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浙江省杭州市拱墅区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·拱墅期末）已知二次函数，当时，函数值是（　　）
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：C．
【分析】将直接代入二次函数解析式，求出函数值即可．
2．（2024九上·拱墅期末）若（，都不为0），则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，等号的两边同时×6即可得出答案.
3．（2024九上·拱墅期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
4．（2024九上·拱墅期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块
C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0
D．拨打一个电话号码，电话正被占线中
【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，故A不符合题意；
B、两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，属于不可能事件，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，属于必然事件，故C不符合题意；
D、拨打一个电话号码，电话正被占线中，属于随机事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对各选项逐一判断即可．
5．（2024九上·拱墅期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
，
∵，
∴AB=AD+BD=AD+4，
又∵，，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先利用平形于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明出，再利用相似三角形的对应边成比例列出关于AD的方程即可求解．
6．（2024九上·拱墅期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：P(从中随机抽取1个球是红球)，
，
故答案为：B．
【分析】先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可．
7．（2024九上·拱墅期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形—两锐角关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，，
，
∴在中，，，
是边上的高线，
，
，
在中，，
故A符合题意，B不符合题意；
在中，，故C、D均不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先证∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，利用锐角三角函数的定义表示出、，再表示出、，即可求解．
8．（2024九上·拱墅期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS；分类讨论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
作△，
∴
∵，
∴与不相似，故A不符合题意；
作
∴
∵，
∴与不相似，故B不符合题意；
作，
∴
∵，
∴∽，故C符合题意；
作
则
∵，
∴与不相似，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先分别算出 每条边的长度，再分别作△， △，△，，算出其三边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行判断即可．
9．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数.（　　）
A．若，则函数和的图象有两个交点
B．若函数和的值互为相反数，则
C．当时，函数和的值相等
D．函数和的图象必经过同一个定点
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令
∴若 则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确.
∵函数y1和y2的值互为相反数，
或 故B错误；
令
又∵当 时，
∴当 时， 函数 和y2的值不相等，故C错误；
令
∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误.
故答案为：A.
【分析】令得到方程求出根的判别式的值判断A选项和D选项；把x=1代入计算判断C选项；根据函数y1和y2的值互为相反数，得到或 判断B选项解答即可.
10．（2024九上·拱墅期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆的相关概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴(HL)，
∴，
∵∠DAO=90°，∠OBE=90°，
∴，
∵AB=0A+OB，BC=OC-OB，
∴
=22-12
=4-1
=3，
故答案为：A．
【分析】设圆心为O，连接，则，先利用HL证，可得，依据线段的和差可得，再化简变形得到，再代入数值计算即可求解．
11．（2024九上·拱墅期末）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用比例的性质得与b的关系，再代入所求的式子消去b计算即可.
12．（2024九上·拱墅期末）以的斜边为直径作圆，点在　 　（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）．
【答案】圆上
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵斜边为直径，
∴∠ACB=90°，圆心O是斜边的中点，
∴，
∴点C在圆上．
故答案为：圆上．
【分析】先确定直角三角形的直角、圆心位置，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算出OC的长度，最后利用点与圆的位置关系判断即可．
13．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，函数的图象的开口向　 　．
【答案】下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴开口向下，
故答案为：下．
