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山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断（总第五次）
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
5．在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
8．当函数取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9． 已知双曲线，则（ ）
A．
B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为
D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
10．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，则（ ）
A． B．
C． D．不是等比数列
11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则
D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 .
13．若函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是 ．
14．如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 .

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数．
(1)求函数的周期和其图象的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
16．已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，.
(1)求证：平面平面；
(2)若平面于点，求二面角的余弦值.
18．已知函数（，，）.
(1)当，时，求函数的最小值；
(2)当时，若存在两个极值点，求证：；
(3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.
(参考：)
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖"的概率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望.
试卷第1页，共3页山西大学附中
2025～2026学年第一学期高三10月模块诊断
数 学 试 题
考试时间：120分钟 满分：150分
选择题（本小题8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的分位数是（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】根据百分位数的定义求分位数.
【详解】由，结合已知数据从小到大，分位数是第3、4位两个数字的平均数，
所求分位数为.
故选：C
2．复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】根据复数的除法确定复数，即可判断其对应的点所在的象限.
【详解】由，可得复数在复平面内对应的点为，
所在的象限为第三象限.
故选：C
3．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断.
【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故B错误；
等边三角形都是等腰三角形，故，故C正确；
等边三角形都不是等腰直角三角形，故A错误；
直角三角形不一定是等腰三角形，故D错误.
故选：C
4．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】B
【分析】由条件确定，将原不等式转换成，即可求解.
【详解】由题意可得，，即，
则有，
即，
解得或，
即解集为或
故选：B
5．在中，已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用正弦定理，角化边，再利用余弦定理可求角A.
【详解】因为，
由正弦定理得：，
由余弦定理，，
又为三角形内角，所以.
故选：D
6．已知等差数列的前项和分别为，若，则满足的正整数有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】利用等差数列性质得，由即可求解.
【详解】由，得，
又，所以，
整理得，所以，故符合条件的可取1，2，
故选：C．
7．已知抛物线的焦点为，，是抛物线上两点，且，弦的中点在的准线的射影为，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】C
【分析】由抛物线定义对线段进行转化，再由中位线得到线段，解三角形得到线段，由基本不等式得到取值范围，从而得到最值.
【详解】设、，，在准线的射影分别为，如图所示，
根据抛物线的定义，可知，，
在梯形中，有，
在中，，
又∵，∴，
当且仅当时取等号，∴，
故的最小值为.
故选：C
8．当函数取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用辅助角公式将函数转化为单一三角函数形式，找到最小值对应的相位角，再利用和角公式计算的值.
【详解】，其中，.
当时，取最小值，此时，故。.
所以，，故.
故选：A.
二、多选题（本小题3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）
9．已知双曲线，则（ ）
A．
B．双曲线的实轴长为
C．双曲线的渐近线方程为
D．当双曲线的离心率等于其虚轴长时，
【答案】ABD
【详解】选项A：依题意可得双曲线C的焦点在x轴上，所以所以选项A正确；
选项B、C：对照焦点在x轴上的双曲线的标准方程：，知.所以双曲线的实轴长为；双曲线的渐近线方程为：，即.所以选项B正确，选项C错误；
选项D：双曲线的离心率等于虚轴长时，，则，所以，解得.所以选项D正确.
故选：ABD.
10．已知是递增的等比数列，其前n项和为，若，（ ）
A． B．
C． D．不是等比数列
【答案】AC
【详解】设的公比为，则由，递增，得，
因为，所以，解得或（舍去），
对于A，，故A正确；
对于B，，.故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，所以是首项为3，公比为等比数列，故D错误．
故选：AC
11．在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，它是工程数学中重要的函数，也是一类很重要的初等函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．已知双曲正弦函数的解析式为，双曲余弦函数的解析式为（其中为自然对数的底数），则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．若直线与函数和的图象共有三个交点，这三个交点的横坐标分别为，则
D．若存在，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为
【答案】BCD
【详解】对于A，，
，
化简后得，故A错误；
对于B，的定义域为R，，所以是偶函数；
的定义域为R，，所以是奇函数，
所以函数为奇函数，故B正确；
对于C，因为直线与函数和的图象共有三个交点，在R上单调递增，即直线与函数只有一个交点，
所以直线与函数有两个交点，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，，解得，
所以，则，故C正确；
对于D，，，
令，则，所以在上单调递增，
则，
又，当且仅当时，等号成立，
所以最小值为1，
因为存在，关于的不等式恒成立，
所以，
所以的取值范围为，故D正确；
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知向量，若向量在向量上的投影向量为，则 .
【答案】/0.5
【详解】，
向量在向量上的投影向量为，
又向量在向量上的投影向量为，故，解得.
故答案为：
13．若函数在区间上有两个极值点，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，函数，可得，
因为函数在区间上有两个极值点，
即在上有两个不等的实数根，
即在上有两个不等的实数根，
即函数和的图象有两个交点，
又由，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，且当时，，当时，，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故答案为：.
14． 如图，在四面体中，，，，.点，分别在侧面和棱上运动，为线段中点，当运动时，点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于 .

