资源简介

浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·萧山期中）下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八上·萧山期中）在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024八上·萧山期中）已知实数，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八上·萧山期中）等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为( )
A．7cm B．5cm或7cm C．6cm或5cm D．5cm
5．（2024八上·萧山期中）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（　　）．
A． B． C． D．
6．（2024八上·萧山期中）下列条件中，能构成直角的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024八上·萧山期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形.
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形.
D．不是等腰三角形的两个角不相等.
8．（2024八上·萧山期中）如果△ABC的三边分别为，，，其中为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为
B．△ABC是直角三角形，且斜边为
C．△ABC是直角三角形，且斜边为
D．△ABC不是直角三角形
9．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点；
②以为圆心，长为半径画弧交于点．
方方探究得到以下两个结论：
①是等腰三角形；②若，则点到的距离为，则（　　）
A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误
11．（2024八上·萧山期中）“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为　 　.
12．（2024八上·萧山期中）若，则　 　．（填“<”或“>”）
13．（2024八上·萧山期中）是等腰三角形，，则　 　°．
14．（2024八上·萧山期中）在中，，，则　 　．
15．（2024八上·萧山期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=　 　．
16．（2024八上·萧山期中）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是　 　．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是　 　．
17．（2024八上·萧山期中）如图，在中，是斜边上的高线．
（1）　　．（填或）
（2）　　．（填或）
（3）若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或）
18．（2024八上·萧山期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上．
（1）直接判断的形状，
（2）画出关于直线的对称图形．
（3）在直线上作一点P，使得最小
19．（2024八上·萧山期中）如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
20．（2024八上·萧山期中）如图，点在上，且，，．
（1）求证：．
（2）连结，若，，，求的长度
21．（2024八上·萧山期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．求证：
（1）；
（2）为等边三角形．
22．（2024八上·萧山期中）如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求折痕的长．
23．（2024八上·萧山期中）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）①如果，那么　　；
②如果，那么　　；
③如果，那么　　．
（2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若，比较，的大小；
②比较与的大小．
24．（2024八上·萧山期中）感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的交通标志是轴对称图形，B、C、D选项中的交通标志不是轴对称图形.故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形第三边长为cm，则
得
当时，能与、长的两根木棒钉成一个三角形.
故答案为：C.
【分析】首先由“ 三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边 ”建立不等式组求出第三边的取值范围，即可逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式的两边同减去一个数，不等号的方向不变，若，则正确，∴A不符题意；
B、不等式的两边同加上一个数，不等号的方向不变，若，则正确，∴B不符题意；
C、不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，若，则，原结论错误，∴C符合题意；
D、不等式的两边同除以一个正数，不等号的方向不变，若，则正确，∴D不符题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是(17-5)÷2=6（cm），∵5+6>6，∴能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7（cm），∵5+5>7，∴能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：5cm或7cm．
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形的两腰相等，因此可先分类讨论，即腰为5或底边为5时分别进行计算，最后再利用三角形三边关系进行验证即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由三角形内角和为，
可求第一个三角形中边长为的边所对的角为，
由全等三角形对应角相等可知.
故答案为：C.
【分析】先根据三角形内角和定理求出第一个三角形中长为3的边所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得出x的值.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴是等边三角形，不是直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
解得：，则，
不能证明是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴，解得，
∴是吨角三角形，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，，
又，
∴，解得，
∴，
∴是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是等边三角形；
B、根据三角形的内角和定理计算，不能判断三角形ABC是直角三角形；
C、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是钝角三角形；
D、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是直角三角形．
7．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：A．
【分析】写出一个定理的逆定理的方法是，将定理的条件和结论互换，即可解答。
8．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵（m2-1）2+(2m)2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，且斜边为，
故本题正确答案为C．
【分析】
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，注意验证时要用最大的平方和较小的两边的平方和进行比较．
9．【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180° ∠EAB ∠ABE＝45°，
故答案为：B．
【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到EF=EH=EG，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数.
