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专题练习03：数列的应用问题
基础巩固
1.某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是（ ）
A. B.
C.－1 D.－1
2.某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10％，那么到2025年一共退耕（ ）
A.10a（1.18－1）万亩
B.a（1.18－1）万亩
C.10a（1.17－1）万亩
D.a（1.17－1）万亩
3.一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为（ ）
A.米 B.米 C.米 D.米
5.某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的设备费用高42万元，第七实验室比第四实验室的设备费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（ ）
A.3 233万元 B.4 706万元 C.4 709万元 D.4 808万元
6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且从第二层开始，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一层正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为Sn，则（ ）
A.Sn无限大 B.Sn＜3（3＋）m
C.Sn＝3（3＋）m D.Sn可以取100m
7.如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了 支铅笔.
8.佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑，在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米，坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构，底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{an}的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米，根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（m∈N*）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1，3a2，4a3，…，（m＋1）·am（（m＋1）am表示高度为am的方体连续堆叠m＋1层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
9.京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率为20％，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始，第n年年底的速生林木保有量为an万立方米.
（1）求a1，请写出一个递推公式表示an＋1与an之间的关系；
（2）是否存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列，如果存在求出实数λ；
（3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：1.28≈4.3，1.29≈5.2，1.210≈6.2，1.211≈7.4）
综合运用
10.数列{an}满足an＝定义使a1·a2·a3·…·ak（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2 024]内所有“幸福数”的和为 .
11.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是 .
12.已知函数f（n）＝且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝ .
拔高拓展
13.（多选）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是（ ）
A.an－an－1＝n（n＞1） B.a20＝210
C.1 024是三角形数 D.＋＋＋…＋＝
14.0－1数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用.若数列{an}是0－1数列，当且仅当n＝6k±1（k∈N*）时，an＝1，设{an}的前n项和为Sn，则满足Sn＝200的n的最大值为（ ）
A.600 B.601 C.604 D.605
基础巩固
1.某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是（　C　）
A. B.
C.－1 D.－1
解析：设月平均增长率为p，则（1＋p）11＝m，∴p＝－1.
2.某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果2018年退耕a万亩，以后每年比上一年增加10％，那么到2025年一共退耕（　A　）
A.10a（1.18－1）万亩
B.a（1.18－1）万亩
C.10a（1.17－1）万亩
D.a（1.17－1）万亩
3.一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●….若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的●的个数是（　C　）
A.12 B.13 C.14 D.15
解析：从左到右，第一个●位于2的位置，第二个●位于2＋3＝5的位置，第三个●位于5＋4＝9的位置，….设第n个●位于an的位置，由规律可知an＝an－1＋n＋1（n≥2），则an＝an－1＋n＋1＝an－2＋n＋n＋1＝…＝a1＋3＋4＋…＋n＋1＝2＋3＋…＋n＋1＝（n≥2），而a14＝119＜120，所以前120个圈中的●的个数为14.
4.公元前5世纪，古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论：他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后，若阿基里斯跑了1 000米，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，乌龟领先他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，乌龟仍然领先他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律，若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10－2米时，乌龟爬行的总距离为（　B　）
A.米 B.米 C.米 D.米
解析：由题意知，乌龟每次爬行的距离（单位：米）构成等比数列{an}，且首项a1＝100，公比q＝，易知a5＝10－2，则乌龟爬行的总距离（单位：米）为S5＝＝＝.
5.某病毒研究所为了更好地研究某病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构成等比数列，已知第五实验室比第二实验室的设备费用高42万元，第七实验室比第四实验室的设备费用高168万元，并要求每个实验室改建费用不能超过1 700万元，则该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要（　C　）
A.3 233万元 B.4 706万元
C.4 709万元 D.4 808万元
解析：设每个实验室的装修费为x万元，设备费为an万元，n＝1，2，3，…，10，
则解得
∴a10＝3×29＝1 536.
依题意得x＋1 536≤1 700，解得x≤164.
∴10x＋a1＋a2＋…＋a10＝10x＋
＝10x＋3 069≤4 709.
故该研究所改建这十个实验室投入的总费用最多需要4 709万元.
6.侏罗纪蜘蛛网是一种非常有规律的蜘蛛网，如图，它是由无数个正方形环绕而成的，且从第二层开始，每一个正方形的四个顶点都恰好在它的外围一层正方形四条边的三等分点上，设外围第一层正方形的边长是m，侏罗纪蜘蛛网的长度（蜘蛛网中正方形的周长之和）为Sn，则（　B　）
A.Sn无限大 B.Sn＜3（3＋）m
C.Sn＝3（3＋）m D.Sn可以取100m
解析：由题意可得，外围第2个正方形的边长为＝m，外围第3个正方形的边长为＝m，
…，
外围第n个正方形的边长为（）n－1m.
所以蜘蛛网的长度Sn＝4×m［1＋＋＋…＋（）n－1］＝4m×＜4m×＝3（3＋）m.故选B.
7.如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个V形架上共放了　7 260　支铅笔.
解析：从下向上依次放了1，2，3，…，120支铅笔，∴共放了1＋2＋3＋…＋120＝7 260（支）铅笔.
8.佛山新城文化中心是佛山地标性公共文化建筑，在建筑造型上全部都以最简单的方块体作为核心要素，与佛山世纪莲体育中心的圆形莲花造型形成“方”“圆”呼应.坊塔是文化中心的标志性建筑、造型独特、类似一个个方体错位堆叠，总高度153.6米，坊塔塔楼由底部4个高度相同的方体组成塔基，支托上部5个方体，交错叠合成一个外形时尚的塔身结构，底部4个方体高度均为33.6米，中间第5个方体也为33.6米高，再往上2个方体均为24米高，最上面的两个方体均为19.2米高.
