资源简介

统计与概率：独立事件的概率、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练
考点目录
独立事件的概率 条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
(
考点一
独立事件的概率
)
1．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）甲、乙两名射击手在一次射击中，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，现两人各射击一次，则至少有一人中靶的概率是（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.8
【答案】B
【详解】记“甲中靶”为事件，“乙中靶”为事件，且两事件相互独立；
则可得，；
所以至少有一人中靶概率为.
故选：B
2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
【答案】B
【详解】由题意可得两次取球所有可能情况为，，，，，，
，，，，，共种情况；
第一次取出的球的数字是1，所有可能为，，共3种情况；
第二次取出的球的数字是2，所有可能为，，共3种情况；
则两次取出球的数字之和为，的所有可能为，，，共种情况；
两次取出球的数字之和为，所有可能为，共种情况；
记“第一次取出的球的数字是1”为，“第二次取出的球的数字是2”为，
“两次取出的球的数字之和是5”为，“两次取出的球的数字之和是4”为，
则，，，.
A：当出现情况时，甲丙同时发生，则，
故甲丙相互独立，故A正确；
B：当出现情况时，甲乙同时发生，则，
故甲乙不相互独立，故B错误；
C：由不可能同时发生，故丙与丁互斥，故C正确；
D：由于两次不可能都取2，故乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故D正确；
故选：B.
3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）某人练习投篮，投中的概率为，若第一次未投中，则进行第二次投篮，若又未投中，则进行第三次投篮，设直到投中为止投篮的次数为，则“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，；
当时，；
当时，；
所以“”的概率为.
故选：D.
4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】如图所示，在一次比赛中，试验的基本事件的空间共有9个基本事件组成，
其中甲获胜的包含3个基本事件，所以甲在一次试验中获胜的概率与平局的概率均为，
又由事件“甲在第1局或第2局获胜”，记事件“甲在第1局获胜”，事件“在第1局平局，第2局甲获胜”，
可得事件互斥，且，
所以事件的概率.
故选：B.

5．（25-26高二上·广东·阶段练习·多选）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
【答案】BC
【详解】依题意，
则，，，，，
所以，，，，
故与相互独立，与相互独立，与不相互独立，与不相互独立.
故选：BC.
6．（25-26高二上·海南海口·阶段练习·多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球甲,表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（ ）
A．甲与乙不相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立
【答案】ABC
【详解】由题意有共有12种情况，
甲事件：第一次取出的球的数字是1所有可能为共3种情况；
乙事件：第二次取出的球的数字是2所有可能为共3种情况；
丙事件：两次取出的球的数字之和是5所有可能为共有4种情况；
丁事件：两次取出的球的数字之和是4所有可能为共有2种情况；
所以，
对于A：当出现时，甲乙同时发生，所以，所以甲乙不相互独立，故A正确；
对于B：当出现时，甲丙同时发生，所以，所以甲丙相互独立，故B正确；
对于C：可得乙丁不能同时发生，则乙与丁互斥，故C正确；
对于D：由，所以丙与丁不相互对立，故D错误.
故选：ABC.
7．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
【答案】
【详解】设“开关，，闭合”分别为事件，，，则灯亮这一事件为，且，，相互独立，互斥，
所以，
故答案为：.
8．（25-26高三上·浙江杭州·期中）一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为
【答案】
【详解】记“当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭”事件A，
由题意可知：第1轮结束不会有奖池关闭，且①号奖池与②号奖池被关闭的概率相同，
不妨设被关闭的奖池为①号，
若直到第2轮有一个奖池关闭，前两轮均为①号奖池，后两轮不能均为②号奖池，
则概率为；
若直到第3轮有一个奖池关闭，第3轮为①号奖池，前两轮有一次为①号奖池，同时前4轮不能出现2次②号奖池，
则概率为；
若直到第4轮有一个奖池关闭，第4轮为①号奖池，前三轮有一次为①号奖池，同时前三轮不能出现2次②号奖池，
则概率为；
所以.
故答案为：.
9．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率：
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和.
【答案】(1)；
(2)，.
【详解】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品全是优质品为事件，
第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，
这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，
则
.
（2）第一次取出的4件，费用400元；
如果，再取4件，费用800元；
如果，再取1件，费用500；
其它情况（，，），不继续取出，费用保持400元，
，
.
10．（25-26高三上·福建·阶段练习）在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响.
(1)求甲队以获胜的概率；
(2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【详解】（1）设“甲队以3：1获胜”，则甲队必在第四场获胜，第2，3场中胜1场负1场，
则.
（2）根据题意可取，
当时，即甲再连胜2场，所以，
当时，有2种情况，甲胜或乙胜，
所以，
当时，有2种情况，甲胜或乙胜，
所以，
所以的分布列为：
3 4 5
所以数学期望.
11．（25-26高三上·上海·阶段练习）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%.
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值.