【分析】二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向．
14．（2024九上·拱墅期末）如图，已知是的直径，点在圆上，，与半径交于点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设，用x表示出OD，OC，再由勾股定理求出，最后根据可得答案．
15．（2024九上·拱墅期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴图中与相似的三角形是，
故答案为：．
【分析】在上截取，利用SAS证，可得，可推出，进一步可证．
16．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是　 　．
【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵二次函数的图象过点，点
∴
∴A（2，c），B（-2，16+c），
∵二次函数的图象过点．且，
∴，
∵对称轴是直线，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵二次函数的开口向上，
∴或．
故答案为：或．
【分析】先由函数的解析式得开口方向，对称轴，再算出，结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，再结合二次函数的增减性即可作答．
17．（2024九上·拱墅期末）（1）计算：；
（2）二次函数，当时，；当时，．求和的值．
【答案】解：（1）
；
（2）把，；，分别代入得
，
解得，
∴b的值为，c的值为0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入式子，然后合并同类二次根式即可；
（2）把两组对应值分别代入中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
18．（2024九上·拱墅期末）如图，点，分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质结合矩形的性质可证两三角形两组对角相等，则结论成立；
（2）先由勾股定理求得，再借助相似比即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
19．（2024九上·拱墅期末）一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数．
（1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率．
（2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
【答案】（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种情况，
∴P(正面向上的点数是偶数)
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种情况，
∴P(两次正面向上的点数之和是偶数)
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）先列表表示出所有情况，再利用概率公式求解即可．
（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种结果，
即正面向上的点数是偶数的概率．
（2）解：列表如下：
　 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种结果，
即两次正面向上的点数之和是偶数的概率．
20．（2024九上·拱墅期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求的度数．
②当时，求的长．
【答案】（1）证明：∵弦直径，
∴平分CD，
∴AB是CD的垂直平分线
∴
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到平分CD，即可得出AB是CD的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可证AC=AD；
（2）①由等边对等角得到，利用圆内接四边形的内对角互补可得，结合已知即可求∠ACD的度数；
②连接，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FCD，然后求出，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求出∠AOF，再由弧长公式即可求解．
（1）证明：∵弦直径，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设二次函数．
（1）若函数的图象过点，求的值．
（2）若函数的图象的对称轴是轴，求的值．
（3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点．
【答案】（1）解：函数的图象过点，
，
解得：
（2）解：二次函数，
对称轴为直线，
函数的图象的对称轴是轴，
，
解得：
（3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
函数的图象的对称轴是直线，
∵对称轴为直线，
，
解得，
，
当时，，
即函数的图象过点
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入二次函数的解析式求解即可；
（2）根据对称轴公式得到二次函数的对称轴，再结合对称轴是轴求解即可；
（3）根据函数的增减性，确定二次函数图象的对称轴，进而求出的值，可确定函数的解析式，再将点代入函数得解析式求解即可．
（1）解：函数的图象过点，
，
解得：；
（2）解：二次函数，
对称轴为直线，
函数的图象的对称轴是轴，
，
解得：；
（3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
函数的图象的对称轴是直线，
，
，
，
当时，，
即函数的图象过点．
22．（2024九上·拱墅期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．
（1）若，．
①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．
②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．
（2）在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
【答案】（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
；
②如图，过点作，，
∴∠DNM=∠DPM=90°，
又∵∠PMN=90°，
∴∠DNM=∠DPM=∠PMN=90°
∴四边形是矩形，
，
∵在中，，
，
，，
，
