确的是（　　）
A．图象的开口向下 B．图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．函数的最小值为1 D．当x＜3时，y随x的增大而增大
6．如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，若斜坡AB的坡度为，则斜坡AB的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
10．定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离．有下列结论：①⊙A是以A（0，2）为圆心，半径为1的圆，则在y轴上到⊙A的距离为1的点有2个；②若点B到函数y＝x+1图象的距离为1，则所有符合要求的点B都在函数y＝x或y＝x+2的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到函数图象的距离的最小值为；④已知D（1﹣m，2m+1），点D到函数y＝ax2+2ax的图象距离的最小值为，则a的值为﹣2或．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共5小题）
11．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 　 　 ．
12．若角α、β是直角三角形的两个锐角，则的值为　 　 ．
13．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　 　 ．
14．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝　 　 ．
15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为　 　 ．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）； （2）．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD，求AC的长和tan∠ADC的值．
18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为8米，与水平面的夹角为16°．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米．求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
19．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1．
（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，使经过点（2，﹣5），求m值．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）若，请直接写出关于x的不等式的解．
21．已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标．
22．阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：
如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，，求AD的长．
小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．解决下列问题：
（1）请直接写出AD的长为 　 　 ；
（2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得AD的长；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，，∠B＝∠C＝135°，AB＝8，AB＝8，CD＝2，求AD的长．
23．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
2025.10.27初四上数学阶段测试-张店八中
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D A B C C B B B A
一．选择题（共10小题）
1．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（　　）
A．B．C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A不符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，因变量y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D符合题意；
故选：D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，，那么cosA＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由条件可设BC＝2x，AB＝3x，
∴ACx，
∴．
故选：D．
3．为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了40m长的斜道（如图所示），我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：sinA0.25，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为
故选：A．
4．若函数是二次函数，则m的值为（　　）
A．m＝0 B．m＝1 C．m＝﹣2 D．m＝﹣2或1
【解答】解：由题意得，
得，
∴m＝1，
故选：B．
5．下列选项是对二次函数y＝2（x﹣3）2+1的描述，其中正确的是（　　）
A．图象的开口向下
B．图象的对称轴为直线x＝﹣3
C．函数的最小值为1
D．当x＜3时，y随x的增大而增大
【解答】解：对于二次函数y＝2（x﹣3）2+1，
∵a＝2＞0，
∴图象开口向上，A选项说法错误，不符合题意；
图象的对称轴为直线x＝3，B选项说法错误，不符合题意；
函数的最小值为1，C选项说法正确，符合题意；
当x＜3时，y随x的增大而减小，D选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
