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11.2 立方根
题型一 立方根概念理解
1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）下面是小明完成的作业，他的得分是（ ）
判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√）
A．4分 B．6分 C．8分 D．10分
2．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
3．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．任何数的立方根都只有一个
C．负数没有立方根
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
4．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（　　）
A．的立方根是8
B．是负数所以没有立方根
C．不是正数就是负数
D．0.09的算术平方根是0.3
5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数
题型二 求一个数的立方根
6．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）的算术平方根是（ ）
A．8 B． C． D．2
7．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ．
8．（22-23七年级上·山东威海·阶段练习）如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，这个正数的立方根是 ．
9．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知x的一个平方根是，求x的立方根．
题型三 求代数式的立方根
10．（22-23八年级上·福建福州·期中）若，则的立方根是 .
11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ．
12．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ．
13．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，为实数，且，则的立方根是 ．
14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题：
(1)比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根．
16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3．
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根是4，求的立方根．
题型四 由立方根的概念解方程
17．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
18．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）解方程：
(1)；
(2)．
19．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值：
(1)；
(2)．
题型五 由立方根求式子的值
20．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若、是连续的两个整数，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
22．（24-25八年级上·河南周口·期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A．15 B．6 C． D．
23．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ．
24．（24-25八年级上·河南周口·期末）设，，则的所有可能的值为 ．
题型六 立方根的实际应用
25．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C． D．
26．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
27．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（　　）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
28．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
29．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知一个正方体的体积为．
(1)求该正方体的棱长；
(2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
30．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．）
(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）
(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．
题型一 立方根与数轴的综合
31．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
32．（21-22七年级下·重庆渝中·阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ．
33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)如图，在数轴上表示实数的点是______．
34．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a，

(1)求a的值；
(2)求的算术平方根．
(3)利用计算器计算时，按键： ，显示结果是______．
题型二 估算立方根的取值范围
35．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，且m，n是两个连续的整数，则 ．
36．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（ ）
A． B． C． D．
37．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）若，则整数x的最小值为 ．
38．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．
解：∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是，
∴的末位数字是9；
又∵划去的后面三位319得到59，而，
∴的十位数字是；
∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ．
题型三 立方根、平方根综合运算求值
39．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
40．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，求的值．
41．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值．
42．（24-25八年级上·江西抚州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求的值．
43．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根．
题型四 立方根的规律探究
44．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（ ）
A． B．
C． D．
45．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ．
46．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题．
1 1000 1000000
1 10 100
【规律总结】
