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江苏省镇江市丹徒区高资中学集团五校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题
一、单选题
1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ）
A． B． C． D．
2．若为方程的解，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．下列说法正确的是（ ）
A．过圆心的直线是圆的直径 B．直径是弦，弦是直径
C．半圆是轴对称图形 D．长度相等的两条弧是等弧
4．已知的半径为，点P到圆心O的距离为，则点P（ ）
A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定
5．如图，是的直径，，点C是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
6．关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　）
A． B．且 C．且 D．
7．若是关于的方程的一个根，则关于的方程必有一个根为（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2027
8．我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图面积是的大正方形．同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下列四个构图中，能正确说明方程解法的构图是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，半径为的圆心的坐标为，点是上任意一点，，与轴分别交于，两点，且，若点，点关于原点对称，则的最大值为（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知2是方程的一个根，则另一个根为 ．
12．如图，的弦、半径延长交于点，，若，则 ．
13．如果恰好只有一个实数 a 是方程（k2﹣9）x2﹣2（k+1）x+1＝0 的根，则 k 的值 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是 ．=
15．如图，的半径为，，则弦的长为 ．
16．在△ABC中，若O为BC边的中点，则必有：AB2＋AC2＝2AO2＋2BO2成立．依据以上结论，解决如下问题：如图，在矩形DEFG中，已知DE＝4，EF＝3，点P在以DE为直径的半圆上运动，则的最小值为 ．
三、解答题
17．解方程：
(1)；
(2)．
18．关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
19．如图，在中，是直径，且交圆于，求证：．
20．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同.
(1)求每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
21．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？

22．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE∶CD=5∶24
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4 m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？
23．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：
(1)经过6秒后，BP=_________cm，BQ=_______cm；
(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？
(3)经过几秒△BPQ的面积等于10cm2？

