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高三数学 人教A版 解三角形专项综合训练提升
一、单选题
1．（25-26高三上·安徽合肥·阶段练习）连接圆形花圃圆周上的三点，，，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，，则该花圃的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·一模）在中，角的对边分别是．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·云南楚雄·阶段练习）记..的内角的对边分别为，且，则一定为（　　）
A．锐角三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
4．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）已知的三个内角，，所对的边分别为，，，若，，则的形状为（ ）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．直角三角形
5．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，平分交于点D，且，则a的值为（ ）
A． B．4 C． D．
6．（25-26高三上·江苏南通·阶段练习）在平面四边形ABCD中，已知，则的外接圆的直径长度为（ ）
A．4 B．5 C． D．
7．（2025·浙江嘉兴·一模）已知椭圆和双曲线有相同的焦点是它们的一个公共点，且，若的离心率为，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．（25-26高三上·山东·阶段练习）在中，角的对边分别为，已知角的内角平分线长为1，若，则的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．
二、多选题
9．（25-26高三上·陕西西安·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，如下判断正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则
C．若为锐角三角形，则
D．若满足条件的有两个，则的取值范围为
10．（25-26高三上·云南曲靖·阶段练习）在平面四边形中，，，，，，则（ ）
A． B．
C．四边形的周长为 D．四边形的面积为
11．（25-26高三上·福建龙岩·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．命题：，的否定是：，.
B．一元二次不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围是
C．是的必要而不充分条件.
D．在中，满足，，的有两个.
三、填空题
12．（25-26高三上·山东泰安·阶段练习）在中，角，，的对边分别为，，，已知面积为，则角 .
13．（25-26高三上·山东威海·阶段练习）在中，内角的对边分别为，是上的点，平分，的面积是面积的2倍．若，则的面积 ．
14．（2025高三·全国·专题练习）斯图瓦尔特定理是由18世纪的英国数学家提出的关于三角形中线段之间关系的结论.根据斯图瓦尔特定理可得出如下结论：设中，内角的对边分别为，点在边上，且，则.已知中，内角的对边分别为，且，，点在上，且的面积与的面积之比为2，则 .
四、解答题
15．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数．
(1)求函数的最小正周期及单调递增区间；
(2)在锐角中，设角所对的边分别是，若且，求周长的取值范围．
16．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若的内角，，的对边分别为，，，且，，是边上一点.
(1)求外接圆的半径；
(2)若是的平分线，且的周长为15，求线段的长；
(3)若，且，求的面积.
17．（2025高三·全国·专题练习）在中，内角所对应的边分别是，已知成等比数列．若，数列满足其前项和为，求的值．
18．（25-26高三上·上海·阶段练习）已知，函数.
(1)当时，求的值域；
(2)已知的内角的对边分别为，若，求的面积的最大值.
19．（25-26高三上·山东临沂·阶段练习）在中，内角的对边分别是，其中，且满足.
(1)求角；
(2)求周长的取值范围；
(3)若为锐角三角形，求的取值范围．
《高三数学 人教A版 解三角形专项综合训练提升-中等难度》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C B C B D A B BCD ACD
题号 11
答案 AD
1．B
【分析】根据面积公式和余弦定理得出，再结合正弦定理得出外接圆的半径，求外接圆面积即可.
【详解】由题意可得，
根据余弦定理可得，所以，
又，则,
设外接圆的半径为，由正弦定理可得，
可得，
故花圃的面积即为外接圆的面积．
故选：B
2．C
【分析】先根据余弦定理求出边，再利用余弦定理求出角的余弦值，最后结合三角形角的取值范围得出角的值．
【详解】由余弦定理可得：，
，
，
，
．
故选：C．
3．B
【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式、二倍角公式得到，进而得到，由此可得出结论.
【详解】在中，
由正弦定理得，，
即．
又，，
故
所以（舍去）或，
所以.
故为等腰三角形．
故选： B．
4．C
【分析】由同角三角函数的基本关系及正余弦定理即可求出，由两角差的余弦公式和辅助角公式求出，从而可判断的形状.
【详解】，
，即，
由正弦定理及余弦定理得，，
∵，∴，
又，，整理得，
因为，，所以，
所以，为等腰三角形．
故选：C．
5．B
【分析】由等差数列得，再根据等面积法，即可得到，进而结合即可求解.
【详解】因为角A，C，B成等差数列，所以，
而，所以，即，
而是平分线，则，
由，
则，
则，整理得，
又，所以，.
故选：B
6．D
【分析】在和中，分别利用余弦定理得，结合已知及列方程求出，利用同角三角函数基本关系求得，最后在中利用正弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，
得，
在中，，
在中，
，
所以，所以，所以．
，所以，
在中，利用正弦定理得，的外接圆的直径长度为．
故选：D
7．A
【分析】根据椭圆和双曲线的定义，结合余弦定理列式，再结合离心率的计算公式，可求双曲线的离心率.
【详解】如图：
设椭圆：，双曲线：.
因为它们有相同的焦点，所以.
不妨设点在第一象限，且，，
因为点在椭圆上，
所以.
