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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章　图形的相似
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．cm，，，
2．（本题3分）如图，，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
3．（本题3分）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与下图中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（本题3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（ ）步．
A．300 B．250 C．225 D．150
6．（本题3分）如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，则（ ）
A． B． C．14 D．15
8．（本题3分）已知，则分式（ ）
A． B． C． D．1
9．（本题3分）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论：
①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ．
12．（本题3分）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可）
13．（本题3分）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ．
14．（本题3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
15．（本题3分）如图，在中，，，点是上一个动点，由点向点运动，连接，以为邻边作另一个．
（1） ．
（2）线段的最小值为 ．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知，求的值．
17．（本题7分）如图，在中 ，，平分交于点D
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
18．（本题8分）如图，在菱形中，．
(1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
19．（本题8分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
20．（本题8分）如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，求；
（2）若，求边上的高．
21．（本题9分）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)几秒后，的长度等于？
(2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若与相似，求t的值．
22．（本题9分）（1）问题发现
如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：；
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：；
（3）拓展延伸
如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值．
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【北师大版九年级数学（上）单元测试卷】
第四章　图形的相似
一、单选题（共30分）
1．（本题3分）下列长度的四组线段中，成比例的一组是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．cm，，，
解：A．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
B．，，因为，所以这四条线段不成比例，故此选项不符合题意；
C．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项不符合题意；
D．，，因为，所以这四条线段成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
2．（本题3分）如图，，若，则为（ ）
A． B．
C． D．
解：∵，
∴，
∵
∴
∴，
故选：D．
3．（本题3分）报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（ ）
A． B． C． D．
解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，
∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似，
∴原矩形与新矩形的边比相等，，
，
，
∴，
即矩形较短边与长边的比应是，
故选：．
4．（本题3分）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与下图中相似的是（ ）
A． B．
C． D．
解：在中， ，，，
A、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意；
B、三边长分别为，则，与相似，故本选项符合题意；
C、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，则，与不相似，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．（本题3分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有这样一个问题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门一百步立一表，出西门二百二十五步适可见之，问邑方几何？”它的意思是：如图，M，N分别是正方形的边，的中点，，，过点A，且步，步，那么该正方形城邑边长约为（ ）步．
A．300 B．250 C．225 D．150
解：，，
，
正方形中，，过点，
，则，
，
，
分别是正方形的边的中点，设，
，
步，步，
，即，解得负舍去值，
正方形城邑边长步，
故选：A．
6．（本题3分）如图，四边形和四边形都是矩形，且点恰好在上．若，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
解：∵四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴
∵，，
∴，
∴
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵的面积；
故选：C．
7．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点，，为顶点的，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，则（ ）
A． B． C．14 D．15
解：连接，过P作轴于C，轴于D，于E．
因为P是两个锐角外角角平分线的交点，所以．设，，，，
．
又因为三边用勾股定理求出，
根据，
所以，
解得，
．
故选：D．
8．（本题3分）已知，则分式（ ）
A． B． C． D．1
解：设，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：．
9．（本题3分）如图，在矩形中，，，相交于点O，E为延长线上一点，连接交于点F，若，则的长度为（ ）
A． B． C． D．
解：过点O作于点H，如图所示：
四边形是矩形，，，
，，
，
，
，
∴
又，
∴，
∴，
是的中位线，
，，
点E为延长线上一点，且，
，
在中，由勾股定理得：
故选：A．
10．（本题3分）如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论：
①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解：∵四边形为正方形，
∴，，
∵为中点，，
∴，
又∵，
∴，结论①正确；
∴，
∵，
∴，
∴，即，故结论③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，即，
又∵，
∴，结论④正确；
∵，，
∴，
∴和不相似，结论⑤不正确．
∵，，和不相似，，
∴，，，
∴，
∴，故②错误，
综上可知正确的结论为：①③④，共计3个．
故选：C．
二、填空题（共15分）
11．（本题3分）若四边形，四边形与四边形的面积之比为，则 ．
解：∵四边形四边形，四边形与四边形的面积之比为，
∴，
故答案为：．
12．（本题3分）在与中，，要使，还需满足 ．（（写出一个条件即可）
解：∵，，
∴．
所以可添加： （答案不唯一）；
故答案为： （答案不唯一）．
13．（本题3分）如图，表示一个窗户，窗户的下端到地面的距离，和表示射入室内的光线，若某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则窗户的高度为 ．
解：∵，
，
∴，
∴，
，，，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：．
14．（本题3分）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点A，B，Q在同一水平线上，，与相交于点D．测得，，，则树高 ．
解：由题意，，，
∴，
∴，
∵，，，，
∴，
解得，
故答案为：．
15．（本题3分）如图，在中，，，点是上一个动点，由点向点运动，连接，以为邻边作另一个．
（1） ．
（2）线段的最小值为 ．
解（1）
（2）连接交于点
线段的最小值即为取得最小值
当时，最小
过点作的垂线交于点，过点作的垂线交延长线于点
设
解得：
．
故答案为：；．
三、解答题（共55分）
16．（本题6分）已知，求的值．
解：设，
∴
．
17．（本题7分）如图，在中 ，，平分交于点D
(1)请用无刻度的直尺和圆规作，使得，且射线在线段左侧，交于点E（保留作图痕迹，不写作法）．
(2)在（1）的条件下判断与的数量关系，并证明．
（1）解：即为所作：
（2）解：，理由如下：
证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
18．（本题8分）如图，在菱形中，．
(1)实践操作：利用尺规作的平分线，交于点；（要求，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：．
（1）解：如图，即为所作：
（2）解：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴．
19．（本题8分）如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接．
(1)求证：；
(2)若，求证：．
（1）解：证明如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
20．（本题8分）如图，在中，是边上的高，是的平分线．
（1）若，求；
（2）若，求边上的高．
解：（1），，
，，
是的平分线，
，
；
（2）如图，作AB边上的高，垂足为F，
，
．
21．（本题9分）如图所示，中，，，．点P从点A开始沿边向B以速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，P，Q分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒．
(1)几秒后，的长度等于？
(2)线段能否将分成面积的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
(3)若与相似，求t的值．
（1）解：设经过秒后，的长度等于，
由题意，得：，
∴，
当时，在中，
，
，
整理，得：，
解得：；
∴当时，的长度等于．
（2）解：设经过秒，线段能将分成面积的两部分，
依题意有：的面积，
①当的面积为面积的时，
则：，
整理，得：，
解得：；
②当的面积为面积的时，
则：，
整理，得：，
，
∴方程无实数根；
∴经过3秒时，线段能将分成面积的两部分．
（3）解：设经过秒时，与相似，
时，
，
，
．
②当时，
，
，
，
综上所述，秒或秒时，与相似．
22．（本题9分）（1）问题发现
如图1，在正方形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：；
（2）类比探究
如图2，在矩形中，点P在边上，点Q在边上，且于点M．求证：；
（3）拓展延伸
如图3，在中，，点P在边上，点Q在边上，，，连接交于点M，且．求的值．
证明：（1）∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴
以点为圆心，以为半径画弧交于E，
则，
∴，
∴
∴，
∴
【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
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