∵在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，由（1） ① 可得，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）①延长交于点，可得∠GMC的度数，然后求出∠DCM的度数，再利用四边形内角和求出∠DCM的度数，最后利用邻补角互补即可求出∠EGH的度数；
②过点作，，先利用有三个直角的四边形是矩形证四边形是矩形，可得，然后利用锐角三角函数分别求出，的长，即可得出PM的长，再利用得出的长，即可 求点到桌面的最大距离 ；
（2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，再比较大小即可得到答案．
（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
②如图，过点作，，
则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为；
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，则，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确．
23．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值．
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
【答案】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
解得，
∴
（2）解： 函数与轴的交点个数为0，理由如下：
令y2=0，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴函数与轴没有交点
（3）解：∵
∴令，则
解得或，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵ 函数和函数与轴的交点均相同，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∴的解为或，
∴，
∴，或（舍去），
∴，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将和分别代入和，可得关于m，n的方程组，解之得到，，然后利用完全平方公式的变形求解 即可；
（2）令y2=0，可得关于x的一元二次方程，求出，再结合判断的大小，即可判断函数与轴的交点个数 ；
（3）先求出函数与x轴的交点坐标，可得函数y2与x轴的交点坐标，即可推出方程的解，然后根据根与系数的关系可得关于m，n的方程组，求解即可．
（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴函数与轴没有交点；
（3）解：∵
∴当时，
解得或
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵
∴，
∴，或，（舍去）．
24．（2024九上·拱墅期末）如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接．
（1）求的度数（用含的代数式表示）．
（2）若，求的值．
（3）求证：．
【答案】（1）解：∵在菱形中，，，
∴∠B=180°-∠DAB=180°-60°=120°，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴在四边形中，
∴
（2）解：如图1，延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，
∵，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，
∴
∴在△CEF中，，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴∠CAB=∠DAB-∠DAD'=30°，
∵由旋转可得
∴，
∵，
∴点在上，
∵，，
∴，
∵AB=AB'=2，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）证明：如图2，
作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可推出的度数，根据旋转的性质可推出的度数，再在四边形中，根据四边形的内角和即可求出的度数 ；
（2）延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，利用菱形的性质和旋转的性质可推出，，从而得出点在上，解直角三角形和直角三角形，可推出和的长，再根据正切的定义即可得出结果；
（3）作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，可依次利用AAS证明，利用HL证明，利用SSS证明，从而推出出，进而得出，解直角三角形和直角三角形，可推出得和，再根据即可得出结论．
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
在四边形中，，，
∴；
（2）解：如图1，
延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图2，
作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
1 / 1浙江省杭州市拱墅区2024-2025学年九年级上学期期末数学试题
1．（2024九上·拱墅期末）已知二次函数，当时，函数值是（　　）
A． B． C．0 D．1
2．（2024九上·拱墅期末）若（，都不为0），则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九上·拱墅期末）如图，是的弦，点，都在上，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2024九上·拱墅期末）下列事件中，属于随机事件的是（　　）
A．任意画一个三角形，其内角和是
B．两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块
C．掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0
D．拨打一个电话号码，电话正被占线中
5．（2024九上·拱墅期末）如图，已知点，分别在的边，上，．若，，，则（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．（2024九上·拱墅期末）一盒球（只有颜色不同）有15个红球、6个彩球（不是红色和白色）和1个白球，共22个球．设从中随机抽取1个球是红球的概率为，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九上·拱墅期末）如图，在中，，是边上的高线，设，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024九上·拱墅期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（　　）
