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湖北省沙市中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．满足 的集合A的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．以下函数中，在上单调递减且是奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设正数x，y满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若对于，且，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数.若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．关于的不等式（）的解集可以是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数的定义域为，则函数的定义域为
B．函数在定义域内是减函数
C．函数的值域为
D．定义在上的函数满足，则
11．若存在函数，使得函数满足，则称是“变量函数”.已知函数，，，若是“变量函数”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．的最小值为
D．若恒成立，则
三、填空题
12．已知，则 .
13．已知，，，则的最小值为 ．
14．已知函数，记，，若，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．已知，或．
(1)若，求的取值范围；
(2)若，求的取值范围．
16．已知函数的图象过点，且满足．
(1)求函数的解析式：
(2)求函数在上的最小值；
17．函数的定义域为，对，，都有；且当时，．已知．
(1)求，；
(2)判断并证明的单调性；
(3)解不等式：．
18．已知函数．
(1)若的解集为，求，的值；
(2)若，求不等式的解集；
(3)在（1）的条件下，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
19．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点.
(1)求函数的不动点：
(2)设，，且恰好有两个稳定点和.
（i）求实数的取值范围，
（ii），，求实数的取值范围.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C A B A C ABD AD
题号 11
答案 ACD
1．D
存在量词命题的否定，将存在改为任意，并否定原结论，即可得.
【详解】由题意有“，”的否定是“，”，
故选：D.
2．B
根据集合之间的关系直接得出结果.
【详解】集合A可以是，共3个.
故选：B.
3．A
A选项，根据解析式直接得到函数在上单调递减，且为奇函数；BC选项，判断出函数为偶函数，D选项，函数不满足在单调递减.
【详解】A选项，在R上单调递减，且，
故是奇函数，满足要求，A正确；
B选项，定义域为R，且，故为偶函数，B错误；
C选项，定义域为R，且，
故为偶函数，C错误；
D选项，在上单调递增，D错误.
故选：A
4．C
分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围.
【详解】因为，且，
令，解得或，作出图象如下图所示，
由图象可知，当时，若的值域为，则，
故选：C.
5．A
由，可将化为，然后由基本不等式可得答案.
【详解】因，则.
当且仅当，即时取等号.
故选：A
6．B
由函数单调性的定义推出在R上单调递增，再由分段函数的性质求解即的.
【详解】不妨设，由，可得：，
则函数，在R上单调递增，
则，解得，
即实数a的取值范围为．
故选：B．
7．A
本题考查函数的值域.由题可得在上的值域，以及在上的值域，要使，有，则在上的值域为在上的值域的子集，利用集合间的基本关系确定参数的范围即可.
【详解】由题可得，要使，有，
则在上的值域为在上的值域的子集，
在上单调递减，∴函数在上的值域为，
为开口向上的二次函数，其对称轴为，
当，即时，在上单调递增，在上的值域为，
∴，解得，无解；
当，即时，在上单调递减，在上的值域为，
∴，解得，无解；
当，即时，在上的值域为，
∴，解得，∴.
综上，的取值范围为.
故选：A.
8．C
由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增，
由题意可知，
由可得，
即，
因为，则，故，
因为，则，
所以，
，
因为，函数、在上单调递减，
故函数在上单调递减，当时，，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，的最小值为.
故选：C.
9．ABD
根据给定条件，分类求解不等式，进而判断得解.
【详解】不等式中，当时，，解得，A可能；
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，若，则；B可能；
若，则或；若，则或，
C不可能，D可能.
故选：ABD
10．AD
求出抽象函数定义域判断A；由单调性判断B；求出函数值域判断C；利用方程组法求出解析式判断D.
【详解】对于A，在函数中，，则，因此函数的定义域为，A正确；
对于B，函数的定义域为，在定义域内不单调，B错误；
对于C，函数的定义域为R，，则，C错误；
对于D，由，得，联立解得，D错误.
故选：AD
11．ACD
根据题意列出不等式，令可判断A；根据一元二次不等式恒成立的条件可判断BD，利用配方法可判断C.