（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位．
【规律应用】
（2）已知，，．
①__________．
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
47．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探索与应用：先观察表格，再回答问题．
… …
… …
(1)表格中_____________；_____________；
(2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________；
(3)利用规律解决问题：
①已知，则_____________；
②已知，若，则_____________；
(4)拓展：已知，若，则_____________．
48．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）数、在数轴上的位置如图所示，化简并求值：其中，
49．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】
①；
②；
③；
④．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根．
50．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)若m、n均为有理数，且，求的立方根；
(2)若m、n均为有理数，且，求和的值．
51．（23-24七年级下·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；
(2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值．
52．（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题：
①，则
②
发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位；
（2）应用：①已知________，________；
②已知，则________；
（3）拓展：已知，计算和的值．
11.2 立方根
题型一 立方根概念理解
1．（24-25七年级下·安徽黄山·期末）下面是小明完成的作业，他的得分是（ ）
判断题（每小题2分，共10分） ①任意一个实数不是有理数就是无理数．（√） ②立方根等于本身的数是和．（×） ③平方根等于本身的数是和．（√） ④如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根．（×） ⑤如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根．（√）
A．4分 B．6分 C．8分 D．10分
【答案】C
【分析】本题考查了平方根、立方根以及无理数，本题考查实数的分类、平方根和立方根的概念，需逐一判断各小题的正确性，统计得分．
【详解】解：①实数分为有理数和无理数，小明判断正确．
②立方根等于本身的数有0、1、，原题遗漏，故原题错误，小明判断正确．
③平方根等于本身的数只有0（1的平方根为，不都等于1），原题错误，但小明判断正确，故判断错误．
④负数有立方根但无平方根，原题错误，小明判断正确．
⑤有平方根的数必为非负数，而非负数均有立方根，原题正确，小明判断正确．
综上，小明答对①、②、④、⑤，共4题，得分分，
故选：C．
2．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0
B．一个数的立方根不是正数就是负数
C．负数没有立方根
D．一个不为0的数的立方根和这个数同号
【答案】D
【分析】本题考查了立方根，解决本题的关键是熟记立方根的定义．根据立方根的定义及性质即可解答．
【详解】解：A、如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是0或1或，故错误；
B、一个数的立方根不是正数就是负数，错误；还有0；
C、负数有立方根，故错误；
D、一个不为0的数的立方根和这个数同号，正确；
故选：D．
3．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数一定为零
B．任何数的立方根都只有一个
C．负数没有立方根
D．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
【答案】B
【分析】若，则叫做的立方根，；一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是；据此进行逐一判断即可求解．
【详解】解：A.一个数的立方根等于它本身的数是或，结论错误，不符合题意；
B.任何数的立方根都只有一个，结论正确，符合题意；
C.负数有立方根，结论错误，不符合题意；
D.负数有立方根，但没有平方根，结论错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根定义，理解定义是解题的关键．
4．（22-23八年级上·安徽宿州·期中）下列说法正确的是（　　）
A．的立方根是8
B．是负数所以没有立方根
C．不是正数就是负数
D．0.09的算术平方根是0.3
【答案】D
【分析】先明确立方根和算术平方根的概念，再进行判断．
【详解】A．，它的立方根为2，A选项错误，所以A选项不符合题意；
B．是负数，负数也有立方根，B选项错误，所以B选项不符合题意；
C．可能是正数、负数、0，C选项错误，所以C选项不符合题意；
D．0.09的算术平方根是0.3，D选项正确，所以D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查立方根和算术平方根的概念，解题的关键是明确立方根和算术平方根的区别．
5．（24-25八年级上·河南郑州·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．一个非零数的立方根与这个数同号
C．负数没有平方根也没有立方根 D．算术平方根一定是正数
【答案】B
【分析】本题考查了平方根，立方根，算术平方根的定义，根据平方根，立方根，算术平方根的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、一个数的立方根只有1个，故原说法不正确，不符合题意；
B、一个非零数的立方根与这个数同号，正确，符合题意；
C、负数没有平方根但是有立方根，故原说法不正确，不符合题意；
D、0的算术平方根是0，不是正数，故原说法不正确，不符合题意；
故选：B．
题型二 求一个数的立方根
6．（23-24八年级上·安徽宿州·阶段练习）的算术平方根是（ ）
A．8 B． C． D．2
【答案】D
【分析】首先求解，再求解其对应的算术平方根．
【详解】解：，4的算术平方根为2．
故选：D．
【点睛】本题主要考查开立方和算术平方根的定义，难点是准确理解题意和识别各自算式．
7．（2023·湖南·中考真题）的立方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查算术平方根、立方根，根据算术平方根、立方根的定义进行计算即可．
【详解】解：∵，8的立方根是，
∴的立方根是2．
故答案为：2．
8．（22-23七年级上·山东威海·阶段练习）如果一个正数的两个平方根是a+1和2a﹣22，这个正数的立方根是 ．
【答案】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数，可得出关于的方程，解出即可．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和，
∴，
解得，
∴这个正数是，
∴这个正数的立方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的定义和性质，立方根的定义，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
9．（24-25八年级下·全国·假期作业）已知x的一个平方根是，求x的立方根．
【答案】4
【分析】本题考查；平方根和立方根两个概念．审题时要清楚平方根的性质（一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 ）以及立方根的定义（正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0 ）．先根据平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵x的一个平方根是，
∴．
∵，
∴，即x的立方根是4．
题型三 求代数式的立方根
10．（22-23八年级上·福建福州·期中）若，则的立方根是 .
