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第三章 函数 3.4
函数的应用
中职高教（2021）数学基础模块上册（修订版）
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第一部分
PART 01
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函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具,c在社会生活、 生产中,函数关系随处可见,函数的应用也非常广泛.例如,物体运动的路程 是时间的函数, 购买物品付费是数量的函数,圆的面积是半径的函数,居民生活用水(电、燃气)付费是用水(电、燃气)量的函数等.
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第二部分
PART 02
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要给一个水箱匀速注水，注满为止．已知水箱的容积为160 ，注水前水箱里有水20 ，当注水30min后，水箱有80 水，若水量是注水时间的一次函数，试写出这个函数的解析式．
解 根据题意，水量是注水时间的一次函数，设解析式为．
因为时，；时，，代入解析式得
一次函数模型
又因为≤160，即≤160，得≤70．
所以水量与进水时间的函数为．
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我国是世界上高速铁路系统技术最全、集成能力最强、运营里程最长、运行速度最高、在建规模最大的国家．近年来，我国高铁飞速发展．条条高铁悄然改变着人们的生活，已成为人们出行的快捷方式之一．开通某条高铁线路前，需要进行安全、平稳测试．
分段函数模型
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典例2 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中是车速，是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式．
分析 这是一个涉及分段函数的实际应用问题．不同的时间段，列车行驶的速度不同，需要根据时间进行分段讨论．
例题讲解
典例2 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中是车速，是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式．
解 由题意知：的取值范围为0≤≤120．
在0≤≤5，5＜＜110，110≤≤120三个区间有不同的运动状态．
例题讲解
典例2 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中是车速，是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式．
当0≤≤5时，图像是过原点的一条线段，令，因点（5，300）在线段上，所以有， 得，因此．
例题讲解
典例2 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中是车速，是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式．
当110≤≤120时，图像是过点（110，300）和点（120，0）的一条线段，
设，得
解得．
因此．
例题讲解
典例2 如图所示是某高速列车一次测试中从静止到行驶再到停车的示意图，其中是车速，是行车时间．试写出车速与行车时间的函数解析式．
故该列车车速与行车时间之间的的函数解析式为
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现有12长的钢材，要制作一个矩形窗框（如图所示）．
二次函数模型
分析 这是一个有关二次函数的实际应用问题．通过矩形面积公式可得所求函数关系式．利用二次函数模型可求得窗框所围成的最大面积．
（1）求窗框所围成的面积 与窗框宽之间的函数解析式；
（2）当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？
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典例3 现有12长的钢材，要制作一个矩形窗框（如图所示）．
（1）求窗框所围成的面积 与窗框宽之间的函数解析式；（2）当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？
解 （1）设窗框的宽为，由题意知，钢材总长为12，则窗框的长为．
窗框所围成的面积与窗框的宽的解析式为
例题讲解
典例3 现有12长的钢材，要制作一个矩形窗框（如图所示）．
（1）求窗框所围成的面积 与窗框宽之间的函数解析式；（2）当窗框宽为何值时，窗框所围成的面积最大？最大值为多少？
（2）在二次函数中，，所以
．
故当窗框宽为3时，窗框所围成的面积最大，最大值为9．
例题讲解
(4) 利用函数知识求解(通常是最值问题)；
解函数应用题的一般步骤：
(1) 设未知数(确定自变量和函数)；
(2) 找等量关系，列出函数关系式；
(3) 化简，整理成标准形式(一次函数、二次函数等)；
(5) 写出结论．
例题讲解
试画出一次函数模型和二次函数模型例题中的函数图像．这两个图像有什么特点？
探究与发现
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温馨提示
当应用函数模型求解问题时，应根据实际情况考虑函数的定义域，特别是求函数的最大（小）值时，要考虑自变量是否有取整的需要．
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1．已知正方形的边长是3，若边长增加，则面积增加，则与的函数关系式为（ ）
A． B．
C． D．
2．某工厂从2015年开始，近八年以来生产某种产品，前四年年产量的增加速度越来越慢，后四年年产量的增加速度保持不变，则该厂这种产品的年产量y与时间t的函数图像可能是（ ）
3．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则 .
4.若函数且在上的最小值与最大值的和为3，则函数在上的最大值是 .
5．某商场购进一种单价为90元的新商品，试销时发现销售单价x（元）与一天的销售量y（件）之间呈一次函数关系，如图所示，求y与x之间的函数解析式.
6．一座隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为，宽为，隧道最高点位于的中央且距地面，建立如图所示的坐标系：
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高，宽，能否从该隧道内通过，为什么？（请通过计算得出结论）
、

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