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直线和圆的位置关系综合训练卷
一、单选题
1．已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．对于圆C：，直线l：，点在圆C外，则直线l与圆C（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
3．已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．直线与圆交于，两点，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知实数满足，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知直线，圆，若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．直线截圆所得的弦长（ ）
A． B． C． D．
8．已知直线的倾斜角为，且圆上恰有3个点到直线的距离为2，则在轴上的截距为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线在轴上的截距是2
B．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
C．过点且在，轴截距相等的直线方程为
D．实数，满足，则的取值范围为
10．已知圆，直线经过两点，点为圆上一动点，则下列说法正确的有（ ）
A．直线的方程为
B．与圆相离
C．点到直线的距离的最小值为
D．直线的斜率的最大值为
11．已知圆：，直线：（），下列选项正确的是（ ）
A．直线过定点
B．直线与圆可能相切
C．当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，则
D．设与圆交于，两点，则中点的轨迹方程为
三、填空题
12．若圆上到直线（为实数）的距离为1的点有且仅有3个，则 .
13．已知圆上的点到直线的距离的最大值是，最小值是，则 .
14．已知圆的圆心为，且与直线相切，则圆被直线截得的弦长为 .
四、解答题
15．已知圆过点，且圆心在直线上.
(1)求圆的方程；
(2)若直线经过点，且与圆相交截得的弦长为，求直线的方程.
16．已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)若直线与圆相切，且与轴、轴分别交于点、.
①写出与的关系式；
②求面积的最小值，并写出此时的直线的方程.
17．已知圆，直线.
(1)将圆的方程化为标准方程，并求出圆心坐标和半径；
(2)求证：直线恒过定点；
(3)设直线与圆交于两点，且面积为，求的值.
18．已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点作圆的切线，求切线方程；
(3)圆上有两个点到直线上的距离等于2，求的范围.
19．已知圆经过点，圆心在射线上，且直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆的方程；
(2)过点作圆的切线，求切线的方程.
《直线和圆的位置关系综合训练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B D D A D A D BD ABD
题号 11
答案 AC
1．B
【难度】0.65
【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论.
【详解】由，可得，
所以圆心的坐标为, 半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个.
故选：B.
2．B
【难度】0.65
【分析】根据点与圆的位置关系，判断坐标参数的关系，根据圆心到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系.
【详解】由圆C：，可知圆心，半径为，由点在圆C外，可知，
可得，
圆心到直线的距离，
因为，所以，所以直线与圆相交；
故选：B.
3．D
【难度】0.65
【分析】先求出直线所过的定点，再判断定点与圆的位置关系，结合直线与圆的相交弦长最小时，定点与圆心所在直线与AB垂直，最后利用几何法求解弦长即可.
【详解】根据题意，圆，则圆心的坐标为，半径，
直线，即，恒过定点，
由，得点在圆内，
又定点到圆心的距离，
要使弦最小，则定点与圆心所在直线与AB垂直，
此时，
即的最小值为.
故选：D
4．D
【难度】0.65
【分析】利用垂径定理及勾股定理表示出弦长，列出关于的不等式，求出不等式的解集，即可得到的范围.
【详解】由圆的方程知，圆心，半径，
圆心到直线即的距离，
，
变形整理得，即，解得，
的取值范围是，
故选：D
5．A
【难度】0.65
【分析】令，把问题转化为直线与圆的位置关系问题，进而利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】因为实数满足，所以点在圆上，
圆心，半径.
设，则点在直线上，所以直线与圆有公共点.
如下图所示：

所以圆心到直线的距离，即，解得，
则的取值范围为.
故选：A
6．D
【难度】0.65
【分析】由圆心到直线的距离，即可判断.
【详解】圆的圆心到直线距离，
若圆上有且仅有三个点到直线的距离为，则，即.
故选： D.
7．A
【难度】0.65
【分析】利用垂径定理和勾股定理，利用两点间距离公式，利用韦达定理结合方程可求得弦长.
