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高二数学 人教2019A版选择性必修一 直线方程专项培优训练
一、单选题
1．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段练习）已知的三个顶点，将绕顶点逆时针旋转，此时边上的中线所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26高二上·江苏淮安·阶段练习）已知两定点，动点在直线上，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．
3．（25-26高二上·河南·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点是线段上的动点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（25-26高二上·江苏·阶段练习）已知点，若直线与线段AB相交，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．（25-26高二上·山东·阶段练习）已知圆，直线，则圆上到直线的距离等于的点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（25-26高二上·北京·阶段练习）已知直线，，若，则（ ）
A．1或2 B．0 C． D．0或
7．（25-26高二上·江苏连云港·阶段练习）已知点，，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26高二上·广东佛山·阶段练习）已知的顶点坐标分别为、、，过原点斜率为的直线与的边有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（23-24高二上·广东·期中）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距是
C．过点且在轴截距相等的直线方程为
D．已知直线与直线平行，则平行线间的距离是1
10．（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，则下列说法正确的是（ ）
A．的充要条件为或
B．若，则
C．若直线不经过第四象限，则
D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为
11．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在直角坐标系中，，则以下判断正确的是（ ）
A．为直角三角形 B．，，，依次连起来是一个四边形
C． D．
三、填空题
12．（23-24高二上·山西运城·期中）若，点到直线的距离是，则这条直线的斜率是 .
13．（25-26高二上·全国·期中）若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为 ．
14．（24-25高二下·上海浦东新·期中）上海市实验学校高二理科班学习创新小组在一次偶然情况下发现：唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”其诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营.上实高二理科班创新学习小组做了两种假设：（1）若军营所在区域为：；（2）若军营所在区域为：；试问军营在（1）（2）两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程的相差值为 .
四、解答题
15．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两直线，．
(1)求直线与的交点的坐标；
(2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程；
(3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围．
16．（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知直线．
(1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值；
(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．
17．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线.
(1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程；
(2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值.
18．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线．
(1)求直线所过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围；
(3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程．
19．（24-25高一下·上海松江·阶段练习）人脸识别技术在社会各行各业中的应用深刻改变着人们的生活．所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像、并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份．在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要运用距离进行测试，经常使用的测量距离有曼哈顿距离和余弦距离．若二维空间有两个点，则A，B之间的曼哈顿距离为：．A，B之间的余弦距离为，其中为A，B之间的余弦相似度．
(1)若，求A，B之间的曼哈顿距离和余弦距离；
(2)已知，且．
①求N，P之间的余弦距离；
②求N，P之间的曼哈顿距离．
《高中数学 人教2019A版 选择性必修一 直线方程专项培优训练》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D C C B B C D ABD BCD
题号 11
答案 ACD
1．B
【分析】先求得旋转前边上的中线所在直线方程，然后结合三角恒等变换求得旋转后边上的中线所在直线方程，从而确定正确答案.
【详解】依题意，，所以线段中点坐标为，
所以旋转前边上的中线所在直线方程为，
整理得，设此时边上的中线所在直线的倾斜角为，
则，为钝角，
则，
所以旋转后边上的中线所在直线的斜率为，
此时边上的中线所在直线方程为，
整理得.
故选：B
2．D
【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值.
【详解】取点关于直线对称点，设，
则，解得，即，
则，
当且仅当、、三点共线时取等.

故选：D.
3．C
【分析】由题意可知：表示点与点连线的斜率，结合图象分析斜率的取值范围即可.
【详解】当时，；当时，，
所以线段的最左端是，最右端是，
表示点与点连线的斜率，
当点在点A处时，；
当点在点B处时，；

