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第四章 三角函数
4.6.2 正弦函数的性质
高等教育出版社《数学》
（基础模块 上册）
4.3.2 单位圆与三角函数
课题引入
利用研究函数的经验，可否从正弦函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性等方面来研究正弦函数的性质呢？
(1)定义域.
正弦函数的定义域是实数集R.
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
(2) 值域.
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
(3) 周期性.
正弦函数是周期为2π的周期函数．
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
(4) 奇偶性.
由图像关于原点对称和诱导公式sin( x)= sinx可知，正弦函数是奇函数．
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
(5) 单调性.
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
在每一个闭区间 上都是增函数, 函数值从-1增大到1；
在每一个闭区间 上都是减函数, 函数值从1减小到-1.
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
(6) 对称中心.
观察正弦曲线，得到关于正弦函数y＝sinx，x∈R的结论:
4.6.2 正弦函数的性质
探索新知
图象关于直线 轴对称，
关于点 中心对称.
例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量x的集合.
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
解 (1) 由正弦函数的性质知，-1≤sinx≤1，所以
就是使函数y=sinx,x∈R取得最大值的x的集合
使函数 取得最小值的x的集合, 就是使函数y=sinx,x∈R取得最小值的x的集合
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
(2)由正弦函数的性质知，－1≤sinx≤1，所以
-2≤-2sinx≤2，-1≤1-2sinx≤3，
即-1≤y≤3．故函数的最大值为3，最小值为-1．
使函数y=1-2sinx, x∈R取得最大值的x的集合, 就是使函数y=sinx, x∈R取得最小值的x的集合 ;
使函数y=1-2sinx, x∈R取得最小值的x的集合, 就是使函数y=sinx, x∈R取得最大值的x的集合 .
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
例3 不求值比较下列各组数值的大小.
(1) 因为 , 正弦函数y=sinx在 上是增函数，所以
解 根据正弦函数的图像和性质可知：
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
(2) 因为 , 正弦函数y=sinx在 上是减函数，所以
例3 不求值比较下列各组数值的大小.
解 根据正弦函数的图像和性质可知：
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
例4 求函数 的定义域.
观察正弦函数y=sinx在[0,2π] 上图像.
发现，在[0,2π]内, 符合题意的x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得：
在[0,2π]内, 符合题意的 x 满足0≤x≤π．由函数的周期性得：
2kπ≤x≤π+2kπ(k∈Z)，
故函数的定义域为{x|2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z}．
解
4.6.2 正弦函数的性质
巩固提升
巩固提升
课堂训练
1.判断
(1)当x=2kπ+ (k∈Z)时，sin(x+ )=sin x，所以 是函数y=sin x的周期.( )
(2)因为sin( )=sin ，所以函数y=sin 的周期为2π.( )
(3)函数y=3sin 2x是奇函数.( )
×
√
×
巩固提升
课堂训练
2.下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是(　　)
D
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课堂训练
3.函数y=3sinx+5的最小正周期是________.
【解析】设f(x)=3sinx+5，对任意x∈R.
f(x+2π)=3sin(x+2π)+5=3sinx+5=f(x)，
所以y=3sinx+5的最小正周期是2π.
答案：2π
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课堂训练
4.若函数f(x)是周期为3的周期函数，且f(-1)=2015，则f(2)=_____.
【解析】因为函数f(x)是周期为3的周期函数，
所以f(2)=f(2-3)=f(-1)=2015.
答案：2015
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课堂训练
5.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
(2)f(x)=
【解析】(1)f(x)的定义域为R，
所以f(-x)=-7cos(-x)=-7cosx=f(x)，
所以f(x)为偶函数.
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课堂训练
5.判断下列函数的奇偶性.
(1)f(x)=
(2)f(x)=
【解析】(2)由 得cos x=1，故f(x)=0，
x=2kπ，k∈Z，
所以函数f(x)= 既是奇函数也是偶函数.
课堂小结
你在本节课学到了什么？
课堂小结
课后作业
必做：完成课后习题和数学学习指导与练习。
课后阅读：阅读教材扩展延伸内容．
查漏补缺：根据个人情况对课堂学习复习回顾。
再见

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