10．【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①错误，理由如下：
当时，，
由作图知，，
∴∠B=∠BCM，∠CDA=∠CED，
∴，，
∴，重合，明显不是等腰三角形；
②正确，理由如下：
过点作于点，过点作于点．
，，，
，
，
，
∵DC=DB，
∴∠B=∠BCD，
∵∠B+∠A=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=BD=5，
∴CE=CD=5，
，
，
，
，故②正确．
故答案为：C．
【分析】利用举特例的方法，假设∠B=30°，则∠A=60°，由作图过程可得MN垂直平分BC，故BD=CD=CE，由等边对等角及三角形外角性质推出∠CED=∠ADC=2∠B=60°，则点E与点A重合，此时三角形BCD明显不是等腰三角形，据此可判断①；过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，先根据勾股定理算出AB的长，再利用三角形面积公式，由等面积法求出AH的长，由等边对等角、直角三角形两锐角互余、角的构成及等角的余角相等得出∠A=∠ACD，由等角对等边得出AD=CD=BD=5，然后利用勾股定理算出EH，再利用三角形面积公式，由等面积法求出EG的长，即可判断②.
11．【答案】2x-1≤3
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为2x-1≤3.
故答案为：2x-1≤3.
【分析】“x的2倍与1的差”表示为2x-1，“不大于”就是小于等于的意思，从而即可列出不等式.
12．【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
不等式两边都乘以3得，
不等式两边都加上1得，
故答案为：<
【分析】
给不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；给不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
13．【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是等腰三角形，，
只能是顶角
故答案为：40．
【分析】由等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可得∠C只能做等腰三角形的顶角，进而根据代值计算即可.
14．【答案】3或
【知识点】勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当为斜边时，由勾股定理得：；
②当为直角边时，由勾股定理得：；
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
【分析】
由于不确定该直角三角形的斜边，因此应分类讨论，即：①当为斜边时，②当为直角边时，分别由勾股定理求出的长即可．
15．【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：分别过点P作PN⊥BD于点D、PM⊥AC于点G、PF⊥BA交BA延长线于点F.
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=∠ACD，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC＝∠ABC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC、∠PCD=∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC=∠BAC=40°，即∠BAC=80°，
∴∠CAF=180°-∠BAC＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠PAF=∠PAC=∠CAF=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由于角平分线的点的到角两边距离相等，因此可过点P分别作BA、CA、CD的垂线段PF、PM、PN，则有PF＝PN＝PM，则可利用HL证明Rt△PFA≌Rt△PMA，则∠CAP=∠CAF＝（180°-∠BAC），则由一内一外角平分线模型知∠BAC=2∠BPC＝80°即可．
16．【答案】；
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
∴，
，
当的长度变化时，保持不变，
，
，
故答案为：，．
【分析】
第1空：由等腰三角形的三线合一性知，可分别过点作于点，过点作于点，则有，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算出即可；
第2空：先利用面积公式表示出，再根据题意知即可．
17．【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系
【解析】【解答】
（1）
解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）
解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）
解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
【分析】
（1）由垂线段最短知CD（2）由三角形的三边关系知AC+BC>AB；
（3）由垂线段最短知CDCE．
（1）解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
18．【答案】（1）是直角三角形
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：，
∴，
∴，即是直角三角形；
【分析】
（1）先利用勾股定理分别求出AB2、AC2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先利用轴对称的性质分别作点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接交直线于点P，由轴对称的性质知，即两点间线段最短．
（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，即是直角三角形；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求．
19．【答案】（1）证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，利用"SSS"证明即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得出：，再由三角形内角和定理计算即可求解.