【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心到直线的距离为
，则.
（方法2：两点距离公式）由，消去得，
解得或，直线与圆的交点，，则.
（方法3：韦达定理）由，消去得，
由韦达定理得，，，又，
则.
故选:A.
8．D
【难度】0.65
【分析】可设的方程为，由题意可知圆心到直线的距离，代入运算即可.
【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，
因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为，
可设的方程为，即，
若圆上恰有3个点到直线的距离为2，
则圆心到直线的距离，解得.
故选：D
9．BD
【难度】0.65
【分析】根据直线方程的性质、直线平行的性质、直线方程求解方法以及直线与圆的位置关系，逐一分析、判断各选项．
【详解】选项A：当时，，
直线在轴上的截距是，故A错误；
选项B：直线与直线平行，
，
直线与之间的距离为，故B正确；
选项C：当直线在轴的截距为0时，设直线方程为，直线过点，
，解得，此时方程为，一般式为：，
当直线在轴的截距都不为0时，设直线方程为，直线过点，
，解得，此时方程为，一般式为：，
过点且在，轴截距相等的直线方程为或，故C错误；
选项D：表示圆心为半径是的圆，
设，即，
求的取值范围，等价于求直线与圆有交点时的范围，
圆心到直线的距离，圆的半径，直线和圆有交点，
，即，
，解得，即的取值范围为，故D正确．
故选：．
10．ABD
【难度】0.65
【分析】利用两点式直线方程求解判断A；利用几何法判断直线与圆的位置关系判断B；结合几何特征利用点到直线距离公式求解最值判断C；当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值，利用相切关系列方程求解即可判断D.
【详解】直线的方程为，整理得，A正确；
圆心到直线的距离为，
所以与圆相离，B正确；
由上可知，点到直线的距离的最小值为，C错误；
结合图形可知，当直线与圆相切时，直线的斜率取得最大值，
设的斜率为，则的方程为，即，
由相切得，，解得，
所以的斜率的最大值为，D正确.
故选：ABD.
11．AC
【难度】0.65
【分析】A选项，化直线为点斜式判断；B选项，根据直线经过的定点在圆内判断；C选项，结合半径长度，点到直线的距离求解；D选项，根据垂径定理判断出即可得解.
【详解】A选项，整理得，，
可知该直线经过，A选项正确；
B选项，整理圆的方程为：，
注意到，
可知直线经过的定点在圆内，则直线必和圆相交，不可能相切，B选项错误；
C选项，当圆上有且只有4个点到直线的距离为1时，
则圆心到直线的距离小于，
即，解得，C选项正确；
D选项，由垂径定理和直线经过定点可得，，
则的轨迹是以为直径的圆上运动，
又中点是，，
则的轨迹是，D选项错误.
故选：AC
12．
【难度】0.65
【分析】结合题意并利用点到直线的距离公式建立方程，求解参数即可.
【详解】由题意得圆心为，半径为2，
若圆上到直线的距离为1的点有且仅有3个，可得圆心到直线的距离为1，
由点到直线的距离公式得，解得.
故答案为：
13．
【难度】0.65
【分析】求出圆心到直线的距离，根据直线与圆的位置关系可得的值.
【详解】可化为，圆心，半径，
圆心到直线的距离，
则直线与圆相离，
故，，则.
故答案为：
14．4
【难度】0.65
【分析】根据直线和圆的位置关系先求出圆的半径及圆心到直线的距离，再结合求解弦长.
【详解】因为圆与直线相切，
所以圆的半径为，
而圆心到直线的距离为，
所以圆被直线截得的弦长为.
故答案为：4.
15．(1)
(2)或
【难度】0.65
【分析】（1）求出线段的垂直平分线方程并与已知直线联立求得圆心，即可求解；
（2）按直线的斜率存在与不存在分情况讨论，根据点到直线的距离公式，结合圆的弦长公式即可求解.
