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浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题
1．（2024八上·义乌期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，，
点在第四象限．
故答案为：D.
【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限.
2．（2024八上·义乌期中）在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用等边对等角计算出∠C的度数，再利用三角形的内角和定理计算∠A的度数.
3．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为E，则的边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是的边上的高线．
故选：C．
【分析】
经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．．
4．（2024八上·义乌期中）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得：，
即，
所以的距离不能是，
故选：D．
【分析】三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．（2024八上·义乌期中）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°∠2＝40°
【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、满足条件∠1+∠2=90°，不满足结论∠1≠∠2，故A符合题意；
B、不满足条件，故B不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故C不符合题意；
D、不满足条件，故D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项进行判断，即可得出答案．
6．（2024八上·义乌期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据做法可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图痕迹可得，，，利用“SSS”证出.
7．（2024八上·义乌期中）若不等式组无解，则m的值可能（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
，
，
故选：．
【分析】
确定不等式组解集的口诀：同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解．
8．（2024八上·义乌期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】连接，
，的面积为3
，
，的面积为，
，
，
与等底等高，
，
图中阴影部分的面积为9，
故选：C．
【分析】
如图，连接CF，由于和共底同高，则两三角形的面积比等于底边的比，则面积可得，另由于中线等分三角形的面积，则面积可得，再利用三角形之间的数量关系可得的面积，再利用中线的性质即可求得．
9．（2024八上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得，，
，
，
，
故选：C．
【分析】
依次观察各点的坐标，可得，，，则，即可推出的坐标．
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（　　）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD PE+CD PF=BD AC，
∴PE+PF=AC，
∵ AD：DB＝1：3，
∴设AD=x，则BD=CD=3x，AB=AD+BD=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故答案为：C
【分析】由等面积法及三角形面积公式可求出PE+PF=AC，设AD=x，则BD=CD=3x，AB=AD+BD=4x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC2，从而利用等量代换可得关于字母x的方程，解方程得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
11．（2024八上·义乌期中）根据数量关系“a是正数”，可列出不等式：　 　．
【答案】a＞0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵a是正数，
∴a＞0.
故答案为：a＞0.
【分析】利用正数都大于0，可得答案.
12．（2024八上·义乌期中）已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是　 　．
【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知2+2＜4，故不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分别讨解答即可．
13．（2024八上·义乌期中）已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 　 　．
【答案】3
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，
∴a-1=2，
∴，
故答案为：3．
【分析】点的坐标平移规律“左减右加（影响x），上加下减（影响y）”得出关于字母a的方程，求解即可.
14．（2024八上·义乌期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，
∵，对角线平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】过D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
15．（2024八上·义乌期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 　．
【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为；
②角是β，则，
∴
∴“希望角”度数为；
③角既不是α也不是β，
则，
∴
解得，
∴“希望角”度数为；
综上所述，“希望角”度数为或或
故答案为：或或
【分析】
由希望三角形的定义可分类讨论，即当的角为希望角时，或的角是希望角的一半时，或的角既不是希望角也不是希望角的一半时，再利用三角形的内角和定理分别列式计算即可．
16．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由等腰三角形三线合一知，AD在BC的中线和高上，因此延长AD交BC于点G，则AG垂直平分BC，此时由由等边对等角可得，由折叠的性质可得，由直角三角形两锐角互余可得，则等量代换可得，即是等腰直角三角形，则可得DG=CG=7，即AG=24，利用勾股定理可得CE=AC=25，再利用等面积法求出CF的长即可．
17．（2024八上·义乌期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
18．（2024八上·义乌期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）写出点的坐标（____，____），（____，____），（____，____）；
（3）在内有一点，点与点关于直线对称，请用含m，n的式子表示点的坐标（________，________）．
【答案】（1）解： 如图，为所作：
（2）4，1；5，4；3，3
（3）2-m，n
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图中点A'、B'、C'所在的位置得出，，，
故答案为：4，1；5，4；3，3；
（3）点关于直线的对称点'的坐标为，
故答案为：2-m，．
【分析】（1）利用网格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于直线l的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）根据点A'、B'、C'三点在直角坐标系中的位置写出点A'，B'，C'的坐标即可；
（3）观察A与A'点的坐标特点，即可写出点P关于直线的对称点P'的坐标．
（1）如图，为所作：
（2），，，
故答案为：4，1；5，4；3，3；
（3）点关于直线的对称点的坐标为，
故答案为：，．
19．（2024八上·义乌期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF．
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）若BF=13，EC=7，求BC的长．
【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
（2）解：如图
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BF=CF，
∵BF=13，EC=7，
∴BE+CF=BF﹣EC=6，
∴BE=CF=3，
∴BC=BE+EC=3+7=10．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先由两直线平行内错角相等可得 ∠ACB=∠DEF， 再利用AAS证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得BC=EF，则BE=CF，即有BC+EF=BF+CE=2BC．
20．（2024八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得BP=2tcm，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得，
∴当时， 点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于D，由路程、速度、时间三者的关系得BP=2tcm，由线段和差得PD=PC=(8-2t)cm，从而利用“HL”证明Rt△ADP≌Rt△ACP，根据全等三角形的对应边相等得AD=AC=6cm，由线段和差得BD=4cm，最后在Rt△PBD中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，从而得出答案.