（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图：
，
∵，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴（），
（2）解：如图，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可证，又，则可依据证明；
（2）先在中利用勾股定理求得，则结合的长可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴（），
（2）如图，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
21．【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由于和都是等边三角形，则可利用手拉手全等模型证明即可；
（2）由于点在线段上，则结合已知可得，同上可利用手拉手全等模型证明即可．
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形．
22．【答案】（1）证明：四边形是长方形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：作于点，则，
，，，，
，且，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，
折痕的长为．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由长方形的对边平行可得，由折叠的性质可得，再等量代换即可；
（2）由折叠的性质知BE＝DE，又AE+DE＝9，则在Rt中利用勾股定理可求得BE＝5，则由（1）的结论知BF＝5，此时可作于点，则可得四边形ABHE是长方形，则BH＝AE＝4、EH＝AB＝3，则FH＝1，再在应用勾股定理即可．
（1）证明：四边形是长方形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：作于点，则，
，，，，
，且，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，
折痕的长为．
23．【答案】（1）①；②；③
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）
【分析】
（1）①直接利用不等式的性质判断即可；
②直接利用等式的性质判断即可；
③直接不等式的性质判断即可；
（2）①利用不等式的性质先移项，再利用整式的加减运算对左边进行化简即可判断；
②先利用整式的减法运算求两个多项式的差，再把结果与0比较大小即可．
（1）解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
24．【答案】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
应用：2．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
应用：
解：如图③，连接、过点作于，交的延长线于，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为2．
【分析】
探究：由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D分别作角两边的垂线段DE、DF，则有DF＝DE，再结合同角的补角相等可证明即可．
应用：同上，分别过点作、，垂足分别为，则可证明，则有、，再连接，则可证明，所以有，则，再结合可利用勾股定理求得即可．
1 / 1浙江省杭州市萧山区高桥教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2024八上·萧山期中）下面所给的交通标志中，轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项中的交通标志是轴对称图形，B、C、D选项中的交通标志不是轴对称图形.故答案为：A．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
2．（2024八上·萧山期中）在下列长度的四根木棒中，能与、长的两根木棒钉成一个三角形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形第三边长为cm，则
得
当时，能与、长的两根木棒钉成一个三角形.
故答案为：C.
【分析】首先由“ 三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边 ”建立不等式组求出第三边的取值范围，即可逐一判断得出答案.
3．（2024八上·萧山期中）已知实数，若，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、不等式的两边同减去一个数，不等号的方向不变，若，则正确，∴A不符题意；
B、不等式的两边同加上一个数，不等号的方向不变，若，则正确，∴B不符题意；
C、不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变，若，则，原结论错误，∴C符合题意；
D、不等式的两边同除以一个正数，不等号的方向不变，若，则正确，∴D不符题意；
故答案为：C．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
4．（2024八上·萧山期中）等腰三角形的周长为17cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为( )
A．7cm B．5cm或7cm C．6cm或5cm D．5cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是(17-5)÷2=6（cm），∵5+6>6，∴能够组成三角形；
当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是17-5×2=7（cm），∵5+5>7，∴能够组成三角形．
故该等腰三角形的底边长为：5cm或7cm．
故选：B．
【分析】
由于等腰三角形的两腰相等，因此可先分类讨论，即腰为5或底边为5时分别进行计算，最后再利用三角形三边关系进行验证即可．
5．（2024八上·萧山期中）如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：由三角形内角和为，
可求第一个三角形中边长为的边所对的角为，
由全等三角形对应角相等可知.
故答案为：C.
【分析】先根据三角形内角和定理求出第一个三角形中长为3的边所对的角的度数，再根据全等三角形对应角相等即可得出x的值.
6．（2024八上·萧山期中）下列条件中，能构成直角的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；直角三角形的概念
【解析】【解答】解：A、∵，，
∴，
∴是等边三角形，不是直角三角形，此选项不符合题意；
B、∵，，
∴，
解得：，则，
不能证明是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵，，
∴，解得，
∴是吨角三角形，不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，
∴，，
又，
∴，解得，
∴，
∴是直角三角形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是等边三角形；
B、根据三角形的内角和定理计算，不能判断三角形ABC是直角三角形；
C、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是钝角三角形；
D、根据三角形内角和定理可得三角形ABC是直角三角形．
7．（2024八上·萧山期中）定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是（　　）
A．有两个角相等的三角形是等腰三角形.
B．有两个底角相等的三角形是等腰三角形.
C．有两个角不相等的三角形不是等腰三角形.
D．不是等腰三角形的两个角不相等.
