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专题7 函数的概念及其表示
基础练
1．函数f(x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　 )
A．(－2，1) B．(－3，1)
C．(1，2) D．(1，3)
解析：选A.由题意可得解得－22．(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　 )
A．4 B．6
C．7 D．8
解析：选D.法一　∵f(x＋2)＝(x2＋4x＋4)－7(x＋2)＋14＝(x＋2)2－7(x＋2)＋14，
∴f(x)＝x2－7x＋14，故f(1)＝1－7＋14＝8.
法二　由x＋2＝1，得x＝－1，
代入f(x＋2)＝x2－3x＋4，
得f(1)＝(－1)2－3×(－1)＋4＝8.
3．已知函数f(x)＝则f(2 024)＝(　　 )
A．－1 B．0
C． D．1
解析：选D.由题意知f(2 024)＝f(2)＝＝f(3)＝f(1)＝＝sin ＝1.
4．已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　　 )
A．－1 B．－3
C．－5 D．－7
解析：选D.由题意知，当m≤1时，f(m)＝2m＋1－8＝－12，得2m＋1＝－4，又2m＋1>0，所以方程无解；
当m>1时，f(m)＝4＝－12，
得＝－3，即m＋1＝8，解得m＝7，
所以f(6－m)＝f(－1)＝2－1＋1－8＝－7.
5．(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则函数y＝f(t)的大致图象是(　　 )
解析：选A.依题意，当0从而可以求得f(t)＝，
当1可求得f(t)＝，
所以f(t)＝
从而可知选项A的图象满足题意．
6．已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解集是(　　 )
A．(－∞，2) B．(－∞，3)
C．[0，3) D．(3，＋∞)
解析：选B.当x<0时，不等式f(x)<2可化为－x2－2x<2，所以x2＋2x＋2>0，可得x<0；
当x≥0时，不等式f(x)<2可化为log2(x＋1)<2，
所以x＋1<4，且x＋1>0，所以0≤x<3，
所以不等式f(x)<2的解集是(－∞，3).
7．(多选)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　 )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
解析：选ABD.若f(x)＝|x|，则f(18x)＝|18x|＝18|x|＝18f(x)；若f(x)＝x－|x|，则f(18x)＝18x－|18x|＝18(x－|x|)＝18f(x)；若f(x)＝x＋2，则f(18x)＝18x＋2，而18f(x)＝18x＋18×2，故f(x)＝x＋2不满足f(18x)＝18f(x)；若f(x)＝－2x，则f(18x)＝－2×18x＝18×(－2x)＝18f(x).
8．(多选)(2024·长沙调考)下列说法中正确的是(　　 )
A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝1
D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数
解析：选BCD.对于A，y＝，有解集为 ，不能表示自变量为x，因变量为y的函数，故A错误；
对于B，当函数y＝f(x)在x＝1处无定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1无交点，当函数y＝f(x)在x＝1处有定义时，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1只有1个交点，所以函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个，故B正确；
对于C，因为f(x)＝|x－1|－|x|，则＝0，故＝f(0)＝1，故C正确；
对于D，函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t的定义域均为R，且对应关系相同，故f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数，故D正确．
9．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________．
解析：由条件可知，函数的定义域需满足解得－1≤x≤0，所以函数g(x)的定义域是[－1，0].
答案：[－1，0]
10．已知函数f(x)＝则f(x)解析：当x≤0时，x＋1≤1，f(x)当01，此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，所以0当x>1时，f(x)答案：
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11．(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　 )
A．－1 B．1
C．－ D．
解析：选B.∵定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1　①，
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2　②，
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
12．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　 )
A．2 B． C．1 D．0
解析：选B.作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，则f(a)＝.
13． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1，1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　 )
A．(－2，2) B．(－2，0)∪(0，2)
C．[－2，2] D．(－，)
解析：选B.当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
所以M(x)＝
若M(n)<1，则当－1当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2综上，－214．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．
解析：若函数f(x)的定义域为R，
则有m>0且Δ＝(m－2)2－4m(m－1)≤0，
解得m≥，
所以m的取值范围是[，＋∞).
当m＝0时，f(x)＝＝，值域是[0，＋∞)，满足条件；
令g(x)＝mx2－(m－2)x＋m－1，g(x)≥0，
当m＜0时，g(x)的图象开口向下，故f(x)的值域不会是[0，＋∞)，不满足条件；
当m＞0时，g(x)的图象开口向上，
只需mx2－(m－2)x＋m－1＝0中的Δ≥0，
即(m－2)2－4m(m－1)≥0，解得－≤m≤，
又m>0，所以0综上，0≤m≤，
所以实数m的取值范围是.
答案：　
15．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求，，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．
解：(1)∵＞1，∴＝－2×＋8＝5.
∵0＜＜1，∴＝＋5＝.
∵－1＜0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)此分段函数的图象如图所示．
在函数y＝3x＋5的图象上截取x≤0的部分，
在函数y＝x＋5的图象上截取0＜x≤1的部分，
在函数y＝－2x＋8的图象上截取x＞1的部分．
图中实线组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．
(3)由函数图象可知，当x＝1时，f(x)取最大值6.专题7 函数的概念及其表示
基础练
1．函数f(x)＝＋ln (1－x)的定义域是(　　 )
A．(－2，1) B．(－3，1)
C．(1，2) D．(1，3)
2．(2024·重庆调研)已知函数f(x＋2)＝x2－3x＋4，则f(1)＝(　　 )
A．4 B．6
C．7 D．8
3．已知函数f(x)＝则f(2 024)＝(　　 )
A．－1 B．0
C． D．1
4．已知函数f(x)＝且f(m)＝－12，则f(6－m)＝(　　 )
A．－1 B．－3
C．－5 D．－7
5．(2024·广东佛山二模)如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x＝t(0≤t≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则函数y＝f(t)的大致图象是(　　 )
6．已知f(x)＝则不等式f(x)<2的解集是(　　 )
A．(－∞，2) B．(－∞，3)
C．[0，3) D．(3，＋∞)
7．(多选)下列函数中，满足f(18x)＝18f(x)的是(　　 )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋2 D．f(x)＝－2x
8．(多选)(2024·长沙调考)下列说法中正确的是(　　 )
A．式子y＝可表示自变量为x、因变量为y的函数
B．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的交点最多有1个
C．若f(x)＝|x－1|－|x|，则＝1
D．f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数
9．已知函数f(x)的定义域为[－2，2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为________．
10．已知函数f(x)＝则f(x)提高练
11．(2024·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　 )
A．－1 B．1
C．－ D．
12．(2024·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　 )
A．2 B． C．1 D．0
13． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1，1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　 )
A．(－2，2) B．(－2，0)∪(0，2)
C．[－2，2] D．(－，)
14．已知函数f(x)＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________，若函数f(x)的值域是[0，＋∞)，则实数m的取值范围是________．
15．已知函数f(x)的解析式为f(x)＝
(1)求，，f(－1)的值；
(2)画出这个函数的图象；
(3)求f(x)的最大值．

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