A．点 B．点 C．点 D．点
9．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数.（　　）
A．若，则函数和的图象有两个交点
B．若函数和的值互为相反数，则
C．当时，函数和的值相等
D．函数和的图象必经过同一个定点
10．（2024九上·拱墅期末）如图，点，，在直线上，，，且过点，，三点的圆的圆心在直线上．若，，则的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
11．（2024九上·拱墅期末）若，则　 　．
12．（2024九上·拱墅期末）以的斜边为直径作圆，点在　 　（填“圆内”“圆上”或“圆外”中的一个）．
13．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，函数的图象的开口向　 　．
14．（2024九上·拱墅期末）如图，已知是的直径，点在圆上，，与半径交于点．若，则　 　．
15．（2024九上·拱墅期末）如图，在中，，点，分别在，上，，连接，，交于点．若，则图中与相似的三角形是　 　．
16．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，二次函数的图象过点，点，点．若，则的取值范围是　 　．
17．（2024九上·拱墅期末）（1）计算：；
（2）二次函数，当时，；当时，．求和的值．
18．（2024九上·拱墅期末）如图，点，分别在矩形的边，上，连接，交对角线于点，．
（1）求证：．
（2）若，，，求的长．
19．（2024九上·拱墅期末）一个质地均匀的木质正四面体，四个面上分别刻有1到4的点数．
（1）投掷一次，求正面向上的点数是偶数的概率．
（2）投掷两次，求两次正面向上的点数之和是偶数的概率（用树状图或列表法）．
20．（2024九上·拱墅期末）如图，已知的半径为2，弦直径，垂足为点，点在上（不与点，点重合），连接，，，．
（1）求证：．
（2）若．
①求的度数．
②当时，求的长．
21．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设二次函数．
（1）若函数的图象过点，求的值．
（2）若函数的图象的对称轴是轴，求的值．
（3）当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，说明函数的图象过点．
22．（2024九上·拱墅期末）图1是某种笔记本电脑支架．如图2，其底座放置在水平桌面上，通过调节点，点处的角度，控制托盘的位置．电脑机身和屏幕分别用线段、表示，；，．
（1）若，．
①为使屏幕与桌面保持垂直，求的度数．
②求点到桌面的最大距离（不计材料的厚度）．
（2）在（1）的情况下，保持，并逐渐减小的度数．圆圆同学说：“点到桌面的距离越来越小．”点点同学说：“点到桌面的距离先变大，后变小．”你认为谁的说法正确，说明理由．
23．（2024九上·拱墅期末）在直角坐标系中，设函数，，其中．
（1）若函数的图象过点，函数的图象过点，求的值．
（2）若，判断函数与轴的交点个数，说明理由．
（3）若函数和函数与轴的交点均相同，求，的值．
24．（2024九上·拱墅期末）如图，菱形的边长是，．把菱形绕点顺时针旋转得到菱形，设旋转角度，与交于点，连接．
（1）求的度数（用含的代数式表示）．
（2）若，求的值．
（3）求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：C．
【分析】将直接代入二次函数解析式，求出函数值即可．
2．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据等式的性质，等号的两边同时×6即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等即可求解．
4．【答案】D
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是，属于不可能事件，故A不符合题意；
B、两张扑克牌，1张黑桃、1张红桃，从中随机抽取1张扑克是方块，属于不可能事件，故B不符合题意；
C、掷一枚质地均匀的骰子，六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数大于0，属于必然事件，故C不符合题意；
D、拨打一个电话号码，电话正被占线中，属于随机事件，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，对各选项逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：，
，
，
∵，
∴AB=AD+BD=AD+4，
又∵，，
，
解得：，
故答案为：D．
【分析】先利用平形于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，证明出，再利用相似三角形的对应边成比例列出关于AD的方程即可求解．
6．【答案】B
【知识点】概率公式；有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：P(从中随机抽取1个球是红球)，
，
故答案为：B．
【分析】先求出抽取1个球是红球的概率，再逐项判断即可．
7．【答案】A
【知识点】解直角三角形—两锐角关系；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：在中，，，
，
∴在中，，，
是边上的高线，
，
，
在中，，
故A符合题意，B不符合题意；
在中，，故C、D均不符合题意；
故答案为：A．
【分析】先证∠ACB=∠ADC=∠BDC=90°，利用锐角三角函数的定义表示出、，再表示出、，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-SSS；分类讨论；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：由题意得，，，，
作△，
∴
∵，
∴与不相似，故A不符合题意；
作
∴
∵，
∴与不相似，故B不符合题意；
作，
∴
∵，
∴∽，故C符合题意；
作
则
∵，
∴与不相似，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】先分别算出 每条边的长度，再分别作△， △，△，，算出其三边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行判断即可．
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：令
∴若 则函数y1和y2的图象有两个交点，故A正确.
∵函数y1和y2的值互为相反数，
或 故B错误；
令
又∵当 时，
∴当 时， 函数 和y2的值不相等，故C错误；
令
∴结合A可得，两个图象有两个公共点，且不能确定是不是定点，故D错误.
故答案为：A.
【分析】令得到方程求出根的判别式的值判断A选项和D选项；把x=1代入计算判断C选项；根据函数y1和y2的值互为相反数，得到或 判断B选项解答即可.