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；真命题与假命题
【解析】【解答】定理“等腰三角形的两个底角相等”的逆定理是有两个角相等的三角形是等腰三角形.
故答案为：A．
【分析】写出一个定理的逆定理的方法是，将定理的条件和结论互换，即可解答。
8．（2024八上·萧山期中）如果△ABC的三边分别为，，，其中为大于1的正整数，则（ ）
A．△ABC是直角三角形，且斜边为
B．△ABC是直角三角形，且斜边为
C．△ABC是直角三角形，且斜边为
D．△ABC不是直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：∵（m2-1）2+(2m)2=m4+2m2+1=(m2+1)2，
根据勾股定理的逆定理可知，该三角形为直角三角形，且斜边为，
故本题正确答案为C．
【分析】
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边a，b，c满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形，注意验证时要用最大的平方和较小的两边的平方和进行比较．
9．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，，的平分线与的外角的平分线交于E点，连接AE，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的性质；角平分线的判定
【解析】【解答】解：作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，
∵CE平分∠ACB，BE平分∠ABD，
∴EF＝EH，EG＝EH，
∴EF＝EF，又EF⊥AC，EG⊥AB，
∴AE平分∠FAG，
∵∠CAB＝30°，
∴∠BAF＝150°，
∴∠EAB＝75°，
∵∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABH＝120°，又BE平分∠ABD，
∴∠ABE＝60°，
∴∠AEB＝180° ∠EAB ∠ABE＝45°，
故答案为：B．
【分析】作EF⊥AC交CA的延长线于F，EG⊥AB于G，EH⊥BC交CB的延长线于H，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到EF=EH=EG，进而根据到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上得出AE平分∠FAG，求出∠EAB的度数，根据角平分线的定义求出∠ABE的度数.
10．（2024八上·萧山期中）如图，在中，，按下列步骤作图：
①分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作直线交于点；
②以为圆心，长为半径画弧交于点．
方方探究得到以下两个结论：
①是等腰三角形；②若，则点到的距离为，则（　　）
A．结论①正确，结论②正确 B．结论①正确，结论②错误
C．结论①错误，结论②正确 D．结论①错误，结论②错误
【答案】C
【知识点】三角形的面积；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【解答】解：①错误，理由如下：
当时，，
由作图知，，
∴∠B=∠BCM，∠CDA=∠CED，
∴，，
∴，重合，明显不是等腰三角形；
②正确，理由如下：
过点作于点，过点作于点．
，，，
，
，
，
∵DC=DB，
∴∠B=∠BCD，
∵∠B+∠A=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠A=∠ACD，
∴AD=CD=BD=5，
∴CE=CD=5，
，
，
，
，故②正确．
故答案为：C．
【分析】利用举特例的方法，假设∠B=30°，则∠A=60°，由作图过程可得MN垂直平分BC，故BD=CD=CE，由等边对等角及三角形外角性质推出∠CED=∠ADC=2∠B=60°，则点E与点A重合，此时三角形BCD明显不是等腰三角形，据此可判断①；过点C作CH⊥AB于点H，过点E作EG⊥AC于点G，先根据勾股定理算出AB的长，再利用三角形面积公式，由等面积法求出AH的长，由等边对等角、直角三角形两锐角互余、角的构成及等角的余角相等得出∠A=∠ACD，由等角对等边得出AD=CD=BD=5，然后利用勾股定理算出EH，再利用三角形面积公式，由等面积法求出EG的长，即可判断②.
11．（2024八上·萧山期中）“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为　 　.
【答案】2x-1≤3
【知识点】列不等式
【解析】【解答】解：“x的2倍与1的差不大于3”用不等式表示为2x-1≤3.
故答案为：2x-1≤3.
【分析】“x的2倍与1的差”表示为2x-1，“不大于”就是小于等于的意思，从而即可列出不等式.