(1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
(2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由题意，样本中日均户外活动时长不低于1小时的学生有人，
其中近视的学生有人，
所以估计该校日均户外活动时长不低于1小时学生的近视率为．
（2）设事件“从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，这4名学生中恰有2名近视”．
由题意，从该校日均户外活动时长低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为，
从该校日均户外活动时长不低于1小时的学生中随机选取1名，这名学生近视的概率为．
则．
12．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）学校体育教研组创作了一项新的课间“健身操”项目，为了解学生对该项目是否支持，对学生进行简单随机抽样调查，获得数据如下表：
人数性别 支持 不支持
男生 400 200
女生 300 100
假设每个学生对该项目是否支持是相互独立的.
(1)从该校全体男生、全体女生中各随机抽取1人，求2人都支持该项目的概率.
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持项目的概率.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）记“该校男生支持项目”为事件A，“该校女生支持项目”为事件B，
则：，，
∵A与B相互独立，
∴；
（2）设“抽取的2个男生和1个女生中，支持项目的恰有2人”为事件C，
则，
这3人中恰有2人支持项目的概率为.
13．（25-26高三上·宁夏·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分．
(1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率；
(2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X．
①求；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？
【答案】(1)；
(2)①；②或或．
【详解】（1）甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.
（2）①．
②由①知，由题知，
所以，
由，
得到且，
整理得到，即，
得到，所以，
由题有，所以，得到，又，
所以或或.
14．（25-26高二上·广东·阶段练习）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立.
(1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率；
(2)求前4局中甲参与了3局的概率；
(3)求第4局是甲、乙对打的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）若第2局甲轮空，第3局乙轮空，其概率为.
若第2局乙轮空，第3局甲轮空，其概率为.
故所求概率为.
（2）分三种情况.
第一种情况：甲第2局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第2局轮空，所以第3局一定有甲参与，且由甲开球，而要参与第4局，则第3局甲胜，
其概率为.
第二种情况：甲第3局轮空，则其他3局都参与了.
因为甲第3局轮空，所以第4局一定有甲参与，且第2局甲负，
其概率为.
第三种情况：甲第4局轮空，则其他3局都参与了.
其概率为.
故所求概率为.
（3）第4局是甲、乙对打，分两种情况讨论： 情况一：第1局甲胜，第2局丙胜，第3局乙胜.
此时第2局为甲丙对打，第3局为乙丙对打（甲轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为. 情况二：第1局乙胜，第2局丙胜，第3局甲胜.
此时第2局为乙丙对打，第3局为甲丙对打（乙轮空），第4局为甲乙对打.
其概率为.
故所求概率为
(
考点二
条件概率
)
1．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75
【答案】D
【详解】设事件A：阅读过《红楼梦》；事件B：阅读过《三国演义》，
则，则，
而，即，
故，
故，
即现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为0.75，
故选：D
2．（25-26高三上·山西大同·阶段练习）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由于 服从两点分布，且 ，
因此.
由全概率公式得，
即，
所以，
由条件概率计算公式得.
故选：D
3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知事件和事件满足：，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】，
，
．
故选：D．
4．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知随机事件互相独立，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为随机事件互相独立，所以，
则，
,
解得，，，
．
故选：A．
5．（2025·贵州·模拟预测·多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）

A．
B．与相互独立
C．
D．
【答案】ACD
【详解】由题意可知，，，，则，
则，故A正确；
，，
则，故与不独立，故B错误；
，故C正确；
，故D正确.
故选：ACD
6．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【详解】对于A，由古典概型可知，故A错误；
对于B，由条件概率可知表示在由甲箱中取出的是白球的条件下，从乙箱中取出的是白球的概率，
当甲箱中取出的是白球放入乙箱后，乙箱中有4个白球和2个黑球，由古典概型可知；
对于C，由B选项分析同理可得，
由条件概率的定义可知，故C正确；
对于D，由全概率公式可得，故D错误.
故选：BC.
7．（24-25高二下·广东中山·期中）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是 ，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是 .
【答案】
【详解】①设“从2号箱中取出的是红球”，“从1号箱中取出的是红球”，
则，，
，，
故P(A)=；
②由①得从2号箱取出红球的概率是，
则从2号箱取出的红球来自1号箱的概率为，
则从2号箱取出红球来自1号箱的概率为.
故答案为：；.
8．（25-26高三上·广东·阶段练习）抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ．
【答案】
【详解】抛掷2颗骰子的试验有个基本事件，其中事件有30个基本事件，事件有8个基本事件，
则，，所以.
故答案为：
9．（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 25 150
女性 50 75
(1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．
附：．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表见解析，认为关注“湘超”赛事与性别有关
(2)
【详解】（1）列联表如下：
性别 不关注赛事 关注赛事 合计
男性 25 150 175
女性 50 75 125
合计 75 225 300
零假设为：关注“湘超”赛事与性别无关．
故依据小概率值的独立性检验，推断零假设不成立，
即认为关注“湘超”赛事与性别有关.