结合图象可知，的取值范围是．
故选：C．
4．C
【分析】根据直线恒过定点且斜率为，数形结合确定直线与线段AB相交情况下参数的范围.
【详解】由题设，恒过点且斜率为，如下图示，
所以，，
由图知，要使直线与线段有交点，则或，故或.
故选：C
5．B
【分析】先确定圆的圆心坐标与半径, 再求出圆心到直线的距离, 从而可得结论.
【详解】由，可得，
所以圆心的坐标为, 半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以圆与直线相交，且圆上与直线的距离等于的点共有3个.
故选：B.
6．B
【分析】按是否为0分类，结合两直线平行的条件列式求解.
【详解】当时，直线与直线平行，则；
当时，由，得，此方程无解，
所以.
故选：B
7．C
【分析】求得直线恒过点，再求出，的值，结合图象求解即可.
【详解】直线恒过点，且斜率为，
因为，，如图所示：
由图知，当时，直线与线段没有交点，所以.
故选：C.
8．D
【分析】作出图形，将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，观察该直线倾斜角的变化，可得出的取值范围.
【详解】如下图所示：
将过原点直线记为直线，将直线绕着原点按逆时针方向旋转，
当的倾斜角为锐角时，且当直线从靠近轴的位置旋转至直线时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则；
当的倾斜角为钝角时，且当直线从直线的位置旋转至靠近轴的位置时，
此时直线的倾斜角逐渐增大，其斜率也在逐渐增大，则，
当直线与轴重合时，.
综上所述，的取值范围是.
故选：D.
9．ABD
【分析】利用变换主元法确定直线过定点可判定A项；利用截距的定义可判定B项；分类讨论截距是否为零结合截距式可判定C项；利用直线平行的充要条件及距离公式可判定D项.
【详解】对于A，由，显然时，恒成立，
即该直线恒过定点，故A正确；
对于B，根据直线的斜截式定义可确定直线在y轴上的截距是，故B正确；
对于C，若截距均为0，则该直线为；
若截距不为0，可设该直线方程为，代入点可得，
即，故C错误；
对于D，由两直线平行可知，
此时方程可化为，故两直线距离为，
故D正确.
故选：ABD
10．BCD
【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D.
【详解】对于A， 显然直线的斜率存在，若，则，解得或，
经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确；
对于B，若，则，解得．故B正确；
对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确；
对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确.
故选：BCD
11．ACD
【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式、两点间距离公式逐项分析判断.
【详解】对于A，直线的斜率，直线的斜率，
，即，为直角三角形，A正确；
对于B，直线的斜率，点共线，B错误；
对于C，在中，，，
，C正确；
对于D，，，D正确.
故选：ACD

12．
【分析】由点到直线的距离公式求出的值，再结合的范围，求出的大小，即可求出直线的斜率．
【详解】由题意结合点到直线的距离公式可得：
又，故，所以，
，解得，又，故，所以，则这条直线的斜率
故答案为：
13．或13
【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案．
【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即，
由两平行直线间的距离公式得，解得或．
在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13.
故答案为：或13.
14．
【分析】若军营所在区域为，利用圆的方程的知识画出军营区域及河岸线，作出关于河岸线的对称点，根据对称性质和圆的性质即可求得；若军营所在区域为，先画出在第一象限的军营区域，再利用对称性画出运营区域，注意观察军营区域内哪一个到最近，即可求得.
【详解】（1) 若军营所在区域为，
圆：的圆心为原点，半径为1，作图1如下：
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，则，
又，联立解得：，即.
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，
即点到圆上的点的最短距离，即为.

（2）军营所在区域为，
对于，在，时为，令，得，令，则，
图形为连接点和的线段，根据对称性得到的图形为图2中所示的菱形，
容易知道：为这个菱形的内部(包括边界).
由图2可知，最短路径为线段，连接交直线于点，
则饮马最佳点为点Q，所以点到区域最短距离.
即“将军饮马”最短总路程为.
综上：两种不同区域下，“将军饮马”的最短总路程相差值为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标；
（2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可；
（3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可.
【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为．
（2）设所求直线为，
（ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得，
直线的方程为，即；
（ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得，
直线的方程为，即．
综上，直线的方程为或．
（3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；
（ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得；
（ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得．
综上，当，且，且时，能构成三角形．
16．(1)或
(2)最小值为16，此时直线l的方程为
【分析】（1）先分别求出直线l与x轴交点的横坐标和在y轴上的截距，再根据二者相等列方程求解k的值；
（2）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时k的值确定直线l的方程．
【详解】（1）当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意；
当时，直线l的方程为，
令，则，
令，则，
由题意得，即，
即，解得或，经检验，均成立．
综上，k的值为或．
（2）由题可知，由（1）知A，，
故,
当且仅当，即时取等号，
故S的最小值为16，此时直线l的方程为．
17．(1)
(2)
【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程；
（2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案.
【详解】（1）联立方程，解得；
因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为，
故所求直线方程为，即；
（2）设点关于直线对称的点为，
则，解得，即；
则,
故的最小值为.

18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【详解】（1）由，即，
则，解得，所以直线过定点.
（2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以，
此时，直线的方程可化为，记点，则，

由图可得，解得，因此，实数的取值范围是.
（3）已知直线，且由题意知，

令，得，得，
令，得，得，
则，
所以当时，取最小值，
此时直线的方程为，即.
19．(1)曼哈顿距离为2，余弦距离为
(2)①；②
【分析】（1）根据题意代入题目中的公式可得答案；
（2）①根据条件和两角和的余弦公式可求答案；②先求解，结合和角公式可得答案.
【详解】（1）由题意；
因为，
所以余弦距离为.
（2）①由题意，
由，可得，故；
因，故，
则，
又，
所以N，P之间的余弦距离为.
②由①可知，，
，
因，则，
所以N，P之间的曼哈顿距离为：
.

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