12．（2024八上·萧山期中）若，则　 　．（填“<”或“>”）
【答案】<
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
不等式两边都乘以3得，
不等式两边都加上1得，
故答案为：<
【分析】
给不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；给不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
13．（2024八上·萧山期中）是等腰三角形，，则　 　°．
【答案】40
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：是等腰三角形，，
只能是顶角
故答案为：40．
【分析】由等腰三角形两底角相等及三角形内角和定理可得∠C只能做等腰三角形的顶角，进而根据代值计算即可.
14．（2024八上·萧山期中）在中，，，则　 　．
【答案】3或
【知识点】勾股定理；分类讨论
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当为斜边时，由勾股定理得：；
②当为直角边时，由勾股定理得：；
综上所述，的长为3或，
故答案为：3或．
【分析】
由于不确定该直角三角形的斜边，因此应分类讨论，即：①当为斜边时，②当为直角边时，分别由勾股定理求出的长即可．
15．（2024八上·萧山期中）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=　 　．
【答案】50°
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：分别过点P作PN⊥BD于点D、PM⊥AC于点G、PF⊥BA交BA延长线于点F.
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=∠ACD，PM=PN，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC＝∠ABC，PF=PN，
∴PF=PM，
∵∠ACD=∠ABC+∠BAC、∠PCD=∠PBC+∠BPC，
∴∠BPC=∠BAC=40°，即∠BAC=80°，
∴∠CAF=180°-∠BAC＝100°，
在Rt△PFA和Rt△PMA中，PA=PA，PF=PM，
∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），
∴∠PAF=∠PAC=∠CAF=50°．
故答案为：50°．
【分析】
由于角平分线的点的到角两边距离相等，因此可过点P分别作BA、CA、CD的垂线段PF、PM、PN，则有PF＝PN＝PM，则可利用HL证明Rt△PFA≌Rt△PMA，则∠CAP=∠CAF＝（180°-∠BAC），则由一内一外角平分线模型知∠BAC=2∠BPC＝80°即可．
16．（2024八上·萧山期中）如图，A，B，C，D四个点顺次在直线l上，，．以为底向下作等腰直角三角形，以为底向上作等腰三角形，且．当时，和的面积和是　 　．连结，，当的长度变化时，与的面积之差保持不变，则a与b需满足的条件是　 　．
【答案】；
【知识点】整式的混合运算；三角形的面积；勾股定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
是等腰直角三角形，且，
，
是等腰三角形，且，
，
，
，
∴，
，
当的长度变化时，保持不变，
，
，
故答案为：，．
【分析】
第1空：由等腰三角形的三线合一性知，可分别过点作于点，过点作于点，则有，，再利用勾股定理求出，然后根据三角形面积公式计算出即可；
第2空：先利用面积公式表示出，再根据题意知即可．
17．（2024八上·萧山期中）如图，在中，是斜边上的高线．
（1）　　．（填或）
（2）　　．（填或）
（3）若点是线段上的一个动点，连结，则　　（填或）
【答案】（1）
（2）
（3）
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形三边关系
【解析】【解答】
（1）
解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）
解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）
解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
【分析】
（1）由垂线段最短知CD（2）由三角形的三边关系知AC+BC>AB；
（3）由垂线段最短知CDCE．
（1）解：是斜边上的高线，
，
．
故答案为：；
（2）解：由三角形的三边关系得：．
故答案为：；
（3）解：由（1）知，，
点是线段上的一个动点，
．
故答案为：．
18．（2024八上·萧山期中）如图，在边长为1的小正方形所组成的网格上，每个小正方形的顶点都称为“格点”，的顶点都在格点上．
（1）直接判断的形状，
（2）画出关于直线的对称图形．
（3）在直线上作一点P，使得最小
【答案】（1）是直角三角形
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】
（1）
解：根据题意得：，
∴，
∴，即是直角三角形；
【分析】
（1）先利用勾股定理分别求出AB2、AC2、BC2的值，再利用勾股定理的逆定理判断即可；
（2）先利用轴对称的性质分别作点A，B，C关于直线的对称点，再顺次连接即可；
（3）连接交直线于点P，由轴对称的性质知，即两点间线段最短．
（1）解：根据题意得：，
∴，
∴，即是直角三角形；
（2）解：如图，即为所求；
（3）解：如图，连接交直线于点P，则点P即为所求．
19．（2024八上·萧山期中）如图，已知B、E、C、F在同一条直线上，，，，与交于点G．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：∵，∴，即，
在和中，
，
∴.