（1）请根据坊塔方体的高度数据，结合所学数列知识，写出一个等差数列{an}的通项公式，该数列以33.6为首项，并使得24和19.2也是该数列的项；
解：（1）由题意可知a1＝33.6，注意到33.6－24＝9.6，24－19.2＝4.8，
取等差数列的公差d＝－2.4，则an＝33.6－2.4（n－1）＝36－2.4n，
令an＝36－2.4n＝24，解得n＝5，即24为第5项；
令an＝36－2.4n＝19.2，解得n＝7，即19.2为第7项；
故an＝36－2.4n符合题意.
（2）佛山世纪莲体育中心上层屋盖外径为310米，根据你得到的等差数列，连续取用该数列前m（m∈N*）项的值作为方体的高度，在保持最小方体高度为19.2米的情况下，采用新的堆叠规则，自下而上依次为2a1，3a2，4a3，…，（m＋1）·am（（m＋1）am表示高度为am的方体连续堆叠m＋1层的总高度），请问新堆叠坊塔的高度是否超过310米？并说明理由.
解：（2）可以，理由如下：
由（1）可知m≤7，a1＝33.6，a2＝31.2，a3＝28.8，a4＝26.4，a5＝24，a6＝21.6，a7＝19.2，
设数列{（n＋1）an}的前n项和为Sn，
∵S7＝2a1＋3a2＋4a3＋…＋8a7＝856.8＞310，
∴新堆叠坊塔的高度可以超过310米.
9.京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长.某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率为20％，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子.设从2023年开始，第n年年底的速生林木保有量为an万立方米.
（1）求a1，请写出一个递推公式表示an＋1与an之间的关系；
解：（1）a1＝200×（1＋20％）－17＝223（万立方米），an＋1＝（1＋20％）an－17＝an－17，即an＋1＝an－17.
（2）是否存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列，如果存在求出实数λ；
解：（2）若存在实数λ，使得数列{an＋λ}为等比数列，
则存在非零常数q，使得an＋1＋λ＝q（an＋λ），整理得an＋1＝qan－λ＋qλ，
而an＋1＝an－17，故q＝，qλ－λ＝17，即λ＝85.
当λ＝85时，有an＋1－85＝an－102＝（an－85），
而a1－85＝223－85＝138≠0，故an－85≠0，即＝，
故{an－85}为等比数列，故存在常数λ＝85，使得{an＋λ}为等比数列.
（3）该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：1.28≈4.3，1.29≈5.2，1.210≈6.2，1.211≈7.4）
解：（3）由（2）可得{an－85}是首项为138，公比为的等比数列，
故an－85＝138×（）n－1，即an＝85＋138×（）n－1，则{an}为递增数列.
令an≥4×200，则85＋138×（）n－1≥800，
当n＝9时，85＋138×（）n－1＝85＋138×（）8≈85＋138×4.3＝678.4＜800，
当n＝10时，85＋138×（）n－1＝85＋138×（）9≈85＋138×5.2＝802.6＞800，
故至少到2032年才能达到公司速生林木保有量的规划要求.
综合运用
10.数列{an}满足an＝定义使a1·a2·a3·…·ak（k∈N*）为整数的k叫做“幸福数”，则区间[1，2 024]内所有“幸福数”的和为　2 036　.
解析：当n≥2时，an＝logn（n＋1）＝，
所以a1·a2·…·ak＝1×××…×＝log2（k＋1），若满足a1·a2·…·ak为正整数，
则k＋1＝2m，m∈N*，即k＝2m－1，
所以在[1，2 024]内的所有“幸福数”的和为
21－1＋22－1＋…＋210－1
＝－10＝2 036.
11.杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是　190　.
解析：由题意可得从第4行起的每行第三个数3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，所以第k（k≥4）行的第三个数为1＋2＋…＋（k－2），在该数列中，第37项为第21行第三个数，所以该数列的第37项为1＋2＋…＋19＝＝190.
12.已知函数f（n）＝且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝　100　.
解析：由题意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－（1＋2）＋（3＋2）－（4＋3）＋…－（99＋100）＋（101＋100）＝－（1＋2＋…＋99＋100）＋（2＋3＋…＋100＋101）＝－50×101＋50×103＝100.
拔高拓展
13.（多选）在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，21，28，36，45，…这些数叫做三角形数.设第n个三角形数为an，则下面结论正确的是（　ABD　）
A.an－an－1＝n（n＞1） B.a20＝210
C.1 024是三角形数 D.＋＋＋…＋＝
解析：∵a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，∴由此可归纳得an－an－1＝n（n＞1），故A正确；
将前面的所有项累加可得an＝＋a1＝，∴a20＝210，故B正确；
令＝1 024，此方程没有正整数解，故1 024不是三角形数，故C错误；
由an＝，得＝＝2（－），
∴＋＋…＋
＝2[（1－）＋（－）＋…＋（－）]
＝2（1－）＝，故D正确.
14.0－1数列是指每一项均为0或1的数列，这类数列在计算机科学领域有着广泛应用.若数列{an}是0－1数列，当且仅当n＝6k±1（k∈N*）时，an＝1，设{an}的前n项和为Sn，则满足Sn＝200的n的最大值为（　C　）
A.600 B.601 C.604 D.605
解析：由题意可知a1＝a2＝a3＝a4＝a6＝0，a5＝1，
且a6k＋1＝a6k＋5＝1，a6k＋2＝a6k＋3＝a6k＋4＝a6k＋6＝0，k∈N*，
即
k∈N*，
当k＝100时，a601＝a605＝1，a602＝a603＝a604＝a606＝0，
可知S601＝1＋2×99＋1＝200，
且S602＝S603＝S604＝200，S605＝201，
所以满足Sn＝200的n的最大值为604.

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