（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
（2）解：如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得．
21．（2024八上·义乌期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）解：能，理由如下：
如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
在中，
，
∵CE=CF，CD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论；
（2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F， 首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论.
（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
22．（2024八上·义乌期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元．
（1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
【答案】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意得：
，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据等量关系“ 购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元 ”建立方程组并求解即可；
（2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据不等关系“ A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍 ”建立不等式组并求出其整数解，再根据（1）的结果逐个计算总费用并比较即可．
（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，
根据题意得：，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
23．（2024八上·义乌期中）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、；
（1）如图1，若点是的中点时，求证：；
（2）如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．
【答案】（1）证明：如图1所示，连接，
，点是的中点，、，
，
即，
；
（2）答：，理由如下，
如图2所示，连接，
，、，为腰上的高，
，
，
；
（3）解：如下图，过点作于点，连接，
，、，，
，
，
，
若，
则．
【知识点】含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一知，连接则等分的面积，即：，即可得证；
（2）同上，连接，由割补法求图形面积可得：，即可得出结论；
（3）过点作于点，连接，由割补法求图形面积可得：，则可得，进而根据含度角的直角三角形的性质即可．
（1）证明：如图1所示，连接，
，点是的中点，、，
，
即，
；
（2）解：，理由如下，
如图2所示，连接，
，、，为腰上的高，
，
，
；
（3）如下图，过点作于点，连接，
，、，，
，
，
，
若，
则．
24．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，．点D在边上，，且，交边于点F，连接．
（1）若，，求线段的长；
（2）若，求的度数；
（3）求线段，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：过点C作于M，如图，
∵，，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过E作于N，如图，
则，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：，理由如下：
由（2）可知：，
在中：，
又在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一知，过点C作于M，则CM是斜边AB上的中线，再根据勾股定理求解先求出AB的长，则CM、AM可得，再利用勾股定理求出DM即可；
（2）由于是等腰直角三角形且，则可过E作于N，由一线三垂直全等模型可证明，则，，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得，则是等腰直角三角形即可；
（3）由（2）的结论可得，由勾股定理结合已知可得，，再等量代换即可．
（1）解：过点C作于M，如图，
∵，，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过E作于N，如图，
则，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：，理由如下：
过点C作于M，过E作于N，如图，
由（2）可知：，
在中，
∴，
在中，，
，
，
在中，，
∴，
∴．
1 / 1浙江省金华市义乌市绣湖中学2024-2025学年八年级上学期期中数学试题
1．（2024八上·义乌期中）在平面直角坐标系中，点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024八上·义乌期中）在中，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在线段上，，垂足为E，则的边上的高是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·义乌期中）为估计池塘两岸、间的距离，如图，小明在池塘一侧选取了一点，测得，，那么的距离不可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八上·义乌期中）对于命题“如果∠1+∠2＝90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的反例是（　　）
A．∠1＝∠2＝45° B．∠1＝50°，∠2＝50°
C．∠1＝50°，∠2＝40° D．∠1＝40°∠2＝40°