【答案】
【分析】根据算术平方根的非负性求得的值，进而得出的值，进而求得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的立方根是，
∴的立方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求一个数的立方根，算术平方根的非负性，求得的值是解题的关键．
11．（24-25八年级上·江苏苏州·期中）的整数部分记为a，算术平方根等于本身的正整数记为b，那么的立方根是 ．
【答案】3
【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，算术平方根等知识，先估算，即可求出a，然后根据算术平方根的性质可求出b，把a、b代入计算，最后根据立方根的定义求解即可．
【详解】解∶∵，
∴，即，
∴的整数部分，
∵算术平方根等于本身的正整数记为b，
∴，
∴，
∴的立方根是，
故答案为：3．
12．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）若正数m的两个不同的平方根分别为和，则的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方根的定义和立方根的定义，根据平方根的定义可得出，解一元一次方程求出x，再求出m，代入代数式求出代数式的值，再根据立方根的定义求出立方根即可．
【详解】解：∵正数m的两个不同的平方根分别为和，
∴，
解得：，
∴，
∴，
，
故答案为：
13．（24-25八年级上·山东菏泽·阶段练习）已知，为实数，且，则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了算术平方根和完全平方数的非负性，乘方的运算，求立方根，先根据算术平方根和完全平方数的非负性得出，求出x，y的值，再根据立方根的定义解答即可．
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
则的立方根是．
故答案为：．
14．（24-25八年级上·广东深圳·阶段练习）已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答．
【详解】解：∵是49的算术平方根，
，
解得，
的立方根是，
，
解得：．
当，时，，
∴的立方根是，
故答案为：．
15．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料：因为，即，所以的整数部分为，小数部分为，请解答下列问题：
(1)比较大小：_______（填“”“”或“”）；
(2)若的整数部分为，是的算术平方根，求的立方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的应用，平方根、算术平方根、立方根的意义，解题的关键是掌握相关的知识．
（1）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到，即可求解；
（2）根据材料的思路求出的取值范围，进而得到值，再根据算术平方根的定义求出，最后把、代入代数式即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
，
的整数部分为，
是的算术平方根，
，
，
的立方根为．
16．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3．
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根是4，求的立方根．
【答案】(1)，，的平方根为
(2)，的立方根为
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：的平方根是，
，
；
的立方根是3，
，
，
，
，
，
，
的平方根为；
（2）解：由（1）知，，
的算术平方根是4，
，
，
，
，
的立方根为．
题型四 由立方根的概念解方程
17．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）求下列各式中x的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根据求平方根的方法解方程；
（2）根据求立方根的方法解方程．
【详解】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴．
18．（24-25八年级上·四川宜宾·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查的是利用平方根与立方根的含义解方程，掌握平方根与立方根的含义是解本题的关键．
（1）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可；
（2）把方程化为，再利用立方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
19．（22-23七年级下·四川南充·阶段练习）求下列式子中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查了立方根与平方根的定义解方程，熟练掌握立方根与平方根的定义是解题的关键；
（1）先把方程变形为，然后根据平方根的定义解方程；
（2）先利用立方根的定义得到，然后解一元一次方程即可．
【详解】（1）解：，
∴，
解得：或；
（2）解：，
∴，
解得：．
题型五 由立方根求式子的值