【详解】由题意可知在上恒成立，令得，
即，故A正确；
由可得，代入不等式组中整理得，
所以，故B错误；
由可得，所以，所以的最小值为，故C正确；
若恒成立，即恒成立，
所以有，故D正确.
故选：ACD
12．
利用代入法直接进行求解即可.
【详解】
，
故答案为：
13．5
由，，得，则，根据基本不等式即可得出，从而求出的最小值.
【详解】由，可得，
则，
当且仅当，即，时等号成立．
因此，的最小值为5．
故答案为：5．
14．或
由时，的两个根为，（设，得到参数间的关系，由两个集合相等得出，进而得，即可验证，当时，根据判别式即可求解.
【详解】当时，所以，解得或，
设的两个根为，（设，
，，，
由，得，
由于，则，
故，此时，,符合题意，
当时，，解得，此时 ，
此时对，故对任意的恒成立，
故,满足，
综上可知或
故答案为：或
15．(1)
(2)
（1）分和两种情况讨论求解即可；
（2）由题意得，从而可求出的取值范围．
【详解】（1）①当时，，∴，∴．
②当时，要使，必须满足，解得．
综上所述，的取值范围是．
（2）∵，，或，
∴，解得，
故所求的取值范围为．
16．(1)
(2)
（1）根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出方程，求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）根据题意，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解.
【详解】（1）解：函数满足，则函数的图象关于对称，
可得，解得，即，
又由函数的图象过点，可得，解得，
所以函数的解析式为.
（2）解：由（1）知，可得其图象开口向上，对称轴为，
当时，可得在区间上单调递增，所以；
当时，可得在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以；
当时，可得在上单调递减，所以，
所以函数在上的最小值.
17．(1)；
(2)在上单调递增，证明见解析
(3)或
（1）利用赋值法即可求，的值；
（2）根据函数单调性的定义即可判断的单调性并证明；
（3）结合函数单调性将不等式进行转化，即，可解不等式.
【详解】（1）令，则，，
令，则，
又，；
（2）任取，且，
则，
∵，
∴，
∴，
即，
所以在上单调递增．
（3）由，
即，
也就是，
即，因为在上是增函数，
所以，
可得不等式解集为或.
18．(1)
(2)答案见解析
(3)
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为1，2，
所以解得
（2）因为，所以．
①当时，不等式为，解集为；
②当时，不等式可化为，解集为或；
③当时，，不等式可化为，解集为；
④当时，，不等式可化为，解集为；
⑤当时，，不等式可化为，解集为，
综上，当时，解集为；当时，解集为或；
当时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为.
（3）由（1）知不等式对任意恒成立，
即对任意恒成立，
只需．
因为，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，，故实数的取值范围为．
19．(1)不动点为－2和3
(2)（i）；（ii）
（1）令，求出或，得到答案；
（2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围；
（ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案；
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得，
解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为.
【详解】（1）令，得，整理得，解得或，
经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3.
（2）（i）令，得，
即，得，
所以有，此方程恰好有两个不同的实数解.
①当，即时，方程化为，
仅有一个实数解，不满足题意；
②当时，要么方程无实数解，
要么方程仅有一个实数解为1或者.
故或或，
解得或.
综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为.
（ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1，
当时，，故，，
于是，.
此时函数的对称轴，令.
①当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，无解.
②当时，在单调递增，
当时，，，
即的值域为，不满足题意，舍去.
当时，，故，，
于是，，此时函数的对称轴，
令.
③当时，，在单调递增，
当时，，，即的值域为，
于是有，解得；
④当时，，在单调递减，在单调递增，
，，故，
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.于是由题意得，解得.
综上，实数的取值范围为.
法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，
因为，，故取，得，
解得，所以，，
因为，解得，
由（i）知，，故，
故有，.
当时，，令，当时，
因，，故.
而，故在单调递减，在单调递增，
注意到，故，
所以当时的值域为，
即的值域为.
于是由题意得，解得.
所以实数的取值范围为.

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