10．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆的相关概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设圆心为O，连接，则，
∵，，
∴，，
∴，
∵，，
∴(HL)，
∴，
∵∠DAO=90°，∠OBE=90°，
∴，
∵AB=0A+OB，BC=OC-OB，
∴
=22-12
=4-1
=3，
故答案为：A．
【分析】设圆心为O，连接，则，先利用HL证，可得，依据线段的和差可得，再化简变形得到，再代入数值计算即可求解．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】利用比例的性质得与b的关系，再代入所求的式子消去b计算即可.
12．【答案】圆上
【知识点】点与圆的位置关系；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，
∵斜边为直径，
∴∠ACB=90°，圆心O是斜边的中点，
∴，
∴点C在圆上．
故答案为：圆上．
【分析】先确定直角三角形的直角、圆心位置，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算出OC的长度，最后利用点与圆的位置关系判断即可．
13．【答案】下
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵，
∴开口向下，
故答案为：下．
【分析】二次函数，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下．根据二次函数的二次项系数即可判断抛物线的开口方向．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正弦值
【解析】【解答】解：设，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】设，用x表示出OD，OC，再由勾股定理求出，最后根据可得答案．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：在上截取，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵
∴，
∵，
∴，
∴图中与相似的三角形是，
故答案为：．
【分析】在上截取，利用SAS证，可得，可推出，进一步可证．
16．【答案】或
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵二次函数，
∴二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，
∵二次函数的图象过点，点
∴
∴A（2，c），B（-2，16+c），
∵二次函数的图象过点．且，
∴，
∵对称轴是直线，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∴关于直线对称的点的坐标为，
∵二次函数的开口向上，
∴或．
故答案为：或．
【分析】先由函数的解析式得开口方向，对称轴，再算出，结合二次函数的图象过点．且，得，最后结合二次函数的对称性找出，关于直线对称的点的坐标为，同理得关于直线对称的点的坐标为，再结合二次函数的增减性即可作答．
17．【答案】解：（1）
；
（2）把，；，分别代入得
，
解得，
∴b的值为，c的值为0
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先把特殊角的三角函数值代入式子，然后合并同类二次根式即可；
（2）把两组对应值分别代入中得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由平行线的性质结合矩形的性质可证两三角形两组对角相等，则结论成立；
（2）先由勾股定理求得，再借助相似比即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的长为．
19．【答案】（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种情况，
∴P(正面向上的点数是偶数)
（2）解：列表如下：
1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种情况，
∴P(两次正面向上的点数之和是偶数)
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）先列表表示出所有情况，再利用概率公式求解即可．
（1）解：投掷一次，正面向上的点数由4种等可能的结果，其中是偶数的有2种结果，
即正面向上的点数是偶数的概率．
（2）解：列表如下：
　 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
由表可知，共有16种等可能的结果，其中两次正面向上的点数之和是偶数的有8种结果，
即两次正面向上的点数之和是偶数的概率．
20．【答案】（1）证明：∵弦直径，
∴平分CD，
∴AB是CD的垂直平分线
∴
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据垂径定理得到平分CD，即可得出AB是CD的垂直平分线，再利用垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，即可证AC=AD；
（2）①由等边对等角得到，利用圆内接四边形的内对角互补可得，结合已知即可求∠ACD的度数；
②连接，根据两直线平行，同旁内角互补可求∠FCD，然后求出，根据同弧所对的圆心角是圆周角的2倍可求出∠AOF，再由弧长公式即可求解．
（1）证明：∵弦直径，
∴平分，
∴，
∴；
（2）解：①∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②连接，如下图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：函数的图象过点，
，
解得：
（2）解：二次函数，
对称轴为直线，
函数的图象的对称轴是轴，
，
解得：
（3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
函数的图象的对称轴是直线，
∵对称轴为直线，
，
解得，