20．（23-24八年级上·安徽宿州·期中）若，为实数，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了非负数的性质和立方根，根据二次根式的被开方数和偶次方为非负数，得到相应的关系式求出、的值，然后代入求解，最后求数的立方根即可，正确运用非负数的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故选：．
21．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）若、是连续的两个整数，且，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了估算无理数的大小，先估算的大小，确定出a和b的值，然后计算的值即可．
【详解】解：∵
∴，
∵、是连续的两个整数，
∴，，
∴，
故选：D．
22．（24-25八年级上·河南周口·期中）如果，那么代数式的值为（ ）
A．15 B．6 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数的立方根，已知字母的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先求出，分别代入进行计算，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∴
，
故选：B．
23．（23-24八年级上·广西桂林·期中）已知a，b为实数，满足，且，则的值 ．
【答案】4或5
【分析】本题考查了立方根，算术平方根，代数式求值．先根据立方根和算术平方根的定义求出的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，即，
∴或，
∴或，
∴或．
故答案为：或．
24．（24-25八年级上·河南周口·期末）设，，则的所有可能的值为 ．
【答案】0或
【分析】本题考查平方根及立方根，解题的关键是正确理解平方根与立方根的定义，本题属于基础题型．根据立方根与平方根的定义即可求出答案．
【详解】解：，
当时，
当时，，
故答案为：0或．
题型六 立方根的实际应用
25．（24-25七年级下·广西玉林·期中）如图所示，有一个正方体集装箱，体积为，现准备将其改造（形状仍为正方体），以便盛放更多的货物，为使其体积达到，棱长应变为原来的（ ）
A．倍 B．倍 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查立方根的应用，先根据立方根分别求出体积为的正方体的棱长和体积为的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论．掌握立方根的意义是解题的关键．
【详解】解：∵体积为的正方体的棱长为：，
体积为的正方体的棱长为：，
又∵，
∴棱长应变为原来的倍．
故选：A．
26．（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）小美和小丽分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小丽制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积大，则小丽制作的正方体礼盒的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．
先根据正方体的表面积公式求出小美制作的正方体礼盒的棱长和体积，进而求出小丽制作的正方体礼盒的体积和棱长，即可得解．
【详解】解：设小美正方体棱长为，，
得，，
小美制作的正方体礼盒的棱长为：，
其体积为：，
小丽制作的正方体礼盒的体积为：，
则小丽制作的正方体礼盒的棱长为：，
小丽制作的正方体礼盒的表面积为：；
故选：B．
27．（22-23七年级下·安徽芜湖·期中）一个正方体的水晶砖，体积为，它的棱长大约在（　　）
A．与之间 B．与之间
C．与之间 D．与之间
【答案】B
【分析】先根据立方根的意义求出边长，然后估算即可．
【详解】解：∵正方体的水晶砖的体积为，
∴它的棱长为，
∵，
∴，
∴它的棱长大约在与之间．
故选B．
【点睛】本题考查了立方根的意义，无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解答本题的关键．
28．（23-24七年级下·安徽合肥·期中）把两个半径分别为和的铅球熔化后做成一个更大的铅球，则这个大铅球的半径是 cm（球的体积公式，其中是球的半径）．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的应用，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据立方根的定义计算出结果即可，熟记立方根的定义是解题的关键．
【详解】解：这个大铅球的半径是，
由题意得：，
∴，则，
故答案为：．
29．（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）已知一个正方体的体积为．
(1)求该正方体的棱长；
(2)若将该正方体的体积变为原来的8倍，则它的棱长变为原来的多少倍？
【答案】(1)；
(2)棱长变为原来的2倍．
【分析】本题考查了立方根的实际应用及正方体的体积公式，熟练掌握正方体的体积公式是解题的关键．
（1）设正方体的棱长为，根据正方体的体积公式，列出方程，解方程即可；
（2）根据题意，计算出正方体变化后的体积，根据体积公式，计算出变化后的棱长，即可得解．
【详解】（1）设正方体的棱长为，由题意得：，
解得：，
答：该正方体的棱长为6cm；
（2）当正方体的体积变为原来的8倍，即体积为
设此时正方体的棱长为，
由题意得：，
解得：，
答：它的棱长变为原来的2倍．
