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高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D A C B B C A
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.
1. 3 5π【解析】斜率为 tan =- 3 ,α = 6 故选D.
2. 【解析】略
3. -3 = 2 x【解析】由已知得 6 = 2 ,所以 x =-1,y =-4,故 x - y = 3,选A.y
4. 【解析】选C.定义域都为 -1,1 ,且 ln 1+x + ln 1-x = ln 1-x2 .
5. 【解析】略
6. 【解析】因为 f x 为奇函数,且 f 1 > 0,故选B.

7. 【解析】因为 PA - 4DA = 2PB - 3CA , 所以 PA - 2PB = 4DA - 3CA，即 BA - PB = 4 DB+BA -

3 CB+BA ,故BP =-4BD + 3BC,所以P,B,C,D四点共面,选C.
8. 【解析】圆C:x2+ y2 - 8y = 0的圆心坐标为C 0,4 ,半径为 4,l:y = kx + 2过定点N 0,2 ,设AB的中点为Q,

CQ⊥NQ,则Q点的轨迹为以 CN为直径的圆,其圆心为T 0,3 ,半径为 1. PA+PB = 2 PQ ,又 PQ ≤

PT + 1 = 6,所以 PA+PB ≤ 12,故选A.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选
对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11
答案 AD BC ABD
9. 【解析】当 l与MN平行时,方程为 4x + y - 6 = 0;当 l过MN的中点 (3, -1)时,方程为 3x + 2y - 7 = 0.故选
AD.
10. 【解析】可求MN的中垂线方程为 x + y = 2,设圆心为E a,b ,则半径为 a ,故 a + b = 2,所以 ME = a ,
即 a-1 2 + 2-a 2 = a2,解得 a = 1或 a = 5,所以方程为 x2+ y2 - 10x + 6y + 9 = 0或 x2+ y2 - 2x - 2y + 1 = 0.故选
BC.

11. 【解析】如图,建立空间直角坐标系,由已知 AP = BQ,设 P x,0,1-x 0
-x,1-x,0 ,又平面 ABC的法向量为 BB1 = 0,0,1 ,所以 PQ BB1 = 0,故 PQ 平面
2
ABC,A正确; PQ = 2x2-2x+1 = 2 x- 1 + 12 2 ≥
2 1
2 ,当且仅当 x = 2 时成立,故B
正确; 1 3 1 1 1球O的半径为 2 AC1 = 2 ,故表面积为 3π,C错误；由已知O 2 , 2 , 2 ,又
x 1-x x-1 x 1 PQ的中点坐标为M 2 , 2 ,1-x ,OM = 2 ,- 2 , 2 -x ,因为OM PQ = 0,故OM
2
⊥ PQ. OM = 3 x2- 32 2 x+
1 = 3 x- 1 + 1 ≥ 2 , 12 2 2 8 4 当且仅当 x = 2 时成立.,故
直线PQ被球O 10截得的弦长的最大值为 2 3 - 14 8 = 2 ,所以D正确.故选ABD.
三、填空题： 本题共 3小题，每题 5分，共 15分。
12. 11 2 3 11【答案】 12 【解析】能完成实验的概率为： 1 - 1- 3 × 1- 4 = 12 .
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13. 24【答案】 7 【解析】 cosα - sinα =
7
5 ,平方得 sin2α =-
24 , cos2α = 725 可得 25 ,故 tan2α =
24
7 .
14. 【答案】 x = 4或 4x - 3y + 2 = 0【解析】可求得P 2,4 关于 l:x + y = 8的对称点为Q 4,6 ,设反射光线的
6-2k
方程为 y - 6 = k x-4 ,则 = 2,解得 k = 43 ,方程为 4x - 3y + 2 = 0.当斜率不存在时,反射光线的方程1+k2
为 x = 4.故反射光线的方程为 x = 4或 4x - 3y + 2 = 0.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 【解析】 (1)由已知直线AB的方程为： y - 3 = 2 x-2 2分
即 2x - y - 1 = 0.故直线AB的方程为 2x - y - 1 = 0. 3分
(2) x+7y+7=0①解方程组
x=0
2 - -1=0 ,解得 =-1，故B 0,-1 . 6分x y y
又AC =BC, 1由中点坐标公式得D 1,1 ,高线CD的斜率为 - 2 , 8分
故CD所在直线的方程为 y - 1 =- 12 x-1 ,即 x + 2y - 3 = 0,
所以CD所在直线的方程为 x + 2y - 3 = 0. 10分
x+7y+7=0 x=7②由 +2 -3=0 ,解得x y y=-2
故顶点C的坐标为 7，-2 . 13分
16. 【解析】 (1)因为M,N,E,F分别是棱A1B1,A1D1,B1C1,C1D1的中点,
所以MN EF,又EF 平面DBEF,MN 平面DBEF,
所以MN 平面DBEF 2分
连接AC,A1C1,交MN,EF,BD于G,H,O,
连接AG,OH如图.
可知ACC1A1为矩形,所以GH OA,
由已知GH = 12 A1C1=
1
2 AC =AO,
所以AOGH是平行四边形,故AG OH 4分
又OH 平面DBEF,AM 平面DBEF,
所以AG 平面DBEF.
又AG∩MN =G,AG,MN 平面AMN,
所以平面AMN 平面DBEF. 7分
(2)设正方体的棱长为 a,则体积为 a3.
3
三棱锥A -A1MN的体积为V
1
1= 3 SΔA MNAA =
1 1
1 3 × 8 a
2× a = a
1 24 10分
三棱台EFC1 -BDC的体积为
V3=
1
3 SΔEFC + SΔEFC SΔBDC+S1 1 ΔBDC CC1
1 a2 a2 a2= a
2 7a3
3 8 + 8 × 2 + 2 × a = 24 13分
2a3
加在平面AMN与平面DBEF之间的体积为V 32= a -V1 -V2= 3 .
三部分的体积之比为V1:V2:V3= 1:16:7 15分
17. 【解析】 (1)由已知四边形BB1C1C为平行四边形.
又BC = c - b,BB1 =AA1 = a, 2分
所以BB1 BC = a c-b = a c - a b = 0, 4分
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故BC⊥BB1,即BB1⊥BC.所以：四边形BB1C1C为矩形. 6分
(2)①由已知BC =BB +B C =AA +BC
1 1 1 1
又BC =AC -AB = c - b,故BC1 = a + c - b. 8分
BC = a+c-b 2 = a2+c2+b21 +2a c-2a b-2b c = 13 10分