（2）由分层抽样可知，抽取男性市民2人，女性市民1人，
记“有且仅有2人顺利完成知识问答”为事件A，“这2人的性别不同”为事件B，
则，
，
则，
所以在有且仅有2人顺利完成知识问答的条件下，这2人的性别不同的概率为.
10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
(1)若 ，，已知一枚芯片合格，求其是通过测试 的概率 ;
(2)为估计 （1） 中的 ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过，试根据参考内容估计最小样本量.
参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.
【答案】(1)
(2)1000
【详解】（1）记事件：通过测试I，事件：通过测试II，事件B：芯片合格，
，，，，
，
则.
（2）因为，所以，，
，，
，
，
又，当且仅当时等号成立，
，均有，
取，则，
根据题意要使得总能不超过0.1，
当，即时满足条件，
最小样本量为1000.
11．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．
(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；
(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望；
(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益．
【答案】(1)
(2)分布列见解析；期望为元
(3)，
【详解】（1）设“小时后机器正常”为事件，设“加急检修，1小时修复”为事件，设“常规检修，1小时修复”为事件．
由题意，，
从而2小时后机器正常的概率为
（2）依题意， 的所有可能的值为
的情况为第1个小时没有修复，第2个小时没有修复，第3个小时继续修，修了3个小时花费27元，
从而
的情况为第1个小时检修好，花费9元，第2个小时正常工作，收益10元，第3个小时也正常工作，收益10元，共收益11元，
从而
的情况为有1个小时收益10元，另外2个小时检修花费18元，
则
于是X的分布列为
X 11
P 0.01 0.27 0.72
数学期望为元．
（3）初始状态正常，即；1个小时后正常的概率为；2个小时后正常的概率为；
同理，n个小时后正常的概率为
即，故
从而数列是首项，公比为的等比数列，于是，
因此．
初始状态正常，第1个小时期望收益为元；第2个小时期望收益为；
同理，第k个小时期望收益为．
因此n个小时累计期望收益为
12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球.
(1)在前两次取球时，求在A取得4号球的条件下，B取得3号球的概率；
(2)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率；
(3)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利.求A取了3次小球并获得胜利的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）在前两次取球时，总的取法数有，A取得4号球的取法数有，
记A取得4号球为事件，则，记B取得3号球为事件，
A取得4号球的且B取得3号球的取法数为1，则，
所以；
（2）分析可得B前两次取得的小球编号之和为13时，取得的小球编号分别为6，7或5，8，
只需要分析前4次抽取的情况，一共有种取法，
当B取得的小球编号为6，7时，概率为，
当B取得的小球编号为5，8时，概率为，
所以B前两次取得的小球编号之和为13的概率为；
（3）A取了3次小球并获得胜利，说明A取了3次小球编号之和为13，
B取了2次小球编号之和不为13，A，B取球的总情况一共有种取法，
其中3次小球编号之和为13的组合有1，4，8；1，5，7；2，3，8；2，4，7；
2，5，6；3，4，6共6种情况．
当A抽取的小球编号为1，5，7；2，5，6时，共有种；
当A抽取的小球编号为1，4，8；2，3，8时，要排除B抽取到编号为6号和7号小球，此时共有种；
当A抽取的小球编号为2，4，7；3，4，6时，要排除B抽取到编号为5号和8号小球，此时共有种；
所以A取了3次小球并获得胜利的取法为种，
可得所求概率为．
13．（2025·广西·模拟预测）流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：.
【答案】(1)
(2)先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短
(3)证明见解析
【详解】（1）设使用治疗方案M治愈疾病S为事件D，使用治疗方案M能杀灭致病菌为事件E，
则，
因为事件发生则事件必发生，故
.
（2）设表示药物A能治愈疾病S的概率，表示药物B能治愈疾病S的概率.
则有，
设先用药物A再用药物B来治愈疾病S所需的天数为，先用药物B再用药物A来治愈疾病S所需的天数为，
则，，，
所以
.
同理得，，
则有.
从而有，
因此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短.
（3）设针对药物C的n次临床试验中未出现连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，
因此有，从而，从而，
由可得，所以有，
这表明随增大而增大，随增大而减小，所以有，
另一方面，由，
可得，即，
注意到，所以有，
即，
因为，所以有，
综上所述，.
(
考点三
全概率公式与贝叶斯公式
)
1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设从A站调度的充电桩为超级快充桩为事件，从A站调度的充电桩为普通充电桩为事件，
则，.
则.
故选：D
2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
【答案】D
【详解】设去西安市与汉中市旅游分别为事件，，则，.
设事件为去游乐园，则，.
所以.
故选：D
3．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由全概率公式知
，
所以.
故选：A
4．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　）
A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07
【答案】B
【详解】抛掷两颗骰子，基本事件有个，
其中和为偶数的基本事件有个，和为奇数的基本事件有个.