6．如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价＝单价×数量）最多的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解答】解：如图，过点甲作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点A，过点丙作平行于x轴的直线，交反比例函数图象于点B．
设A（a，b），B（c，d），甲（x甲，b），丙（x丙，d），
设反比例函数图象对应的函数关系式为y（k为常数，且k≠0），
∴乙，丁的总价均为k，
∵ab＝k，x甲＜a，
∴x甲b＜ab＝k，
∴甲的总价小于k，
∵cd＝k，x丙＞c，
∴x丙d＞cd＝k，
∴丙的总价大于k，
∴四件商品中，总价的大小关系为丙＞乙＝丁＞甲，
∴总价最多的是丙．
故选：C．
7．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＞0，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意；
故选：B．
8．如图，无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，若斜坡AB的坡度为，则斜坡AB的长为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【解答】解：无人机在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，斜坡AB的坡度为，如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∴tan∠ABF
∴∠ABF＝30°，
∴∠HPB＝30°，∠APB＝45°，
∴∠HBP＝60°，
∴∠PBA＝90°，∠BAP＝45°，
∴PB＝AB，
∵PH＝30，sin60°，
解得：PB＝20，
故AB＝20米，
故选：B．
9．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论：①abc＞0；②b2＞4ac；③a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1）；④关于x的方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，且这四个根的和为4．其中正确的结论有（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①④ D．②③
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵抛物线与y轴交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确；
∵x＝1时函数取最大值，
∴am2+bm+c＜a+b+c（m≠1），
∴am2﹣a+bm﹣b＜0，即a（m2﹣1）+b（m﹣1）＜0（m≠1），③正确．
∴由图象可得函数最大值大于2，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相等的实数根x1，x2，
ax2+bx+c＝﹣1有两个不相等的实数根x3，x4，
∵图象对称轴为直线x＝1，
∴x1+x2＝2，x3+x4＝2．
∴x1+x2+x3+x4＝4，
∴④正确．
故选：B．
10．定义：点P与图形G上各点所连线段中，最短的线段的长度称为点P到图形G的距离．有下列结论：①⊙A是以A（0，2）为圆心，半径为1的圆，则在y轴上到⊙A的距离为1的点有2个；②若点B到函数y＝x+1图象的距离为1，则所有符合要求的点B都在函数y＝x或y＝x+2的图象上；③若点C在函数的图象上，则点C到函数图象的距离的最小值为；④已知D（1﹣m，2m+1），点D到函数y＝ax2+2ax的图象距离的最小值为，则a的值为﹣2或．其中，正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：①∵⊙A是以A（0，2）为圆心，半径为1的圆，
∴⊙A与y轴的两个交点坐标分别为（0，3），（0，1），
∴在y轴上到⊙A的距离为1的点有（0，4），（0，0），（0，2）；
共3个点；错误；
②B到函数y＝x+1图象的距离为1，如图所示：
当x＝0时，y＝1，
∴J（0，1），
当y＝0时，x＝﹣1，
∴W（﹣1，0），
∴OJ＝OW，
∴∠OJW＝∠OWJ＝45°，
∴y＝x+1与y轴的相交形成45°角，
同理可得∠JLK＝45°，
∵∠JKL＝90°，
∴∠KJL＝∠JLK＝45°，
∴KJ＝KL
∵JK⊥a且△JKL为等腰直角三角形，JK＝1，
∴，
∴，，
∴直线a为，直线b为，错误；
③利用对称性和几何性质，如图所示，两个反比例函数的图象与直线y＝x相交于点R，T，此时RT最小；
解方程，得x＝2（取正），
∴R（2，2），
解方程，
得 （取负），
∴，
∴，
最小距离为，正确；
④函数y＝ax2+2ax＝a（x+1）2﹣a，
其图象的对称轴为x＝﹣1．
点D（1﹣m，2m+1），
设x＝1﹣m，y＝2m+1，
由x＝1﹣m得m＝1﹣x，
则y＝2（1﹣x）+1＝﹣2x+3，
所以点D在直线y＝﹣2x+3上．
设直线y＝﹣2x+n上一点到抛物线y＝﹣2x+3的最小距离为，
如图所示：
直线A1C1为y＝﹣2x+3，直线ZD1为y＝﹣2x+n，ZA1⊥A1C1且，
对于直线y＝﹣2x+3，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，，
∴OC1＝3，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
将代入y＝﹣2x+n，
∴，
∴，
∴，
当a＜0时，抛物线开口向下，
联立与y＝ax2+2ax，
得 ，
即，
因为相切，所以Δ＝（2a+2）2+2a＝0，
整理得2a2+5a+2＝0，
解得a＝﹣2或，
当a＞0时，抛物线开口向上，如图所示：
直线y＝﹣2x+3到抛物线y＝ax2+2ax的最小距离为0．
综上所述，点D到函数y＝ax2+2ax的图象距离的最小值为时，
a的值为﹣2或．
结论④不正确．
综上，正确结论的个数是1个，
故选：A．
二．填空题（共5小题）
11．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则k的取值范围是 k＜﹣3　 ．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限，
∴k+3＜0，
∴k＜﹣3；
故答案为：k＜﹣3．