6．（2024八上·义乌期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（　　）．
A． B． C． D．
7．（2024八上·义乌期中）若不等式组无解，则m的值可能（　　）
A．7 B．6 C．5 D．3
8．（2024八上·义乌期中）如图，已知的面积为，点分别在边，上，且，，与相交于点F，若的面积为3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．
9．（2024八上·义乌期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点…则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·义乌期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，P是BC上一点，且DB＝DC，过BC上一点P，作PE⊥AB于E，PF⊥DC于F，已知：AD：DB＝1：3，BC＝，则PE+PF的长是（　　）
A． B．6 C． D．
11．（2024八上·义乌期中）根据数量关系“a是正数”，可列出不等式：　 　．
12．（2024八上·义乌期中）已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是　 　．
13．（2024八上·义乌期中）已知点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，则a的值是 　 　．
14．（2024八上·义乌期中）如图，在四边形中，，，，对角线平分，则的面积为　 　．
15．（2024八上·义乌期中）当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为　 　．
16．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处，交于F，恰有．若，，则　 　．
17．（2024八上·义乌期中）解不等式组，并将解集表示在数轴上．
18．（2024八上·义乌期中）如图，平面直角坐标系中，，，，过点作轴的垂线．
（1）作出关于直线的轴对称图形；
（2）写出点的坐标（____，____），（____，____），（____，____）；
（3）在内有一点，点与点关于直线对称，请用含m，n的式子表示点的坐标（________，________）．
19．（2024八上·义乌期中）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF．
（1）试说明：△ABC≌△DFE；
（2）若BF=13，EC=7，求BC的长．
20．（2024八上·义乌期中）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发，以2cm/秒的速度沿BC移动至点C，设运动时间为秒．
（1）求BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在某个时刻t，使得点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．（2024八上·义乌期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线上两点 A，B的距离分别为和，又，飞机中心周围以内可以受到洒水影响．
（1）着火点C 受洒水影响吗？为什么？
（2）若飞机的速度为，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？
22．（2024八上·义乌期中）红糖是义乌特产，为促进销量，某批发商销售A、B两种包装的红糖，若购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元．
（1）A种包装、B种包装每箱价格分别是多少元？
（2）若某公司购买A、B两种包装共30箱，且A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用．
23．（2024八上·义乌期中）在中，，点是所在直线上一个动点，过点作、，垂足分别为、；
（1）如图1，若点是的中点时，求证：；
（2）如图2，为腰上的高，当点在边上时，试探究、、之间的关系，并说明理由．
（3）如图3，当点运动到的延长线上时，若，，求的长度．
24．（2024八上·义乌期中）如图，在中，，．点D在边上，，且，交边于点F，连接．
（1）若，，求线段的长；
（2）若，求的度数；
（3）求线段，，之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：，，
点在第四象限．
故答案为：D.
【分析】若A（m，n），当m>0，n>0时，点A在第一象限；当m<0，n>0时，点A在第二象限；当m<0，n<0时，点A在第三象限；当m>0，n<0时，点A在第四象限.
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用等边对等角计算出∠C的度数，再利用三角形的内角和定理计算∠A的度数.
3．【答案】C
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴是的边上的高线．
故选：C．
【分析】
经过三角形一个顶点，向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．．
4．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：根据三角形三边关系得：，
即，
所以的距离不能是，
故选：D．
【分析】三角形的三边关系定理：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．【答案】A
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、满足条件∠1+∠2=90°，不满足结论∠1≠∠2，故A符合题意；
B、不满足条件，故B不符合题意；
C、满足条件∠1+∠2=90°，也满足结论∠1≠∠2，故C不符合题意；
D、不满足条件，故D不符合题意．
故答案为：A.
【分析】 能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子，逐项进行判断，即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：根据做法可知：，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据作图痕迹可得，，，利用“SSS”证出.