（2）解：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）根据题意得到：，利用"SSS"证明即可求证；
（2）根据全等三角形的性质得出：，再由三角形内角和定理计算即可求解.
（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，
，
∴；
（2）解：如图：
，
∵，
∴，
∴．
20．（2024八上·萧山期中）如图，点在上，且，，．
（1）求证：．
（2）连结，若，，，求的长度
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴（），
（2）解：如图，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可证，又，则可依据证明；
（2）先在中利用勾股定理求得，则结合的长可得，再在中应用勾股定理即可．
（1）证明：∵，
∴，
∴，
在与中，
，
∴（），
（2）如图，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴．
21．（2024八上·萧山期中）如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连结．求证：
（1）；
（2）为等边三角形．
【答案】（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：，
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形．
【知识点】等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】
（1）由于和都是等边三角形，则可利用手拉手全等模型证明即可；
（2）由于点在线段上，则结合已知可得，同上可利用手拉手全等模型证明即可．
（1）证明：和都是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
（2），
，
又，
，
，
在和中，
，，，
，
，，
又，
为等边三角形．
22．（2024八上·萧山期中）如图，长方形纸片的长，宽，将它折叠，使点与点重合．（注：该长方形的性质：两组对边平行且相等，每个内角都是
（1）求证：是等腰三角形；
（2）求折痕的长．
【答案】（1）证明：四边形是长方形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：作于点，则，
，，，，
，且，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，
折痕的长为．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】
（1）由长方形的对边平行可得，由折叠的性质可得，再等量代换即可；
（2）由折叠的性质知BE＝DE，又AE+DE＝9，则在Rt中利用勾股定理可求得BE＝5，则由（1）的结论知BF＝5，此时可作于点，则可得四边形ABHE是长方形，则BH＝AE＝4、EH＝AB＝3，则FH＝1，再在应用勾股定理即可．
（1）证明：四边形是长方形，
，
，
由折叠得，
，
，
是等腰三角形．
（2）解：作于点，则，
，，，，
，且，
，
解得，
，，
，，
，，
，
，
折痕的长为．
23．（2024八上·萧山期中）根据等式和不等式的性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
（1）①如果，那么　　；
②如果，那么　　；
③如果，那么　　．
（2）如（1）中这种比较大小的方法称为“求差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下面的问题：
①若，比较，的大小；
②比较与的大小．
【答案】（1）①；②；③
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
【知识点】整式的加减运算；完全平方公式及运用；因式分解的应用；不等式的性质
【解析】【解答】
（1）
解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）
【分析】
（1）①直接利用不等式的性质判断即可；
②直接利用等式的性质判断即可；
③直接不等式的性质判断即可；
（2）①利用不等式的性质先移项，再利用整式的加减运算对左边进行化简即可判断；
②先利用整式的减法运算求两个多项式的差，再把结果与0比较大小即可．
（1）解：①，
，
，
故答案为：；
②，
，
，
故答案为：；
③，
，
，
故答案为：；
（2）解：①，
，
，
，
，
；
②
，
．
24．（2024八上·萧山期中）感知：如图①，平分，，，易知：.
探究：如图②，平分，，，求证：．
应用：如图③，四边形中，，，，则_______．
【答案】探究：证明：如图②中，于，交的延长线于，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴．
应用：2．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】
应用：
解：如图③，连接、过点作于，交的延长线于，
∵，，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，，，
∴，
∴．
故答案为2．
【分析】
探究：由于角平分线上的点到角两边距离相等，则可过点D分别作角两边的垂线段DE、DF，则有DF＝DE，再结合同角的补角相等可证明即可．
应用：同上，分别过点作、，垂足分别为，则可证明，则有、，再连接，则可证明，所以有，则，再结合可利用勾股定理求得即可．
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