12．若角α、β是直角三角形的两个锐角，则的值为　　 ．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
13．已知实数x，y满足x2+5x+y﹣2＝0，则x+y的最大值为 　6　 ．
【解答】解：由题知，
y＝﹣x2﹣5x+2，
则x+y＝﹣x2﹣4x+2
＝﹣x2﹣4x﹣4+6
＝﹣（x+2）2+6．
则当x＝﹣2时，
x+y有最大值为：6．
故答案为：6．
14．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，△ABC的三个顶点均落在格点上，以点A为圆心，AB为半径画弧，以点C为圆心，1为半径画弧，两弧交于点D，则tan∠ADB＝　2或1　 ．
【解答】解：如图1所示：∵AD＝AB，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
在Rt△ADM中，tan∠ADB2．
如图2所示：∵AD＝AB，CD＝1，
∴点D是符合条件的点．
∵AD＝AB，BD，
∴BD2＝AD2+AB2．
∴△ADB是直角三角形．
在Rt△ADB中，tan∠ADB1．
故答案为：2或1．
15．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．连接AC，若AH平分∠CAD，且正方形EFGH的面积为3，则正方形ABCD的面积为　 ．
【解答】解：设直角三角形的长直角边是a，短直角边是b，
∴正方形EFGH的边长是a﹣b，
∵正方形EFGH的面积为3，
∴（a﹣b）2＝3，
∴a2+b2﹣2ab＝3，
∵AH平分∠DAN，
∴∠DAH＝∠NAH，
∵∠AHD＝∠AHN＝90°，AH＝AH，
∴△AHD≌△AHN（ASA），
∴DH＝NH＝b，
∵AH∥CF，
∴∠HAM＝∠FCM，
∵FC＝AH，∠CFM＝∠AHN＝90°，
∴△AHN≌△CFM（ASA），
∴FM＝NH＝b，
∴EM＝a﹣b﹣b＝a﹣2b，
∵ME∥HN，
∴△AME∽△ANH，
∴ME：NH＝AE：AH，
∴（a﹣2b）：b＝b：a，
∴a2﹣b2＝2ab，
∴b2，
∴b，
∵（a﹣b）2＝3，
∴a，
∴AD2＝a2+b2＝6+3，
∴正方形ABCD的面积是6+3．
故选：A．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）原式＝2221﹣（）2×1
＝211
＝2；
（2）原式
．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，，点D在BC上，且BD＝AD，求AC的长和tan∠ADC的值．
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝8，，
∴，
解得AC＝4，
设DC＝x，
∵BC＝8，
∴BD＝8﹣x，
∵AD＝BD＝8﹣x，
∵∠C＝90°，AC＝4，DC＝x，AD＝8﹣x，
∴（8﹣x）2＝x2+42，即16x＝48，
解得x＝3，
∴．
18．为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，如图①，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩，在如图②的侧面示意图中，遮阳篷靠墙端离地高记为BC，遮阳篷AB长为8米，与水平面的夹角为16°．
（1）求点A到墙面BC的距离；
（2）当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，量得影长CD为1.8米．求遮阳篷靠墙端离地高BC的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
【解答】解：（1）如图，过点A作AF⊥BC于F，
在Rt△ABF中，AB＝8米，∠BAF＝16°，
则AF＝AB cos∠BAF≈8×0.96＝7.68≈7.7（米），
答：点A到墙BC的距离约为7.7米；
（2）如图，过点A作AH⊥CE于H，
则四边形AFCH为矩形，
∴FC＝AH，CH＝AF，
在Rt△ABF中，AB＝8米，∠BAF＝16°，
则BF＝AB sin∠BAF≈8×0.28＝2.24（米），
∵CH＝AF＝7.68米，CD＝1.8米，
∴DH＝CH﹣CD＝7.68﹣1.8＝5.88米，
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝5.88米，
∴BC＝2.24+5.88≈8.1（米），
答：遮阳棚靠墙端离地高BC的长约为8.1米．
19．已知二次函数y＝﹣2x2+4x+1．
（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式；
（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位，使经过点（2，﹣5），求m值．
【解答】解：（1）y＝﹣2x2+4x+1
＝﹣2（x﹣1）2+3，
即y＝﹣2（x﹣1）2+3；
（2）因为a＝﹣2，
所以该抛物线的开口方向向下，
由y＝﹣2（x﹣1）2+3知，抛物线的顶点坐标是（1，3），对称轴为直线x＝1；
（3）将该抛物线向左平移m（m＞0）个单位得到y＝﹣2（x﹣1+m）2+3，
∵平移后的抛物线经过点（2，﹣5），
∴﹣2（2﹣1+m）2+3＝﹣5，
解得m＝1或m＝﹣3，
∵m＞0，
∴m＝1．
20．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于A（﹣6，1），B（1，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若P是直线x＝﹣2上的一个动点，△PAB的面积为21，求点P坐标；
（3）若，请直接写出关于x的不等式的解．
【解答】解：（1）由题意，∵A（﹣6，1）在反比例函数图象上，
∴m＝（﹣6）×1＝﹣6．
∴反比例函数为．
又将B（1，n）代入，
∴n＝﹣6．
∴B（1，﹣6）．
由题意，将 A（﹣6，1），B（1，﹣6）分别代入y＝kx+b，得
，
∴．
∴一次函数为y＝﹣x﹣5．
（2）设直线 y＝﹣x﹣5 与 x＝﹣2 的交点为C，
∴联立方程，得．
∴．
∴C（﹣2，﹣3）．
由题意，连结PA，PB，设点 P（﹣2，y），
∴S△PAB＝S△PAC+S△PBC．
∴PC＝6．
∴P的坐标为（﹣2，3）或 （﹣2，﹣9）．
（3）由题意，∵不等式的解集是一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数y的图象下方的自变量的取值范围，且A（﹣6，1），B（1，﹣6），