又，
所以.
又在双曲线上，
所以.
所以.
所以双曲线的离心率为：.
故选：A
8．B
【分析】根据给定条件，利用三角形面积定理结合均值不等式求解作答.
【详解】在中 ，，
因角B的内角平分线的长为1，由得：，
即，因此，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：B
9．BCD
【分析】根据正弦定理结合二倍角的正弦公式可判断A的正误，根据正弦定理边角转化后可判断B的正误，根据诱导公式可判断C的正误，根据三角形解的个数可得，计算后可判断D的正误.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，
故，因为，
故或，故或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，设为外接圆的半径，
因为，故，故即，故B正确；
对于C，若为锐角三角形，故，
故，故即，故C正确；
对于D，因为满足条件的有两个，
所以即，故D正确.
故选：BCD.
10．ACD
【分析】取的中点为，由题意易知圆为四边形的外接圆，结合正余弦定理求相关线段长，进而判断各项的正误.
【详解】取的中点为，
由题意，圆为四边形的外接圆，记该外接圆的半径为，
在中，，所以，
由，
所以，，，
四边形的周长为，
四边形的面积为.
故选：ACD
11．AD
【分析】根据全称量词命题与存在量词命题的关系，一元二次不等式恒成立，数形结合可求的取值范围，举反例，正弦定理判断各个选项.
【详解】对于A，命题：，的否定是：，，故A正确；
对于B，因为是一元二次不等式，故，
因为一元二次不等式对一切实数都成立，
所以.故B错误；
对于C，由不能推出，例如，但；
也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，根据，，，由正弦定理，
可得，
因为，所以，
所以有两个值（一个锐角，一个钝角）满足条件的有两个，故D正确.
故选：AD.
12．
【分析】根据面积公式，以及余弦定理解三角形.
【详解】由面积公式可得，
即，化简得，
解得，又，所以.
故答案为：.
13．
【分析】由，，得到，从而，代入满足的余弦定理，求得a，c，并求得sinB，则由面积公式即可求得三角形面积.
【详解】，．
因为，，
所以，即，
由余弦定理得，
又因为，，
所以，所以，从而．
又因为且，
所以．
因此 ．
故答案为：．
14．
【分析】根据题目已知等式和正弦定理求出的大小，进而得到，利用余弦定理求出，再根据与的面积之比得到，最后代入斯图瓦尔特定理中的表达式即可.
【详解】由及正弦定理可得，
由，可得，，即，
结合，因此，，
由结合余弦定理，得，
由的面积与的面积之比为2，可得，取，，
由斯图瓦尔特定理可得，故.
故答案为：.
15．(1)最小正周期为，，
(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）由（1）及，求得，根据正弦定理得到，，得到，结合，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，
所以函数的最小正周期为，
令，解得，
所以函数的单调递增区间是，.
（2）由（1）可得，因为，可得，
由正弦定理可知，所以，，
由及为锐角三角形，解得，
则
.
因为，可得，所以，
所以，
故周长的取值范围为.
16．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理边角互化和三角恒等变换求得，根据即可求得外接圆的半径；
（2）先由题设及余弦定理求得与，再根据平分线条件利用底面积法得到即可求得；
（3）将两边平方，结合余弦定理求得，即可求得面积.
【详解】（1）由题意知，由正弦定理得，
即，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，即，
因为，所以，所以，，
令外接圆的半径为，
根据正弦定理可得，即
（2）由（1）知，
在中，由余弦定理得，
所以，即，
∵的周长为15，，∴，
所以，解得，
因为，
因为是的平分线，
所以
即，解得
（3）因为，
所以，
又，所以，即
又，
解得
所以.
17．
【分析】利用等比中项及正弦定理、余弦定理求出，再分奇偶求出，分组求和即可得解.
【详解】因为成等比数列，所以，即．
又，所以，即，
由知，所以．
当为偶数时，；
当为奇数时，，
所以
．
18．(1)
(2).
【分析】（1）首先根据题意得到，再求其值域即可.
（2）首先根据得到，再利用余弦定理和基本不等式得到，再求面积的最大值即可.
【详解】（1）因为函数.
所以，
因为，所以，
可得：.
（2）因为，可得：，
因为，可得：，解得：.
因为，可得.
（当且仅当时取等号）
则，即.
.
因为，所以
当且仅当时，取等号.
因此，面积的最大值为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而求得的值；
（2）根据题意，由余弦定理得到，利用基本不等式，求得，进而得到，结合三角形的性质，即可求得周长的取值范围；
（3）由正弦定理求得，化简，根据锐角中，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
则．
所以，
又因为，可得，所以，即，
因为，所以．
（2）解：由（1）知，，由余弦定理得，
因为，所以．
又由基本不等式，可得，即，所以，
当且仅当时，等号成立，
又因为，即，
因为，所以，
所以，即周长的取值范围是．
（3）解：因为且，由正弦定理得，
可得，
因为，所以，
所以
，
又因为锐角中，可得，即，解得，
所以，所以，则，
即，所以的取值范围为.

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