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九年级上学期9月月考数学
注意事项：
1．本试卷共 6 页，三大题，满分 120 分，测试时间 100 分钟．
2．请用蓝、黑色钢笔或圆珠笔写在试卷或答题卡上．
3．答卷前请将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（　　）
A．B． C． D．
2．抛物线y＝x2+x﹣6与x轴交点的横坐标是（　　）
A．2，﹣3 B．﹣2，3 C．2，3 D．﹣2，﹣3
3．在 ABCD中，对角线AC，BD的长是关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0的两个根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣1且k≠0 B．﹣1≤k＜0 C．k≤﹣1 D．﹣1＜k＜0
4．如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（　　）
A．50° B．60° C．70° D．80°
5．已知函数是关于x的二次函数，则满足条件的m的值为（　　）
A．±2 B．0 C．﹣2 D．2
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n …
且当x＝﹣0.5时，其对应的函数值y＞1．有下列结论：①ac＜0；②b2﹣4ac＞0；③﹣2和4是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根；④当0＜x＜1时，y＜﹣2；⑤m+n＞2，其中正确的结论的个数是（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣1＝0 B． C．x2﹣6x+8＝0 D．x3+1＝0
8．将一元二次方程5x2﹣4x＝1化成一般形式后（二次项系数为正），二次项系数和一次项系数分别是（　　）
A．5、﹣1 B．5、﹣4 C．5、1 D．5、4
9．纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶，反映出不同时期的风俗习惯，早已融入我们的生活．下面纹样的示意图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（　　）
A．如意纹 B．冰裂纹
C．盘长纹 D．风车纹
10．下列函数中，属于二次函数的是（　　）
A．y＝5x﹣1 B．y＝2x2+2x C． D．
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转50°后得到△COD，若∠AOB＝20°，则∠AOD的度数是　 　 ．
12．抛物线y＝x2﹣x+2与y轴的交点坐标是　 　 ．
13．如图，琪琪的爸爸用一段12m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长6.5m）的矩形鸡舍ABCD，其面积为21m2．在鸡舍的AB边中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC长为　 　 m．
14．已知抛物线y＝﹣2（x+5）2﹣3，当x＞1时，y随x的增大而　 　 （填“增大”或“减小”）．
15．已知点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）都在二次函数y＝mx2﹣2mx+n（m＞0）的图象上，那么y1，y2，y3的大小关系是　 　 （请用“＜”连接）．
三、解答题（共 8 题，共 75 分）
16．解下列方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）（x﹣1）（x+2）＝4．
17．定义：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“黄金方程”．
（1）下列方程中：①x2＝1；②（x﹣1）（x+2）＝0；③x2﹣2x﹣3＝0，是黄金方程的为　 　 （填序号）．
（2）已知3x2﹣ax+b＝0是关于x的黄金方程，若x＝a是此黄金方程的一个根，求a的值．
（3）已知关于x的一元二次方程2x2+bx+c＝0（c≠0）是“黄金方程”，求代数式b2﹣2c+1的最小值．
18．2025年9月21日早晨7：30，太原国际马拉松赛于五一广场前正式启幕．来自全球的跑者齐聚汾河两岸，以奔跑的姿态穿越这座历史悠久而又充满现代活力的城市．据统计，全程马拉松比赛的报名选手从2023年的7500人增加到2025年的14700人．
（1）求全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率；
（2）某直播间以本次比赛的完赛包为参考，在比赛结束前以每套224元的原价，打包售卖运动能量包，平均每日卖出30套．比赛结束后，该直播间进行降价促销，平均每套每降低8元，每日可多卖出5套，每日最多可打包70套，已知平均每日收到货款为10920元，则每套降价多少元？
19．已知一个二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表所示：
x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 …
y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 …
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）当﹣3＜x＜0时，直接写出y的取值范围 　 　 ；
（3）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值都小于二次函数y＝ax2+bx+c的值，直接写出n的取值范围 　 　 ．
20．如图1，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，顶点为D点，E为第三象限内抛物线上一点，且∠OCE＝∠OAD．
（1）直接写出A、B、C三点的坐标：A　 　 ；B　 　 ；C　 　 ；
（2）求点E的坐标；
（3）如图2，平面内，直线AB经过A（﹣2，8）、B（1，2），在抛物线y＝2x2﹣4有一动点N，记△ABN的面积为S，若点N符合条件的位置有且只有3个，求S的值．
21．已知抛物线Ly＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）经过点A（﹣1，1）．
（1）若抛物线L的对称轴为直线，求b，c的值．
（2）若抛物线L还经过另一点B（m，1），且0＜m＜1，
①求b的取值范围；
②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）均在抛物线L上．当x1＞x2，且时，y1＜y2.求m的最大值．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标为A（﹣3，4），B（﹣4，2），C（﹣2，1），绕原点逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．
（1）画出△A1B1C1，并写出A的对应点为A1的坐标　 　 ．
（2）P（a，b）是△ABC的边AC上一点，△ABC经旋转后点P的对应点P1的坐标是　 　 ．
23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标．
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
（3）探究在抛物线上是否存在点M，使得△AMB的面积等于3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
1．D．2．A．3．B．4．A．5．C．6．C．7．C．8．B．9．D．
10．B．11．30°．12．（0，2）．13．6．14．减小．15．y2＜y3＜y1．
16．（1）；（2）x1＝2，x2＝﹣3．
17．（1）①③；（2）a＝﹣1或；（3）4．
18．（1）全程马拉松比赛的报名人数的年均增长率为40%；
（2）每套降价56元．
19．（1）y＝x2+2x﹣3；
（2）﹣4≤y＜0；
（3）n≤﹣1．
20．（1）（﹣3，0），（1，0），（0，﹣3）；
（2）；
（3）．
21．（1），，
（2）①﹣1＜b＜0；②．
22．（1）如图，△A1B1C1即为所求，A1（﹣4，﹣3）；
（2）P1（﹣b，a）．
23．（1）m＝2，抛物线的顶点坐标为（1，4）；
（2）（1，2）；
（3）在抛物线上存在点M，使得△AMB的面积等于3，点M的坐标为或或或．

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