【答案】
【分析】根据已知证得，即，易知点的轨迹以为球心的球面被三个平面所截得，应用球体、棱锥的体积公式求体积，即可得.
【详解】由，，，平面，则平面，
由平面，则，则，而，故，
则中点的轨迹以为球心的球面（如图），被三个平面所截，体积为球体的，
所以上部分体积为，下部分体积为，
所以上、下两部分的体积之比等于.
故答案为：
四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
15．已知函数．
(1)求函数的周期和其图像的对称轴方程；
(2)当时，求的值域．
【详解】（1）， ……3分
所以； ……5分
令，解得． ……7分
（2）因为，所以 ……9分
从而可知，
因此，故所求值域为． ……13分
16．已知椭圆，，且的离心率为.
(1)求的标准方程；
(2)若，直线交椭圆于两点，且的面积为，求的值.
【详解】（1）由题意得：，即则， ……3分
所以的标准方程为：. ……5分
（2）由题意设，
联立，消去得：， ……7分
则， ……8分
则， ……10分
可得， ……12分
设直线与轴的交点为，且，则， ……13分
故，解得. ……15分
17．在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，.
(1)求证：平面平面；
(2)平面于点，求二面角的余弦值.
【详解】（1）在和中，
，，
与互余，所以，即. ……2分
又平面，平面，. ……3分
又平面中，，
平面， ……4分
又平面，平面平面. ……5分
（2），，两两互相垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. ……6分
不妨设，则，，，，
，. ……7分
点在平面内，
设， ……8分
则
， ……9分
平面，，，
，
解得， ……11分
，即， ……12分
点到平面的距离，
点到棱的距离， ……13分
设二面角大小为，则， ……14分
，
即二面角的余弦值为. ……15分
（其他解法酌情给分）
18．已知函数（，，）.
(1)当，时，求函数的最小值；
(2)当时，若存在两个极值点，，求证：；
(3)设，为函数的极值点，且，若，，是一个三角形的三边长，求的取值范围.
(参考：)
【详解】（1）当，时，且，
则， ……2分
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以； ……4分
（2）当时，则且，可得，
由存在两个极值点，，则是在上的两个不同根，
所以，可得， ……6分
由，
……8分
所以，，
所以. ……10分
（3）由题设且，
因为，为函数的极值点，则，
所以，即，显然，则， ……11分
由，则，故，易知， ……12分
由，，是一个三角形的三边长，则，即，所以，
令且，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
，，
又，故时，综上，， ……14分
而，
由在上单调递增， ……15分
当，则，
当，，则，
故，即的范围为. ……17分
19．某商场推出购物抽奖促销活动，活动规则如下：
①顾客在该商场内的消费额每满100元，可获得1张奖券；
②每张奖券可以进行1次抽奖活动，即从装有4个白球、2个红球的盒子中，随机摸取1个球（每个球被摸到的可能性相同）．奖励规则：
若摸出白球，则没有中奖，摸出的白球放回原盒子中，本张奖券抽奖活动结束；
若摸出红球，则中奖，获得礼品1份，且摸出的红球不放回原盒子中，同时得到一次额外的抽奖机会（该抽奖机会无需使用新的奖券），继续从当前盒子中随机摸取1个球，其奖励规则不变；
③从第二张奖券开始，使用每张奖券抽奖时均在前一张奖券抽奖活动的基础上进行；
④若顾客获得2份礼品（即该顾客将2个红球都摸出）或使用完所获奖券，则该顾客本次购物的抽奖活动结束．
(1)顾客甲通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“甲使用第2张奖券抽奖，中奖"的概率；
(2)顾客乙通过在商场内消费获得了若干张奖券并进行抽奖，求事件“乙获得第2份礼品时，共使用了3张奖券”的概率；
(3)顾客丙消费了1000元，设表示顾客丙在这次抽奖活动中所使用奖券的数量，写出的分布列并证明期望.
【详解】（1）设事件“甲使用第张奖券抽奖，中次奖”，
则所求事件为，其概率为．
……3分
（2）设事件“乙使用第张奖券抽奖，中次奖”，
则所求事件为，其概率为． ……7分
（3）由题意可知的所有可能取值为1，2， ，10．
当时，表示顾客丙使用张奖券将2个红球全部摸出；
当时，表示顾客丙使用第10张奖券抽奖时盒子里有1个或2个红球．
设事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有2个红球”的概率为，事件“顾客丙使用第张奖券抽奖时盒子里有1个红球”的概率为，
则，，， ……8分
， ……10分
∴， ……11分
， ∴，∴，， ……13分
∴，，
……15分
∴； ……16分
∴. ……17分
试卷第1页，共3页

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