30．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，把两个半径分别是和的铅球熔化后做成一个更大的铅球．（注：球的体积公式是，其中是球的半径．）
(1)这个大铅球的半径是多少？（结果保留准确值）
(2)对于（1）中求出的半径值，试确定其整数部分和小数部分．
【答案】(1)
(2)整数部分是，小数部分是
【分析】本题考查立方根及无理数的估算，
（1）设大铅球的半径为，求出半径分别是，的铅球的体积之和，再根据球的体积公式建立关于的方程，然后根据立方根的定义求解即可；
（2）先确定半径位于哪两个相邻的整数之间，即可得出结论；
掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：设这个大铅球的半径是，
依题意，得：，
解得：，
∴这个大铅球的半径是；
（2）∵，
∴，
∴的整数部分是，小数部分是．
题型一 立方根与数轴的综合
31．（23-24七年级下·安徽阜阳·期中）如图，数轴上，，三点所表示的数分别是，，，已知，，且是关于的一元一次方程的解的立方根，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．6
【答案】A
【分析】此题主要考查了数轴的特征和应用，以及一元一次方程的解的含义和应用，要熟练掌握．首先根据数轴上两点间的距离的求法，求出的值是多少，进而求出的值是多少；然后根据是关于的方程解的立方根，求出的值为多少即可．
【详解】解：，
，
解得，
，
，
是关于的方程的解的立方根，
是此方程的解，
，
解得．
故选：A
32．（21-22七年级下·重庆渝中·阶段练习）实数、在数轴上对应点、的位置如图，化简：结果为 ．
【答案】/
【分析】先通过数轴表示确定，的大小、符号和绝对值的大小，再进行化简、计算．
【详解】解：由题意得，，且，
，，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了利用数轴进行实数平方根、立方根、绝对值等方面的化简能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
33．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知一个正数x的两个平方根分别是和．
(1)求a和x的值；
(2)如图，在数轴上表示实数的点是______．
【答案】(1)a的值为3，x的值为16；
(2)
【分析】本题考查了平方根的概念及无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据一个正数x的两个不同的平方根互为相反数及平方根的定义，可得，，求解即可；
（2）先代入表示出的值，再利用夹逼法进行无理数的估算即可．
【详解】（1）一个正数x的两个平方根分别是和，
，，
解得，
所以，a的值为3，x的值为16；
（2），
，
，
，即，
∴在数轴上表示实数的点是，
故答案为：．
34．（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点O到达点A，设点A表示的数为a，

(1)求a的值；
(2)求的算术平方根．
(3)利用计算器计算时，按键： ，显示结果是______．
【答案】(1)
(2)
(3)0
【分析】本题考查了实数与数轴，立方根和算术平方根，熟练掌握实数的运算法则是解答本题的关键．
（1）求出圆的周长即可求出a的值；
（2）把a的值代入化简即可；
（3）根据按键顺序列出算式计算即可．
【详解】（1）∵圆的直径为2
∴圆的周长为，点A在原点左边，
∴；
（2）∵，
∴
，
∵2的算术平方根是
∴的算术平方根是；
（3）由题意，得
．
故答案为：0．
题型二 估算立方根的取值范围
35．（23-24七年级下·安徽合肥·期末）已知，且m，n是两个连续的整数，则 ．
【答案】9
【分析】本题考查无理数的估算、立方根、代数式求值，先根据，，结合立方根定义和已知求得m、n值，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∵，且m，n是两个连续的整数，
∴，，
∴，
故答案为：9．
36．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图，在做浮力实验时，小华用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱形烧杯中，量筒量得溢出水的体积为20ml，则该铁块棱长大小的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了无理数的估算和立方根的应用，运用立方根知识进行估算求解即可．
【详解】由题意得，该铁块棱长是，
∵
，
该铁块棱长大小的范围是．
故选：A．
37．（24-25八年级上·内蒙古通辽·开学考试）若，则整数x的最小值为 ．
【答案】3
【分析】此题考查了立方根和无理数的估算，估算出，再根据，即可求出答案．
【详解】解：∵
∴
∵，
∵，
∴整数x的最小值为3，
故答案为：3
38．（23-24七年级下·四川德阳·期末）我国著名的数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．
解：∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是9，而整数0至9的立方中，只有的末位数字是，
∴的末位数字是9；
又∵划去的后面三位319得到59，而，
∴的十位数字是；
∴请根据以上解题思路解方程：，得的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了立方根的估算，一元一次方程的解法，熟练掌握估算方法，灵活解方程是解题的关键．先运用学到的方法，进行估算，再解一元一次方程即可．