7．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∵不等式组无解，
，
，
故选：．
【分析】
确定不等式组解集的口诀：同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解．
8．【答案】C
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】连接，
，的面积为3
，
，的面积为，
，
，
与等底等高，
，
图中阴影部分的面积为9，
故选：C．
【分析】
如图，连接CF，由于和共底同高，则两三角形的面积比等于底边的比，则面积可得，另由于中线等分三角形的面积，则面积可得，再利用三角形之间的数量关系可得的面积，再利用中线的性质即可求得．
9．【答案】C
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由图可得，，
，
，
，
故选：C．
【分析】
依次观察各点的坐标，可得，，，则，即可推出的坐标．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；等积变换
【解析】【解答】解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF⊥CD，AC⊥BD，
∴S△BCD=BD PE+CD PF=BD AC，
∴PE+PF=AC，
∵ AD：DB＝1：3，
∴设AD=x，则BD=CD=3x，AB=AD+BD=4x，
∵AC2=CD2-AD2=（3x）2-x2=8x2，
∵AC2=BC2-AB2=（）2-（4x）2，
∴x=2，
∴AC=4，
∴PE+PF=4．
故答案为：C
【分析】由等面积法及三角形面积公式可求出PE+PF=AC，设AD=x，则BD=CD=3x，AB=AD+BD=4x，在Rt△ACD和Rt△ABC中，利用勾股定理表示出AC2，从而利用等量代换可得关于字母x的方程，解方程得到AD的长，再利用勾股定理就可以求出AC的长，也就是PE+PF的长．
11．【答案】a＞0
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵a是正数，
∴a＞0.
故答案为：a＞0.
【分析】利用正数都大于0，可得答案.
12．【答案】12
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知2+2＜4，故不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，利用等腰三角形的性质及三角形的三边关系，分别讨解答即可．
13．【答案】3
【知识点】沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，将其向下平移1个单位后的坐标是，
∴a-1=2，
∴，
故答案为：3．
【分析】点的坐标平移规律“左减右加（影响x），上加下减（影响y）”得出关于字母a的方程，求解即可.
14．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，
∵，对角线平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：.
【分析】过D作于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得出，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
15．【答案】或或
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为；
②角是β，则，
∴
∴“希望角”度数为；
③角既不是α也不是β，
则，
∴
解得，
∴“希望角”度数为；
综上所述，“希望角”度数为或或
故答案为：或或
【分析】
由希望三角形的定义可分类讨论，即当的角为希望角时，或的角是希望角的一半时，或的角既不是希望角也不是希望角的一半时，再利用三角形的内角和定理分别列式计算即可．
16．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：延长，交于点，
，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知，，
，
是等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】
由等腰三角形三线合一知，AD在BC的中线和高上，因此延长AD交BC于点G，则AG垂直平分BC，此时由由等边对等角可得，由折叠的性质可得，由直角三角形两锐角互余可得，则等量代换可得，即是等腰直角三角形，则可得DG=CG=7，即AG=24，利用勾股定理可得CE=AC=25，再利用等面积法求出CF的长即可．
17．【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
在数轴上表示如图所示：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集，进而根据数轴上表示不等式组的解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等”将该不等式组的解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】（1）解： 如图，为所作：
（2）4，1；5，4；3，3
（3）2-m，n
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：（2）由图中点A'、B'、C'所在的位置得出，，，
故答案为：4，1；5，4；3，3；
（3）点关于直线的对称点'的坐标为，
故答案为：2-m，．
【分析】（1）利用网格纸的特点及轴对称的性质，分别作出点A、B、C三点关于直线l的对称点A'、B'、C'，再顺次连接A'、B'、C'即可；
（2）根据点A'、B'、C'三点在直角坐标系中的位置写出点A'，B'，C'的坐标即可；
（3）观察A与A'点的坐标特点，即可写出点P关于直线的对称点P'的坐标．
（1）如图，为所作：
（2），，，
故答案为：4，1；5，4；3，3；
（3）点关于直线的对称点的坐标为，
故答案为：，．
19．【答案】（1）证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS），
（2）解：如图
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，
∴BF=CF，
∵BF=13，EC=7，
∴BE+CF=BF﹣EC=6，
∴BE=CF=3，
∴BC=BE+EC=3+7=10．
【知识点】三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先由两直线平行内错角相等可得 ∠ACB=∠DEF， 再利用AAS证明两三角形全等即可；
（2）由全等三角形的性质可得BC=EF，则BE=CF，即有BC+EF=BF+CE=2BC．
20．【答案】（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
（2）解：存在，理由如下：
如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得BP=2tcm，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得，
∴当时， 点P到边AB的距离与点P到点C的距离相等.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）直接利用勾股定理计算即可；
（2）如图所示，过点P作PD⊥AB于D，由路程、速度、时间三者的关系得BP=2tcm，由线段和差得PD=PC=(8-2t)cm，从而利用“HL”证明Rt△ADP≌Rt△ACP，根据全等三角形的对应边相等得AD=AC=6cm，由线段和差得BD=4cm，最后在Rt△PBD中，利用勾股定理建立方程可求出t的值，从而得出答案.