【详解】（1）因为，
所以线段的中点坐标为，直线的斜率，
因此线段的垂直平分线方程是.
联立，解得，
所以圆心的坐标.
圆的半径长
所以圆心为的圆的标准方程是；
（2）因为直线被圆截得的弦长为，
所以圆到直线的距离.
①当直线的斜率不存在时，此时圆心到直线的距离为，不符合题意.
②当直线的斜率存在时，设，
即.
所以，解得或.
直线的方程为或
16．(1)或
(2)①；②最小值为，直线的方程为
【难度】0.65
【分析】（1）不妨设圆心坐标为，由题意可知，该圆的半径为，利用勾股定理和点到直线的距离公式可得出关于的等式，解出的值，即可得出圆的标准方程；
（2）①首先根据题设条件对（1）中求得的两个圆进行讨论，确定唯一满足条件的圆的方程，然后利用直线与圆相切的条件（圆心到直线的距离等于半径）得出与的关系式；
②利用基本不等式可求出面积的最小值，利用等号成立的条件求出、的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）不妨设圆心坐标为，由题意可知，该圆的半径为，
所以圆的标准方程为，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，
所以，解得，
故圆的标准方程为或.
（2）①由题意，直线的截距式方程为，化为一般式方程为，
若圆的方程为，
则圆心到直线的距离为，
此时直线与圆相离，不合题意，
所以圆的方程为，
则圆心到直线的距离为，整理得，
故；
②
，
当且仅当时，即当时，等号成立，此时
故面积的最小值为，此时直线的方程为.
17．(1)标准方程为，圆心，半径
(2)证明见解析
(3)或
【难度】0.65
【分析】（1）根据圆的一般方程与标准方程的互化即可求解，进而写出圆心坐标和半径；
（2）整理直线的方程为，进而求证即可；
（3）设圆心到直线的距离为，可得，，进而根据面积为列方程可求出或，进而求解即可.
【详解】（1）由圆，得，
所以圆心，半径.
（2）由直线，
得，
令，解得，
所以直线恒过定点.
（3）设圆心到直线的距离为，
则，
则，
由，得，解得或，
则或，解得或.
18．(1)；
(2)或；
(3).
【难度】0.65
【分析】（1）设圆心，进而根据，并结合解方程求得圆心，进而计算半径即可的答案；
（2）分切线斜率不存在与存在两种情况讨论求解即可；
（3）根据题意，圆心到直线的距离满足，再解不等式即可得答案.
【详解】（1）设圆心，因为圆经过点和，且圆心在直线上，
所以，
整理得，解得：
所以，圆心为，半径为，
所以，圆的标准方程.
（2）因为，所以不在圆上，
当所求切线斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，等于圆的半径，
所以，切线方程为.
当直线的斜率存在时，设切线方程为，即
根据圆心到切线的距离等于半径，可得，即，
两边平方得，解得，
所以切线方程为，即.
所以，过点作圆的切线，切线方程为或.
（3）由（1）知圆的圆心为，半径为，
根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离，
因为圆上有两个点到直线上的距离等于2，
所以，即，即，
所以，
解得：或.
所以，的范围为
19．(1)
(2)或.
【难度】0.65
【分析】（1）设出圆的标准方程，根据条件列方程进行求解；
（2）先判断点与圆的位置关系，再对过的切线进行有无斜率的分类讨论，进而求出切线方程.
【详解】（1）

因为圆心在射线上，设，其中.
设圆的标准方程为，其中
圆经过点，所以，化简得
圆心到直线的距离.
该直线被圆截得的弦长为，由垂径定理及勾股定理得，，化简得.
故，解得.
故圆的方程为.
（2）点距离圆心的距离为，所以点在圆外.
过点作一平行于轴的直线，圆心到该直线的距离为，故此直线是圆的一条切线.
设过点作圆的另一条切线方程为，变形得.
圆心到该直线的距离为，即，解得.
故该切线方程为，即.
综上，过点作圆的切线方程为或.

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