，
当时，，
即函数的图象过点
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点代入二次函数的解析式求解即可；
（2）根据对称轴公式得到二次函数的对称轴，再结合对称轴是轴求解即可；
（3）根据函数的增减性，确定二次函数图象的对称轴，进而求出的值，可确定函数的解析式，再将点代入函数得解析式求解即可．
（1）解：函数的图象过点，
，
解得：；
（2）解：二次函数，
对称轴为直线，
函数的图象的对称轴是轴，
，
解得：；
（3）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
函数的图象的对称轴是直线，
，
，
，
当时，，
即函数的图象过点．
22．【答案】（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
；
②如图，过点作，，
∴∠DNM=∠DPM=90°，
又∵∠PMN=90°，
∴∠DNM=∠DPM=∠PMN=90°
∴四边形是矩形，
，
∵在中，，
，
，，
，
∵在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，由（1） ① 可得，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）①延长交于点，可得∠GMC的度数，然后求出∠DCM的度数，再利用四边形内角和求出∠DCM的度数，最后利用邻补角互补即可求出∠EGH的度数；
②过点作，，先利用有三个直角的四边形是矩形证四边形是矩形，可得，然后利用锐角三角函数分别求出，的长，即可得出PM的长，再利用得出的长，即可 求点到桌面的最大距离 ；
（2）设，则，点到桌面的距离为，再分别计算、、时，点到桌面的距离，再比较大小即可得到答案．
（1）解：①如图，延长交于点，
，
，
，
，，
，
②如图，过点作，，
则四边形是矩形，
，
在中，，
，
，，
，
在中，，
，
，
即点到桌面的最大距离为；
（2）解：点点同学的说法正确，理由如下：
设，则，
点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
当时，点到桌面的距离为，
点到桌面的距离先变大，后变小，
点点同学的说法正确．
23．【答案】（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
解得，
∴
（2）解： 函数与轴的交点个数为0，理由如下：
令y2=0，
∴
∴
又∵，
∴
∴
∴函数与轴没有交点
（3）解：∵
∴令，则
解得或，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵ 函数和函数与轴的交点均相同，
∴函数与x轴的交点坐标为和
∴的解为或，
∴，
∴，或（舍去），
∴，
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】（1）将和分别代入和，可得关于m，n的方程组，解之得到，，然后利用完全平方公式的变形求解 即可；
（2）令y2=0，可得关于x的一元二次方程，求出，再结合判断的大小，即可判断函数与轴的交点个数 ；
（3）先求出函数与x轴的交点坐标，可得函数y2与x轴的交点坐标，即可推出方程的解，然后根据根与系数的关系可得关于m，n的方程组，求解即可．
（1）解：∵函数的图象过点，函数的图象过点，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴
∴函数与轴没有交点；
（3）解：∵
∴当时，
解得或
∴函数与x轴的交点坐标为和
∵
∴，
∴，或，（舍去）．
24．【答案】（1）解：∵在菱形中，，，
∴∠B=180°-∠DAB=180°-60°=120°，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴在四边形中，
∴
（2）解：如图1，延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，
∵，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，
∴
∴在△CEF中，，
由旋转可得，
∵，
∴，
∴∠CAB=∠DAB-∠DAD'=30°，
∵由旋转可得
∴，
∵，
∴点在上，
∵，，
∴，
∵AB=AB'=2，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
（3）证明：如图2，
作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；四边形的综合；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据菱形的性质可推出的度数，根据旋转的性质可推出的度数，再在四边形中，根据四边形的内角和即可求出的度数 ；
（2）延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，利用菱形的性质和旋转的性质可推出，，从而得出点在上，解直角三角形和直角三角形，可推出和的长，再根据正切的定义即可得出结果；
（3）作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，可依次利用AAS证明，利用HL证明，利用SSS证明，从而推出出，进而得出，解直角三角形和直角三角形，可推出得和，再根据即可得出结论．
（1）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，
∴，
在四边形中，，，
∴；
（2）解：如图1，
延长，交的延长线于点F，延长，交与点G，设和交于点O，和交于H，
∴，
∵四边形和四边形是菱形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴点在上，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）证明：如图2，
作，交的延长线点G，作，交的延长线于点H，连接，，的延长线交于点F，设交于点W，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
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