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函数的基本性质专题训练
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
（25-26合肥·阶段练习）如图为函数的图象，则的图象是（ ）
B．
C． D．
已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（24-25四川·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（ ）
A．1 B． C． D．
已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
已知函数满足，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为增函数
C．
D．若，当时，有解，则取值范围是
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 ．
（2025全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
（25-26武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 .
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
设函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
（24-25天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算.
定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数.
(1)求的值；
(2)证明：函数是偶函数；
(3)解不等式.
（24-25广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．
(1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值；
(2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．
(3)运用第（2）问的结论，求的值，其中．函数的基本性质专题训练
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C B D A D A ABC BC ABD
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】D 由函数的图象可知，单调递增区间是，
又由图知，而，所以A不正确，
下列函数是偶函数，且在区间上为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】B A选项，是奇函数，不符合题意.
B选项，是偶函数，且在区间上为减函数，符合题意.
C选项，是奇函数，不符合题意.
D选项，是偶函数，在区间上为增函数，不符合题意.
函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【解析】C 由二次函数图象的对称轴方程为，且开口向下，
可知该函数的单调递减区间是.
已知是定义在R上的奇函数，当时，则的值为（ ）
A．2 B． C．6 D．
【解析】B 由于是定义在R上的奇函数，则，
由于当时，则，
所以.
（25-26合肥·阶段练习）如图为函数的图象，则的图象是（ ）
B．
C． D．
【解析】D 当时，，由原图可得，
所以的图象经过点，结合选项可排除A,B,C.
已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】A 由题意，在上单调递减，即在和上单调递减，且，
则，解得.

已知函数的定义域为，且在上单调递减，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【解析】D 由函数的定义域为，得函数的图象关于直线对称，
又函数在上单调递减，则不等式，
即，解得，所以所求不等式的解集为.
已知函数的定义域均为，且的图象关于直线对称，则以下说法不正确的是（ ）
A．和均为奇函数 B．
C． D．
【解析】A 对于B，由，得，
又，，
的图象关于直线对称，，
，
，则是周期函数，且周期为，
所以，故B正确；
对于A，的图象关于直线对称，
是偶函数，
若为奇函数，则恒成立，不满足，故A错误；
对于C，由，得，
，
因为，则，
所以是周期函数，且周期为，则，故C正确；
对于D，由，得，
又，
由，得，故D正确.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
（24-25四川·期中）若不等式对于一切恒成立，则的值可能是（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】ABC 将不等式转化为, 令，
则在取最小值，在单调递减，所以在时，单调递减，
即单调递增，所以最大值为，所以.
已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的为（ ）
A． B． C． D．
【解析】BC 由图象反映的函数定义域得，，
，B正确；
，所以，所以，A错，从而，C正确，
又，因此，D错，
已知函数满足，当时，．则下列说法正确的是（ ）
A．
B．为增函数
C．
D．若，当时，有解，则取值范围是
【解析】ABD A选项，中得
，解得，
中得
，故，A正确；
B选项，当时，，
中，令，且得
，
因为，所以，故，
所以，
所以为增函数，B正确；
C选项，中，
，
，
故， C错误；
D选项，两边加1得，
因为，所以，
当时，有解，
即时，有解，
由B知，在R上单调递增，故，在上有解，
在上有解，其中，
，故当，即时，取得最大值，最大值为，
所以，则取值范围是，D正确．
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知是定义在上且周期为2的奇函数，当时，，则 ．
【解析】
.
（2025全国·专题练习）设函数，若，则实数的取值范围是 ．
【解析】函数的定义域为，，
作出函数的图象如下图所示：

由图可知，在上是增函数．
又因为，所以，即，解得，
所以实数的取值范围是．
（25-26武汉·阶段练习）已知，，若对任意的，总存在，使成立，则实数的取值范围是 .
【解析】，函数的对称轴为：，
对任意的，则.记；
由题意，知时不成立，
当时，，在上是增函数，
，记.
由题意，知，
，解得.
当时，，在上是减函数，
，记.
由题意，知
，解得.
综上所述，.
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
设函数，且.
(1)求的值；
(2)用定义证明在上单调递增.
【解析】（1）由题意得，解得.
（2）由（1）知，
任取，，且，有
因为，所以，，，
所以，即，
所以在上单调递增.
（24-25天津·期中）定义在上的函数为奇函数，且当时，.
(1)求和的值；
(2)求函数的解析式；
(3)作的图象，并写出单调区间和值域（直接写出单调区间和值域）.
【解析】（1）由题设，；
（2）若，则，故，
由在上的函数为奇函数，则，且时，，
所以；
（3）
由图知，的单调增区间为，单调减区间为，且值域为R.
设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有．当时，．
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)计算
【解析】（1）∵对任意实数，恒有，
∴，
∴函数是周期为4的周期函数.
（2）∵，∴.
当时，，
此时.
（3）当时，；当时，.
∴，
∴，又函数的一个周期为4，
∴
.
定义在非零实数集上的函数满足且是区间上的递增函数.
(1)求的值；
(2)证明：函数是偶函数；
(3)解不等式.
【解析】（1）令，则 ,
令，则,
.
（2）令，则
，
∴为定义域上的偶函数.
（3）据题意可知，函数图象大致如下：
，
或，
或
所以原不等式的解集为或
（24-25广州·期末）若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心．
(1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值；
(2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由．
(3)运用第（2）问的结论，求的值，其中．
【解析】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得，
则，，，
当时，，，
，
，.
（2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立.
，
根据中心对称定义有，
整理得：，
为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零：
，解得：
是中心对称图形，且对称中心是.
（3）由（2）知，；，
经检验，时，一致；时，一致，
所以.

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