（1）解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，
∴；
（2）解：如图所示，过点P作PD⊥AB于D，
由题意得，则，
在Rt△ADP和Rt△ACP中，
，
∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL），
∴，
∴，
在Rt△PBD中，，
∴，
解得．
21．【答案】（1）解：着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）解：能，理由如下：
如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
在中，
，
∵CE=CF，CD⊥AB，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
【知识点】勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一；勾股定理逆定理的实际应用
【解析】【分析】（1）过点C作，垂足为D，先用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，进而利用等面积法建立方程求得CD长度，将CD的长度与260进行比较即可求得结论；
（2）以点C为圆心，260m为半径作圆，交AB于点E，F， 首先利用勾股定理求得ED=100，再根据等腰三角形的三线合一得出EF=2ED=200，根据路程、速度、时间三者关系求出飞行时间，再与灭火时间比较，即可得出结论.
（1）着火点C受洒水影响，理由如下，
如图，过点C作，垂足为D，
∵，，，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
所以，
∵，
∴着火点C受洒水影响．
（2）如图，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E，F．
则，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，
∴着火点C能被扑灭．
22．【答案】（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据题意得：
，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，根据等量关系“ 购买9箱A种包装和6箱B种包装共需390元；若购买5箱A包装和8箱B包装需310元 ”建立方程组并求解即可；
（2）设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，根据不等关系“ A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍 ”建立不等式组并求出其整数解，再根据（1）的结果逐个计算总费用并比较即可．
（1）解：设A种包装每箱价格是m元，B种包装每箱价格是n元，
根据题意得：，解得：．
∴A种包装每箱价格是30元，B种包装每箱价格是20元．
（2）解：设购买A种包装x箱，总费用为y元，则购买B种包装箱，
∵A种的数量至少比B种的数量多5箱，又不超过B种的2倍，
∴，解得：，
∵x为整数，
∴当，19或20
∴当时，此时，费用为（元）：
当时，此时，费用为（元）；
当时，此时，费用为（元）：
∵
∴购买A种包装18箱，购买B种包装12箱，才能使总费用最少，最少费用为780元．
23．【答案】（1）证明：如图1所示，连接，
，点是的中点，、，
，
即，
；
（2）答：，理由如下，
如图2所示，连接，
，、，为腰上的高，
，
，
；
（3）解：如下图，过点作于点，连接，
，、，，
，
，
，
若，
则．
【知识点】含30°角的直角三角形；几何图形的面积计算-割补法；三角形的中线；三角形的高
【解析】【分析】
（1）由等腰三角形三线合一知，连接则等分的面积，即：，即可得证；
（2）同上，连接，由割补法求图形面积可得：，即可得出结论；
（3）过点作于点，连接，由割补法求图形面积可得：，则可得，进而根据含度角的直角三角形的性质即可．
（1）证明：如图1所示，连接，
，点是的中点，、，
，
即，
；
（2）解：，理由如下，
如图2所示，连接，
，、，为腰上的高，
，
，
；
（3）如下图，过点作于点，连接，
，、，，
，
，
，
若，
则．
24．【答案】（1）解：过点C作于M，如图，
∵，，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过E作于N，如图，
则，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：，理由如下：
由（2）可知：，
在中：，
又在中，，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形斜边上的中线；异侧一线三垂直全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由等腰三角形三线合一知，过点C作于M，则CM是斜边AB上的中线，再根据勾股定理求解先求出AB的长，则CM、AM可得，再利用勾股定理求出DM即可；
（2）由于是等腰直角三角形且，则可过E作于N，由一线三垂直全等模型可证明，则，，再直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得，则是等腰直角三角形即可；
（3）由（2）的结论可得，由勾股定理结合已知可得，，再等量代换即可．
（1）解：过点C作于M，如图，
∵，，，
，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：过E作于N，如图，
则，
∴，
∵，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（3）解：，理由如下：
过点C作于M，过E作于N，如图，
由（2）可知：，
在中，
∴，
在中，，
，
，
在中，，
∴，
∴．
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