所以学生回答第一、第二个问题的概率均为.
第一个问题中，第一颗骰子的点数比第二颗大的概率为.
设该地区中学生吸烟人数的比例约为，
由题意：，解得.
结合选项，最接近的是.
故选：B
5．（2025·河北邯郸·一模·多选）某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ）
A．该人一周的跑步距离为12km的概率为
B．该人一周的跑步距离为11km的概率为
C．已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为
D．若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望
【答案】ACD
【详解】令事件表示第次跑步距离为，事件表示第次跑步距离为，，
所以，
令事件表示该人一周的跑步距离为12km，令事件表示该人一周的跑步距离为11km，
令事件表示该人被评定为“运动达人”，
对于A：，故A正确；
对于B：，故B错误；
对于C：，
所以，所以，故C正确；
对于D：由，所以，故D正确.
故选：ACD.
6．（25-26高三上·浙江·阶段练习·多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（ ）
A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等
B．时，球在乙手中的概率为
C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数
D．设球在乙手中的概率为，则
【答案】BCD
【详解】对于B：由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为；乙传给甲、丙、丁的概率分别为；
丙传给甲、乙、丁的概率分别为；丁传给甲、乙、丙的概率分别为；
传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙；⑥甲-丁-甲-乙；⑦甲-丁-丙-乙.
其概率为，B正确；
对于C：设传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，
则，所以，所以，所以是常数列，C正确；
对于D：当传球3次时，球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲；④甲-丙-乙-甲；⑤甲-丁-丙-甲；⑥甲-丁-乙-甲.
其概率为，
所以球在A队成员手中的概率为.
由C可知，传球次后，球在A队成员手中的概率为，在B队成员手中的概率为，
所以，整理得，
所以是公比为的等比数列.
当时，，整理得，D正确；
对于A：由时，球在乙手中的概率为，结合C可知球在甲手中的概率为，故两个概率不相等，A错误.
故选：BCD.
7．（25-26高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ．
【答案】/
【详解】设 “第1天去餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，
根据题意得，，，
由全概率公式，得，
即王同学第2天去餐厅用餐的概率为0.7，故王同学第2天去餐厅用餐的概率为.
故答案为：
8．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是 ．
【答案】
【详解】设“抽到的产品来自A生产线”，“抽到的产品来自B生产线”，“抽到的一件产品是次品”，
则，，
由全概率公式得，
所以它来自A生产线的概率是.
故答案为：
9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是 .
【答案】
【详解】根据题意可知：要保证重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变，须甲、乙各胜出一次.
记为甲第次胜出，；记为乙第次胜出，；
第一次取球，甲、乙均取到黑球，甲胜出的概率为.此时，B盒只余两个白球，A盒中有3个黑球1个白球，所以第二次乙只能取到白球，而甲取到黑球的概率为.
第一次取球，甲、乙均取到白球，甲胜出的概率为.此时，B盒中有1个白球1个黑球，A盒中有2个黑球2个白球，所以第二次乙取到白球、甲取到黑球的概率为，第二次乙取到黑球、甲取到白球的概率为，即该情况下，第二次乙胜出的概率为.
.第一次取球，甲取到白球、乙取到黑球，乙胜出的概率为.此时，A盒只余两个黑球，B盒中有1个黑球3个白球，所以第二次甲只能取到黑球，而乙取到黑球的概率为.
第一次取球，甲取到黑球、乙取到白球，乙胜出的概率为.此时，A盒中有1个白球1个黑球，B盒中有2个黑球2个白球，所以第二次甲、乙均取到黑球的概率为，第二次甲、乙均取到白球的概率为，即该情况下，第二次甲胜出的概率为.
因此，.
故重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是.
故答案为：.
10．（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球 羽毛球 篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球 羽毛球 篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换.
(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）；
(3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值.
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况：
①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1；
第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为；
第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
所以第一种情况的概率为；
②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1；
第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
所以第二种情况的概率为；
所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为.
（2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为，
则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物，
另一种是3枚徽章中有1枚不同动物，
记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件，
则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即，
在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即，
再根据全概率公式可得：
，
所以，
则是等比数列，即，
所以；
（3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动”概率为，
则，
第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
另一种是不包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
①甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
此时发生的概率为；
②甲的徽章不包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章，
当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后，
甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，此时发生的概率为；
再根据全概率公式可得：，
所以有，
即是等比数列，即，
当为奇数时，，且，
当为偶数时，，
所以当时，取到最大值.
11．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次.
(1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率.
(2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率.
(3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.）
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设事件H表示抛一次硬币正面向上，事件A表示选中硬币A，事件B表示选中硬币B，
则且与互斥，根据题意得，，，.
由全概率公式得.
因此抛一次硬币正面向上的概率为.
（2）设表示第一次正面向上，表示第二次正面向上，
则用贝叶斯公式结合（1）得，.