【详解】解∵，
∴，
∵，
∴是两位整数；
∵整数的末位上的数字是3，而整数0至的立方中，只有的末位数字是3，
∴的末位数字是7；
又∵划去的后面三位得到19，
而，
∴的十位数字是2；
∴；
∴，
解得，
故答案为：
题型三 立方根、平方根综合运算求值
39．（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）已知为4的算术平方根，2为的立方根．
(1)求a、b的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键．
（1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可；
（2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案．
【详解】（1）解：∵为4的算术平方根，2为的立方根，
，，
解得：，；
（2）解：∵，，
，
则的平方根是．
40．（24-25八年级上·贵州黔东南·期中）已知的立方根是，的算术平方根是4，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，求出值，进而求出的值即可．
【详解】解：由题意可得，，
∴，
∴．
41．（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值．
【答案】
【分析】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．
直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．
【详解】解：的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，而，
，，，
解得：，，，
．
42．（24-25八年级上·江西抚州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，的立方根是，求的值．
【答案】4
【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数，可算出，根据立方根的定义列出方程可算出，从而得到答案．
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和
∴
∴
∵的立方根是
∴
∴
∴
43．（24-25八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知的平方根是，的立方根是2，求的平方根．
【答案】平方根为．
【分析】此题考查了算术平方根、平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到，，解得，，求出的值，根据平方根的意义求出答案即可．
【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2，
∴，，
解得，，
∴，
∵，
∴的平方根为．
题型四 立方根的规律探究
44．（23-24八年级下·云南昆明·阶段练习）按一定规律排列的式子：，，，，，第个式子是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了数字排列规律探索，二次根式定义，弄清题中的数字规律是解题的关键．第个式子的前一项是奇数的算术平方根，可表示为，后一项是正整数的立方根，可表示为，由此即得答案．
【详解】根据规律可知，第个式子的前一项为，后一项为，所以第个式子是．
故选A．
45．（23-24七年级下·湖北咸宁·期中）根据你发现的规律填空：已知，若，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查的是立方根的性质，熟练掌握被开方数小数点与对应的立方根小数点移动规律是解题的关键．
依据被开方数小数点向左或向右移动3为对应的立方根的小数点向左或向右移动1为求解即可．
【详解】若，
则，
故答案为：．
46．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）观察下表，并解答下列问题．
1 1000 1000000
1 10 100
【规律总结】
（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动__________位．
【规律应用】
（2）已知，，．
①__________．
②用铁皮制作一个封闭的正方体，使它的体积为3000立方米，则需要多大面积的铁皮？（参考数据：，，）
【答案】（1）一；（2）①；②1248平方米
【分析】本题主要考查了立方根的变化规律，熟练掌握立方根的变化规律是解决本题的关键．
（1）从被开方数的小数点，以及相应的立方根的小数点的移动来找规律，回答即可；
（2）①根据解析（1）中规律进行解答即可；
②先根据正方体的体积求出棱长，再求出正方体盒子的表面积即可．
【详解】解：（1）根据上表，可以得到被开方数和它的立方根之间小数点的变化规律：若被开方数的小数点向右（或向左）移动三位，则它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位．
（2）①∵，
∴；
②∵正方体的体积为3000立方米，
∴正方体的棱长为：米，
∴需要铁皮的面积为：
（平方米）．
47．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）探索与应用：先观察表格，再回答问题．
… …
… …
(1)表格中_____________；_____________；