②同理A1C = c - a, A1C = c-a 2 = a2+c2-2a c = 7

BC1 A1C = a+c-b c-a = c2 - a2 - b c + a b =-4 13分

cos , = BC 1 ABC A C 1C = -4 =- 4 911 1 91 , 14分 BC1 A1C 13× 7
4 91
所以异面直线BC1与A1C所成角的余弦值为 91 15分
18. 【解析】 (1)设点P的坐标为 x,y ,
则 PA = x+2 2 + y+1 2 , PB = x-4 2 + y-2 2 2分
由已知得 PA = 2 PB ,所以 x+2 2 + y+1 2 = 2 x-4 2 + y-2 2 , 4分
化简整理得 x2+ y2 - 12x - 6y + 25 = 0
所以轨迹C的方程为 x2+ y2 - 12x - 6y + 25 = 0. 6分
配方得： x-6 2 + y-3 2 = 20,
故轨迹C是以E 6,3 为圆心,2 5为半径的圆. 8分
(2)由已知得 PA + PB = 3 PA , 9分
由A -2,-1 ,且 -2-6 2 + -1-3 2 > 20,所以A在圆E的外部. 10分
AE y = 1可求直线 的方程为 2 x. 11分
y = 1由 x与 x-6 22 + y-3
2 = 20联立
整理得 x2 - 12x + 20 = 0,解得 x1= 2,x2= 10
所以直线AE与圆有两个交点为M 2,1 ,N 10,5 . 14分
可求得 AM = 2 5 , AN = 6 5，由已知得 AM ≤ PA ≤ AN ,即 2 5 ≤ PA ≤ 6 5 , 16分
故 PA + PB = 32 PA 的取值范围是 3 5，9 5 . 17分
19. 【解析】 (1)连接AC与BD交于点E,连接ME.
因为AB CD,CD = 2AB,所以AE = 13 AC.

又PM = 13 PC,故PM =
1
3 PC,所以PA ME. 3分
又PA 平面MBD,ME 平面MBD,所以PA 平面MBD. 5分
(2)由已知PD,AD,BD两两垂直,以DA,DB,DP分别为 x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则A 1,0,0 ,P 0,0,2 ,又AD = 1,AB = 2,

所以DB = 3 ,故B 0, 3,0 .DB = 0, 3,0 7 分

由已知得DC = 2AB = -2,2 3,0 ,

故C -2,2 3,0 ,PC = -2,2 3,-2 .

DM = DM + PM = DM + 1

PC = - 2 , 2 3 , 4由 已 知 得 3 3 3 3 .
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9分

设平面BDM的发现两位m = x1,y1,z1 ,则m DB = 0,m DM = 0,
3y1=0即 - 2 + 2 3 + 4 =0，取 x1= 2,则 y1= 0,z1= 1,故m = 2,0,1 . 11分3 x1 3 y1 3 z1
DC m 4 5
设点C到平面MBD的距离为 h,则 h = = 5 . 12分 m

(3)由 (2)得PC = -2,2 3,-2 ,PC = 0, 3,-2 .

设平面PBC的法向量为 n = x2,y2,z2 ,则 n PC = 0,n PB = 0,
故 3y2-2z2=0 -2 +2 3 -2 =0,取 z2= 3 ,则 y2= 2,x2= 3 ,x2 y2 z2
可得 n = 3,2, 3 15分
故 cos m,n = m n = 3 3 = 3 6 ,
m n 5 10 10
3 6
所以平面PBC与平面MBD夹角的余弦值为 10 . 17分
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