又，．
给定硬币类型，抛掷独立，故.
因此，所求概率为.
（3）事件F：“连续抛k次全为正面向上”，
则 “犯错误的概率” 即为，
硬币A连续k次正面向上的概率，
硬币B连续k次正面向上的概率.
根据贝叶斯公式.
此值不超过，即.即，，
由，得，所以，得.
取自然对数并由于，.
因此，k的最小值为不小于该值的最小整数：.
12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
0 1 2 3
概率
其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.）
(1)若，求的值以及；
(2)为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育 医疗福利的增加等）.
①若希望增大，如何调控的值？
②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由.
【答案】(1)
(2)①增大的值，详见解析；②存在的值使得，的取值范围是.
【详解】（1）由题可知：.因为，所以，所以.
分析可得：
事件的概率；
事件表示一个家庭有一个孩子，且是男孩.所以；
事件表示一个家庭有两个孩子，且均是男孩.所以；
事件表示一个家庭有三个孩子，其中有两个是男孩、一个是女孩或三个均是男孩.所以
.
所以.
（2）①由题可知：，所以.
令，则.
令，则.
当时，，所以函数单调递增，所以，即，所以函数单调递减.
因此，当增大时，减小.因为，所以增大，即增大.
故若希望增大，可增大的值.
②由①得：，所以.
设存在的值使得，则，
因为，所以，即.
整理得：，即.
因为，所以，所以.
所以存在的值使得，的取值范围是.
13．（2025·四川达州·模拟预测）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”.
(1)若，求的分布列和；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
（ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率；
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析
【详解】（1）因为，，
可能的取值有0，1，2，3，
，，，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
；
（2）（ⅰ）记发出信号0和1分别为事件，
接受信号0和1分别为事件，
则，，
，
，
所以，
所以；
（ⅱ）由（ⅰ）知，
，
所以，
所以，
设，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，即，
所以，
所以，
当且仅当，
即，时等号成立，即得证.
14．（25-26高三上·广东惠州·阶段练习）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.
(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
【详解】（1）投掷两颗骰子共有36个样本点，和为4的倍数的样本点有：
，共9个样本点.
所以一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概率为.
依题意，X可取0，1，2，3，
，
，
，
.
0 1 2 3
.
（2）若第1次从小芳开始，则第次由小芳投掷骰子有两种情况：
①第次由小芳投掷，第次继续由小芳投掷，其概率为；
②第次由小明投掷，第次由小芳投掷，
其概率为.
因为①②两种情形是互斥的，
∴，
∴.
因为，所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列.
∴，
∴.
15．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）甲有两辆自行车，且每天都去体育馆锻炼.若甲去体育馆时，只要不下雨且家里有自己的自行车，他就会骑自行车过去．若甲回家时，只要不下雨且体育馆有自己的自行车，他就会骑自行车回家.其他情况下均走路去体育馆或回家．假设甲每天去体育馆时，回家时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每次下雨与否互不影响．当前甲的自行车一辆在家里，一辆在体育馆．
(1)设甲第一天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为，求的分布列与期望．
(2)设甲连续天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为0，1的概率分别为，．
①求；
②证明：．
【答案】(1)分布列见解析；1
(2)①，；②证明见解析
【详解】（1）由题意可知的取值可能为，
当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时不下雨，回家时下雨，
则,
当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时不下雨，回家时也不下雨，
或甲第一天去体育馆锻炼时下雨，回家时也下雨，
则；
当时，表示甲第一天去体育馆锻炼时下雨，回家时不下雨，
则，
故X的分布列为：
X 0 1 2
P
则.