24．阅读下列材料：在苏科版九年级数学上册第页，我们把就叫做一元二次方程根的判别式，我们用表示，即．如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数．
例如：方程，，的值是一个完全平方数，但是该方程的根为， 不都为整数；方程的两根，都为整数，此时，的值是一个完全平方数．我们定义：两根都为整数的一元二次方程称为“全整根方程”，代数式的值为该“全整根方程”的“关爱码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“全整根方程”，其“关爱码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侣方程”．
(1)关于x的一元二次方程是一个“全整根方程”．
①当时，该全整根方程的“关爱码”是 ．
②若该全整根方程的“关爱码”是，则m的值为 ．
(2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“全整根方程”，请求出该方程的“关爱码”．
(3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数）的“全整根伴侣方程”，求的值（直接写出答案）．
参考答案
1．C
解：A. ，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，当时不是一元二次方程，不符合题意；
C. ，整理可得，是一元二次方程，符合题意；
D. ，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意．
故选：C．
2．B
解：把代入方程得：，
则，
则．
故选：B．
3．C
解∶A．过圆心的弦是圆的直径，所以A选项不符合题意；
B．直径是弦，过圆心的弦是直径，所以B选项不符合题意；
C．半圆是轴对称图形，所以C选项符合题意；
D．在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以D选项不符合题意；
故选∶C
4．A
解：根据题意可得：的半径为，点到圆心的距离为，
，
，
点P在圆内，
故选：A．
5．B
解：，
是的直径，
，
，
点C是的中点，
，
，且，
，
．
故选：B．
6．C
解：是一元二次方程，
，
解得：，
一元二次方程有实数根，
，
解得：，
满足且．
故选：C．
7．A
解：∵关于x的一元二次方程有一个根为，
∴关于的一元二次方程即有一个根为，
即，
解得：，
故选：A．
8．B
解：整理一元二次方程，
可得：，
即长为，宽为的长方形的面积为，
构造边长为的正方形，
则正方形的面积是，
这个正方形的面积又是个长为、宽为的长方形的面积之和再加上中间的边长为的小正方形的面积，
即，
，
解得：，
能正确说明方程解法的构图，如下图所示，
故选：B．
9．B
解：如下图所示，连接并延长，交于点，过点作，
点的坐标为，
，，
，
点，点关于原点对称，
，
，
，
，
当最大时最大，
当点、、共线时有最大值，
的半径为，
的最大值是，
的最大值是．
故选：B．
10．C
解：如图：连接，
∵，点M坐标为，点A坐标为，
∴，，
∵点D是的中点，
∴且，
∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大；
如图：延长与圆交于点，连接，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点，
∵的中点，，
∴的坐标为．
故选：C．
11．3
解：设另一个根为a，根据题意得：
，
∴．
故答案为：3
12．
【详解】连接OB，
∵BD＝OA，OA＝OB
∴△AOB和△BOD为等腰三角形，
设∠D＝x°，则∠OBA＝2x°，
∵OB＝OA，
∴∠A＝2x°，
在△AOB中，2x＋2x＋（105 x）＝180，
解得：x＝25，
即∠D＝25°．
故答案是：．
13．±3 或﹣5
【详解】当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2-9=0，
解得k=±3，
当原方程是一元二次方程时，
△=b2-4ac=0，
即：4（k+1）2-4（k2-9）=0
解得：k=-5．
故答案为±3或-5．
14．10
解：连接OC，
∵CD⊥AB，垂足为D，CD=4，OD=3，
AB=2OC=10
故答案为：10．
15．4
解：∵，，
∴为等边三角形，
∴．
故答案为4．
16．10
【详解】设点M为DE的中点，点N为FG的中点，连接MN交半圆于点P，此时PN取最小值．
∵DE＝4，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE，MN＝EF，
∴MP＝FN＝DE＝2，
∴NP＝MN MP＝EF MP＝1，
∴PF2＋PG2＝2PN2＋2FN2＝2×12＋2×22＝10．
故答案为10．
17．(1)
(2)
（1）解：，
，
，即，
，
；
（2）解：
，
，
．
18．(1)见解析
(2)
（1）证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根．
（2）解：，
，．
方程有一根小于1，
，解得：，
的取值范围为．
19．见解析
【详解】证明：连接，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
．
20．(1)每次下降的百分率为
(2)该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元
（1）解：设每次下降的百分率为a，
根据题意可得：，解得：（舍）或，
答：每次下降的百分率为；
（2）解：设每千克应涨价x元，由题意，得
，
整理，得，解得：，
因为要尽快减少库存，所以符合题意．
答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元．
21．5米．
解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，
依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，
整理，得：x2﹣8x+15＝0，
解得：x1＝3，x2＝5．
当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；
当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．
答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．
22．（1）CD=24m；（2）2小时
（1）∵直径AB=26m，
∴OD=，
∵OE⊥CD，
∴，
∵OE：CD=5：24，
∴OE：ED=5：12，
∴设OE=5x，ED=12x，
∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132，
解得x=1，
∴CD=2DE=2×12×1=24m；
（2）由（1）得OE=1×5=5m，
延长OE交圆O于点F，
∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，
∴（小时），即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．
23．（1）BP=6cm．BQ=12cm，（2）6秒或秒（3）2秒
解：（1）由题意，得
AP=6cm，BQ=12cm，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，
∴BP=12﹣6=6cm．
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=12cm，∠A=∠B=∠C=60°，
当∠PQB=90°时，
∴∠BPQ=30°，
∴BP=2BQ．
∵BP=12﹣x，BQ=2x，
∴12﹣x=2×2x，
解得x=，
当∠QPB=90°时，
∴∠PQB=30°，
∴BQ=2PB，
∴2x=2（12﹣x），
解得x=6．
答：6秒或秒时，△BPQ是直角三角形；
（3）作QD⊥AB于D，

∴∠QDB=90°，
∴∠DQB=30°，
∴DB=BQ=x，
在Rt△DBQ中，由勾股定理，得
DQ=x，
∴=10，
解得x1=10，x2=2，
∵x=10时，2x＞12，故舍去，
∴x=2．
答：经过2秒△BPQ的面积等于10cm2．
考点：1.等边三角形的性质2.勾股定理3.一元二次方程.
24．(1)①②或3
(2)该方程的“关爱码”为或
(3)2
（1）解：①当时，方程为，
则，
∴该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：；
②
由题意得，
解得，
则当或3时，若该全整根方程的“关爱码”是，
故答案为：或3；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
其中完全平方数有、和，
当时，，
当时， （不合题意），
当时，，
当时，原方程为，
则，
当时，原方程为，
则，
综上所述：该方程的“关爱码”为或；
（3）解：方程的“关爱码”
方程的“关爱码，
由题意得：，
∴，
∴或，
∵m，n均为正整数，
∴不合题意，
∴．

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