(2)从表格中我们可以发现a与变化的规律：a扩大100倍，则扩大_________________；
(3)利用规律解决问题：
①已知，则_____________；
②已知，若，则_____________；
(4)拓展：已知，若，则_____________．
【答案】(1)，；
(2)10倍；
(3)①，②32400；
(4)
【分析】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．
（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
（3）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案
（4）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】（1）解：，，
故答案为，；
（2）解：a扩大100倍，扩大10倍．
故答案为：10倍；
（3）解：①∵，
∴，
②，
∴，
故答案为：，32400；
（4）解：∵，，
∴，
故答案为：．
48．（24-25七年级下·内蒙古赤峰·期末）数、在数轴上的位置如图所示，化简并求值：其中，
【答案】，
【分析】本题主要考查了实数混合运算，化简绝对值，先根据、在数轴上的位置得出，然后再化简绝对值，根据立方根定义，算术平方根定义，绝对值意义，求出b的值，即可得出答案．
【详解】解：，
∴，
，
．
49．（24-25七年级下·辽宁大连·期末）【观察】
①；
②；
③；
④．
【发现】根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
（1）根据上述等式的规律，写出一个类似的等式：____________________；
（2）由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳出一个这样的结论：对于任意两个不相等的有理数，，若______________，则，反之也成立；
【应用】根据（2）中的结论，解答问题：若与的值互为相反数，求的算术平方根．
【答案】[发现]（1），（2）；[应用]
【分析】本题考查的是立方根的含义与性质，算术平方根的含义；
（1）仿照题干条件的特点可得一个类似的等式；
（2）由归纳可得当时，则；
（3）由与的值互为相反数，可得，再进一步求解可得答案.
【详解】解：（1）（答案不唯一）
（2）归纳可得：当时，则；
（3）由（2）知，
∵与的值互为相反数，
∴，
解得，
∴，
∴.
50．（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中m、n为有理数，为无理数，那么，．运用上述知识解决下列问题：
(1)若m、n均为有理数，且，求的立方根；
(2)若m、n均为有理数，且，求和的值．
【答案】(1)1
(2)，
【分析】（1）根据题干提供的方法列出m和n的方程求解即可；
（2）先整理成，其中m、n为有理数，为无理数，再按题干提供的方法求解．
本题考查了立方根，无理数的定义；理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解： ，其中，均为有理数，
，．
解得，，
则，1的立方根为1，
的立方根为1．
（2）解：将原式整理，得，即，
∵m、n均为有理数，
，．
解得，．
51．（23-24七年级下·全国·假期作业）七年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：
我们知道，当时，也成立．因为是的立方根，是的立方根，所以我们得到这样的结论：若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数．
(1)试举一个例子来判断猜测的结论是否成立；
(2)根据以上结论，若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)成立，见解析
(2)
【详解】解：（1）如，则，结论成立．
（2）由题意，得，
，
52．（23-24八年级上·河北沧州·期中）（1）观察下列各式，并用所得到的规律解决问题：
①，则
②
发现规律：①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向________移动________位；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向________移动________位；
（2）应用：①已知________，________；
②已知，则________；
（3）拓展：已知，计算和的值．
【答案】（1） ①右，1；②左，1；（2）①1.732，17.32 ；②；（3）， ．
【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键．
（1）根据题干中的例子总结规律即可；
（2）根据总结的规律即可求得答案；
（3）将原式变形后根据规律计算即可．
【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向右移动两位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
故答案为：右，1；
②被开方数的小数点每向左移动三位，其立方根的小数点向左移动1位，
故答案为：左，1；
（2）①根据总结的规律可得：，，
故答案为：1.732，17.32；
②根据总结的规律可得：，
，
故答案为：；
（3），
，．

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