（2）①由（1）可知，
则；
；
②设为连续天去体育馆锻炼回到家后，家中有2辆自行车的概率，则，
则，，
故
.统计与概率：独立事件的概率、条件概率、全概率公式与贝叶斯公式专项训练
考点目录
独立事件的概率 条件概率
全概率公式与贝叶斯公式
(
考点一 独立事件的概率
)
1．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）甲、乙两名射击手在一次射击中，甲的中靶概率为0.4，乙的中靶概率为0.5，现两人各射击一次，则至少有一人中靶的概率是（ ）
A．0.9 B．0.7 C．0.5 D．0.8
2．（25-26高二上·广东汕头·阶段练习）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则下列选项错误的是（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与乙相互独立 C．丙与丁互斥 D．乙与丁互斥
3．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）某人练习投篮，投中的概率为，若第一次未投中，则进行第二次投篮，若又未投中，则进行第三次投篮，设直到投中为止投篮的次数为，则“”的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·山东潍坊·阶段练习）已知甲、乙两人通过“石头、剪刀、布”决定谁先开始游戏，规则为：每局中两人出法相互独立，且出石头、剪刀、布的概率均为，若两人出法不同则直接定胜负（石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头），若出法相同则重新开局．记“甲在第1局或第2局获胜”为事件A，则（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高二上·广东·阶段练习·多选）如图，一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.表示事件“数字为质数”，表示事件“数字为偶数”，表示事件“数字大于4”，表示事件“数字为8”，则（ ）
A．与相互独立 B．与相互独立
C．与相互独立 D．与相互独立
6．（25-26高二上·海南海口·阶段练习·多选）有4个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，从中不放回的随机取两次，每次取1个球甲,表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是5”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是4”，则（ ）
A．甲与乙不相互独立 B．甲与丙相互独立
C．乙与丁互斥 D．丙与丁互为对立
7．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）在如图所示的电路图中，开关，，正常工作的概率分别为，，，且是相互独立的，则灯亮的概率是
8．（25-26高三上·浙江杭州·期中）一游戏的规则如下：有①②③三个奖池，在开始时三个奖池都处于开启状态，游戏会进行若干轮，每一轮游戏都将等可能地从开启的奖池中随机选择一个并获得对应的奖品，在一个完整游戏流程中：①号奖池或②号奖池会在第二次被选择到后永久关闭，而③号奖池永远保持开启.则当游戏第轮进行完成时，恰有一个奖池关闭的概率为
9．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）一批产品的质量检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为.如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为0.5，且各件产品是否为优质品相互独立.
(1)求这批产品通过检验的概率：
(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），分别求和.
10．（25-26高三上·福建·阶段练习）在某次篮球团体比赛中甲乙两支球队进入总决赛，比赛采用5局3胜制，只要有一支球队先获胜3场比赛结束.在第一场比赛中甲队获胜，已知甲队第2，3，4场获胜的概率为，第5场获胜的概率为，各场之间互不影响.
(1)求甲队以获胜的概率；
(2)设表示决出冠军时比赛的场数，求的分布列与数学期望.
11．（25-26高三上·上海·阶段练习）为调查JC学生户外活动时长和视力的关系，某研究小组在该校随机选取了100名学生，记录他们的日均户外活动时长（单位：小时）及近视情况，统计得到：日均户外活动时长在区间内有70人，近视率为80%；日均户外活动时长在区间内有20人，近视率为40%；日均户外活动时长在区间内有10人，近视率为20%.
注：近视率是指某区间内近视人数与该区间内人数的比值.
(1)估计该校日均户外活动时长不低于1小时的学生的近视率；
(2)用频率估计概率从该校日均户外活动时长低于1小时的学生和不低于1小时的学生中各随机选取2名，求这4名学生中恰有2名近视的概率；
12．（25-26高二上·黑龙江·阶段练习）学校体育教研组创作了一项新的课间“健身操”项目，为了解学生对该项目是否支持，对学生进行简单随机抽样调查，获得数据如下表：
人数性别 支持 不支持
男生 400 200
女生 300 100
假设每个学生对该项目是否支持是相互独立的.
(1)从该校全体男生、全体女生中各随机抽取1人，求2人都支持该项目的概率.
(2)从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持项目的概率.
13．（25-26高三上·宁夏·开学考试）甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往的训练数据可知，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响．现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投2个球，每投进一个球记1分，不投进记分．
(1)求甲在一个轮次投篮结束后的得分不大于0的概率；
(2)记甲、乙每轮次投篮得分之和为X．
①求；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”．在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”的数量为Y，当n为何值时，的值最大？
14．（25-26高二上·广东·阶段练习）甲、乙、丙3人打台球，约定：第1局甲、乙对打，且由甲开球，丙轮空；此后每局的胜者与轮空者进行下一局对打，并由轮空者开球.假设甲、乙、丙3人打台球的水平相同，且开球者获胜的概率为，每局台球的结果相互独立.
(1)求前3局中甲、乙、丙各自轮空1局的概率；
(2)求前4局中甲参与了3局的概率；
(3)求第4局是甲、乙对打的概率.
(
考点二 条件概率
)
1．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）语文老师想了解全班同学课外阅读中国古典四大名著的情况，经调查，全班同学中阅读过《红楼梦》的占，阅读过《三国演义》的占，阅读过《红楼梦》或《三国演义》的占，现从阅读过《三国演义》的同学中随机抽取一位同学，该同学阅读过《红楼梦》的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.45 D．0.75
2．（25-26高三上·山西大同·阶段练习）已知随机变量，均服从两点分布，且，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知事件和事件满足：，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知随机事件互相独立，满足，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·贵州·模拟预测·多选）在遵义市独竹漂表演中，选手需要完成“独立平衡”和“绕标滑行”两个项目才能完成表演（如图）.已知某选手完成“独立平衡”项目的概率为0.9；该选手完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.8；该选手未完成“独立平衡”，则完成“绕标滑行”的概率为0.4.设事件A为该选手完成“独立平衡”，事件B为该选手完成“绕标滑行”，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．与相互独立
C．
D．
6．（24-25高二下·福建漳州·期末·多选）甲箱中有2个白球和3个黑球，乙箱中有3个白球和2个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（24-25高二下·广东中山·期中）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球.现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱，然后从2号箱中随机取出1个球，则从2号箱取出红球的概率是 ，从2号箱取出红球来自1号箱的概率是 .