∴不等式的解集为﹣6≤x＜0或x≥1．
21．已知反比例函数的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标．
【解答】解（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，
∴A（2，6），
将A（2，6）代入得，
解得k＝12，
∴反比例函数表达式为；
（2）如图1，设点B（m，3m），则点D（m+3，3m），
∵点D在反比例函数的图象上，
∴3m（m+3）＝12，
解得m1＝1，m2＝﹣4（舍），
∴B（1，3）．
22．阅读下面材料．
小明遇到这样一个问题：
如图1，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，，求AD的长．
小明发现，延长AB与DC相交于点E，通过构造Rt△ADE．经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．解决下列问题：
（1）请直接写出AD的长为 　7　 ；
（2）请你用其他与小明的发现不一样的方法来求得AD的长；
（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在四边形ABCD中，，∠B＝∠C＝135°，AB＝8，AB＝8，CD＝2，求AD的长．
【解答】解：（1）AD的长为7；理由如下：
在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠D＝60°，，，如图2.1，延长AB与DC相交于点E，
∴∠E＝30°，BC⊥DE，
∴BE＝2BC＝4，
∴AE＝AB+BE＝347．
在Rt△ADE中，∠E＝30°，
∴，
故答案为：7；
（2）如图2.2，过点B作BM⊥AB于B，交CD于M，过M作MN⊥AD于顶N，
∵BM⊥AB，MN⊥AD，∠A＝90°，
∴四边形ABMN是矩形，∠MND＝90°，
∴，AN＝BM，∠BMC＝∠D＝60°，
∵∠C＝90°，
∴，
∵∠MND＝90°，MN⊥AD，
∴，
∴AD＝AN+DN＝7；
（3）如图3，延长AB与DC相交于点E．
∵∠ABC＝∠BCD＝135°，
∴∠EBC＝∠ECB＝45°，
∴BE＝CE，∠E＝90°．
设BE＝CE＝x，则BCx，AE＝8+x，DE＝2+x．
在Rt△ADE中，∠E＝90°．
∵，
∴，即，
∴x＝4．
经检验x＝4是所列方程的解，且符合题意，
∴BC＝4，AE＝12，DE＝6，
∴AD6．
23．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点P为x轴上方抛物线上的动点，点F为y轴上的动点，连接PA，PF，AF．
（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）如图1，当点F的坐标为（0，﹣4），求出此时△AFP面积的最大值；
（3）如图2，是否存在点F，使得△AFP是以AP为腰的等腰直角三角形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（3，0）、B（﹣1，0），
∴，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，过点P作PQ∥y轴交直线AF于点Q，
设直线AF的解析式为y＝kx+d，
∵A（3，0），F（0，﹣4），
∴，
解得：，
∴直线AF的解析式为yx﹣4，
设P（t，﹣t2+2t+3）（﹣1＜t＜3），则Q（t，t﹣4），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（t﹣4）＝﹣t2t+7，
∴S△AFPPQ OA（﹣t2t+7）×3（t）2，
∵0，﹣1＜t＜3，
∴当t时，△AFP面积的最大值为；
（3）设P（m，﹣m2+2m+3）（﹣1＜m＜3），F（0，n），
∵A（3，0），
∴OA＝3，OF＝|n|，
①当AP＝AF，∠PAF＝90°时，如图2，过点P作PD⊥x轴于点D，
则∠ADP＝90°＝∠AOF，
∴∠PAD+∠APD＝90°，
∵∠PAD+∠FAO＝90°，
∴∠APD＝∠FAO，
在△APD和△FAO中，
，
∴△APD≌△FAO（AAS），
∴PD＝OA，AD＝OF，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝3，
解得：m＝0或2，
当m＝0时，P（0，3），AD＝3，
∴OF＝3，即|n|＝3，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣3，
∴F（0，﹣3）；
当m＝2时，P（2，3），AD＝1，
∴OF＝1，即|n|＝1，
∵点F在y的负半轴上，
∴n＝﹣1，
∴F（0，﹣1）；
②当AP＝PF，∠APF＝90°时，如图3，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA＝∠PDO＝∠PGF＝90°，
∵∠PDO＝∠PGF＝∠DOG＝90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠FPG+∠FPD＝90°，
∵∠APD+∠FPD＝∠APF＝90°，
∴∠FPG＝∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PG＝PD，FG＝AD，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝m，
∴﹣m2+2m+3＝m，
解得：m（舍去）或m，
当m时，P（，），
∴FG＝AD＝3﹣m＝3，
∴F（0，2）；
③当点P在第二象限，AP＝PF，∠APF＝90°时，如图4，过点P作PD⊥x轴于点D，PG⊥y轴于点G，
则∠PDA＝∠PGF＝90°，
∵∠PDA＝∠PGO＝∠DOG＝90°，
∴四边形PDOG是矩形，
∴∠APD+∠APG＝90°，
∵∠FPG+∠APG＝∠APF＝90°，
∴∠FPG＝∠APD，
在△FPG和△APD中，
，
∴△FPG≌△APD（AAS），
∴PG＝PD，FG＝AD，
∵PD＝﹣m2+2m+3，AD＝3﹣m，PG＝﹣m，
∴﹣m2+2m+3＝﹣m，
解得：m（舍去）或m，
当m时，P（，），
∴FG＝AD＝3﹣m＝3，
∴OF＝OG+FG，
∴F（0，）；
综上所述，点F的坐标为（0，﹣3）或（0，﹣1）或（0，2）或（0，）．

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