8．（25-26高三上·广东·阶段练习）抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件为“2个骰子的点数不相同”，事件为“点数之和大于8”，则在事件发生的条件下，事件发生的概率是 ．
9．（2025·湖南·模拟预测）近日，2025年湖南省城市足球联赛（被球迷称为“湘超”）如火如荼地进行，引发广泛关注．某地区随机抽取了部分市民，调查他们对赛事的关注情况，得到如下表格：
性别 不关注赛事 关注赛事
男性 25 150
女性 50 75
(1)列出列联表并根据小概率值的独立性检验，能否认为关注“湘超”赛事与性别有关？
(2)现从被调查的关注赛事的市民中，按照性别比例采用分层抽样的方法随机抽取3名市民参加“湘超”赛事知识问答．已知男性、女性市民顺利完成知识问答的概率分别为，，每个人是否顺利完成相互独立．求在有且仅有2人顺利完成的条件下，这2人的性别不同的概率．
附：．
0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
10．（25-26高三上·湖南长沙·阶段练习）某人工智能芯片需经过两道独立的性能测试.首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试II），通过率为.通过任意一次测试即为合格芯片，否则报废.
(1)若 ，，已知一枚芯片合格，求其是通过测试 的概率 ;
(2)为估计 （1） 中的 ，工厂随机抽取m枚合格芯片，其中k枚为通过测试I.记.若要使得总能不超过，试根据参考内容估计最小样本量.
参考内容：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意，均有.
11．（25-26高三上·云南昭通·阶段练习）某工厂一台自动加工机器有两种状态：正常和故障．每小时初检查机器状态，若正常，则继续工作；若故障，则进行检修．机器在正常状态下，1小时内都不会发生故障，1小时后故障的概率为0.2，故障时有两种检修方案：方案一是加急检修，1小时修复的概率为0.9，费用为9元/小时；方案二是常规检修，1小时修复的概率为0.6，费用为6元/小时．若1小时内无法修复，则下1小时继续采用同样的检修方案．机器正常工作1小时可收益10元．各小时机器状态是否正常相互独立．
(1)假设机器初始状态为正常，若机器出现故障则随机选择检修方案，求2小时后机器正常工作的概率；
(2)假设机器初始状态为故障，并一直选择加急检修，求3小时内机器的总收益的分布列和数学期望；
(3)假设机器初始状态为正常，并长期选择常规检修，记小时后（）机器正常的概率为，求并计算个小时的累计期望收益．
12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）某箱子中放有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的大小与形状都相同的小球，现由A，B二人轮流从该箱子中不放回地取出小球，并记下小球的编号，若A先取小球.
(1)在前两次取球时，求在A取得4号球的条件下，B取得3号球的概率；
(2)求B前两次取得的小球编号之和为13的概率；
(3)当有一人所取出的小球编号之和为13时，游戏结束，并判定此人胜利.求A取了3次小球并获得胜利的概率.
13．（2025·广西·模拟预测）流行病学调查表明某种疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，且至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈.
(1)若有某种治疗方案M，有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.若这种治疗方案不能杀灭致病菌，则它有的概率能杀灭致病菌.求使用治疗方案M痊愈的条件下，能杀灭致病菌的概率；
(2)若市面上仅有两款药物A和药物B对疾病S有疗效，且这两种药物的疗程各均为3天（假定药物使用时，均按疗程服用3天），超过3天无效时需换药进行治疗.若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈.已知药物A杀灭致病菌和致病菌的概率分别为、，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立.药物B杀灭致病菌和致病菌的概率均为.请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？
(3)已知某种药物C能治愈疾病S的概率为.设针对药物C的次临床试验中有连续3次或连续3次以上治愈疾病S的概率为，且每次治疗结果相互独立.求证：.
(
考点三 全概率公式与贝叶斯公式
)
1．（2025·广东深圳·模拟预测）近期某市推进“光储充一体化”充电站建设，现有A充电站配备2个超级快充桩和3个普通充电桩，B充电站配备1个超级快充桩和3个普通充电桩，为优化资源配置，系统随机从A站调度1个充电桩至B站，随后技术人员从B站随机选取2个充电桩进行升级调试，记“选取的两个充电桩均为普通桩”为事件B，则（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）全概率公式指的是：设为样本空间，若事件两两互斥，，则对任意的事件，有.小张一家打算去西安市或汉中市旅游，去西安市与汉中市的概率分别为0.7，0.3，在西安市去游乐园的概率为0.6，在汉中市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
3．（25-26高三上·四川成都·阶段练习）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26高二上·安徽马鞍山·开学考试）某地区公共卫生部门为了了解本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的200名学生进行调查．为了得到该敏感性问题的诚实反应，设计如下方案：每个被调查者先后抛掷两颗骰子，调查中使用两个问题：①第一颗骰子的点数是否比第二颗的大？②你是否经常吸烟？两颗骰子点数和为奇数的学生如实回答第一个问题，两颗骰子点数和为偶数的学生如实回答第二个问题．回答“是”的学生往盒子中放一个小石子，回答“否”的学生什么都不用做．若最终盒子中小石子的个数为57，则该地区中学生吸烟人数的比例约为（　　）
A．0.035 B．0.15 C．0.105 D．0.07
5．（2025·河北邯郸·一模·多选）某健身爱好者每周进行两次跑步训练，每次跑步距离为5km或6km，第一次跑步距离为5km或6km的概率均为，若第一次跑步距离为5km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为；若第一次跑步距离为6km，则第二次跑步距离为5km的概率为，跑步距离为6km的概率为.若一周跑步距离超过10km可以评定为“运动达人”，则（ ）
A．该人一周的跑步距离为12km的概率为
B．该人一周的跑步距离为11km的概率为
C．已知该人被评定为“运动达人”，则该人一周内跑步距离为12km的概率为
D．若该人在连续的4周内被评定为“运动达人”的次数为，则的数学期望
6．（25-26高三上·浙江·阶段练习·多选）现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为队，丙、丁为队．已知甲、乙传给队友的概率为，丙、丁传给队友的概率为，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员．现从甲开始传球，设传球次数为（且），则（ ）
A．传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等
B．时，球在乙手中的概率为
C．传球次后，球在队成员手中的概率恒为一个常数
D．设球在乙手中的概率为，则
7．（25-26高三上·天津·阶段练习）某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐，如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.6；如果第1天去餐厅，那么第2天去餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去餐厅用餐的概率为 ．
8．（25-26高三上·河南驻马店·开学考试）某批产品来自A，B两条生产线，A生产线占，次品率为；B生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，若抽到的是次品，则它来自A生产线的概率是 ．
9．（25-26高三上·重庆·阶段练习）已知有A，B两个盒子，其中A盒装有2个黑球和1个白球，B盒装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入A盒中；若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重复操作两次后，A盒，B盒中球的个数保持不变的概率是 .
10．（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球 羽毛球 篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球 羽毛球 篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换.
(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）；
(3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值.
11．（25-26高三上·四川泸州·开学考试）有两枚硬币A，B．假设抛硬币时所得的结果只能为正面向上的一种，抛硬币A正面向上的概率为，抛硬币B正面向上的概率为p.现在先从两枚硬币中随机选中一枚，然后抛掷若干次.
(1)若，求抛一次硬币，正面向上的概率.
(2)若，在已知抛了一次硬币，正面向上的条件下，求再抛一次硬币得正面向上的概率.
(3)如果当连续抛硬币k次（，）全为正面向上的前提下，可以做出论断“选中的是B硬币”，犯错误的概率不超过，则k的最小值为多少？[提示：用表示不小于x的最小整数.）
12．（25-26高三上·重庆·阶段练习）根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子的概率模型为：
0 1 2 3
概率
其中.每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件表示一个家庭有个孩子，事件表示一个家庭的男孩比女孩多（如果一个家庭只有一个孩子且是男孩，则该家庭男孩多.）
(1)若，求的值以及；
(2)为了调控未来人口结构，需要调控的值，其中参数受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育 医疗福利的增加等）.
①若希望增大，如何调控的值？
②是否存在的值使得？若存在求出的值或范围，若不存在请说明理由.
13．（2025·四川达州·模拟预测）在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，.定义随机变量的信息量，和的“距离”.
(1)若，求的分布列和；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1.现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为.
（ⅰ）若，，求接收台收到信号为1的条件下，发报台发出信号为1的概率；
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：.
14．（25-26高三上·广东惠州·阶段练习）小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的两颗骰子的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的两颗骰子的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷.
(1)若第1次从小明开始，设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
(2)若第1次从小芳开始，求第n次由小芳投掷的概率.
15．（25-26高三上·河北邢台·阶段练习）甲有两辆自行车，且每天都去体育馆锻炼.若甲去体育馆时，只要不下雨且家里有自己的自行车，他就会骑自行车过去．若甲回家时，只要不下雨且体育馆有自己的自行车，他就会骑自行车回家.其他情况下均走路去体育馆或回家．假设甲每天去体育馆时，回家时下雨的概率均为，不下雨的概率均为，且每次下雨与否互不影响．当前甲的自行车一辆在家里，一辆在体育馆．
(1)设甲第一天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为，求的分布列与期望．
(2)设甲连续天去体育馆锻炼回到家后，家中自行车的数量为0，1的概率分别为，．
①求；
②证明：．

展开更多......

收起↑